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1、正保考研教育网一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 32 分）分）（1）若函数在处连续，则（ ） 。21 cos,0( ) ,0xxf xax b x 0x A. 1 2ab B. 1 2ab C. 0ab D. 2ab 【答案】A【解析】由连续的定义可知：其中， -00lim( )lim( )(0), xxf xf xf -0(0)lim( ) xff xb ，从而，也即，故选 A.20001()1 cos12lim( )limlim2xxxxxf xaxaxa1 2ba1 2ab 【试题点评】本题考查函数的连续性。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点
2、讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第一章函数、极限、连续和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（2）设二阶可导函数满足，且，则（ ） 。( )f x(1)( 1)1,(0)1fff ( )0fx A. 11( )0f x dx B. 12( )0f x dx C. 0110( )( )f x dxf x dx D. 0110( )( )f x dxf x dx 【答案】B【解析】由于可知其中的图像在其任意两点连线的曲线下方，也即( )0fx ，( )f x，因此( )(0) (1)(0)21f xfffxx(0,1)x1100( )(21)=0f x dxfxdx，同理，因此( )(0) (
3、0)( 1)21( 1,0)f xfffxxx ，从而，故选 B.0111( )( 21)=0f x dxfxdx ，11( )0f x dx 正保考研教育网【试题点评】本题考查二阶导数与拐点的关系。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第二章导数与微分和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（3）设数列收敛，则（ ） 。 mxA.当时，limsin0mxx lim0mxx B.当时，lim0mmmxxxx lim0mxx C.当时，2lim0mmxxx lim0mxx D.当时，limsin0mmxxx lim0mxx 【答案】D【解析】
4、，而要使，只有 a=0，故 D 正确。limsin)sinnnxxxaa （sin0aa【试题点评】本题考查级数收敛性。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第九章级数和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（4）微分方程的特解可设为（ ） 。2481 cos2xyyyexky A. 22cos2sin2xxAeeBxCxB. 22cos2sin2xxAxeeBxCxC. 22cos2sin2xxAexeBxCxD. 22cos2sin2xxAxexeBxCx【答案】C【解析】齐次方程的特征根为，原方程可分解为两个非齐次方程：22ri和，可
5、知第一个方程的特解为，第二个2 4 8xyyye2 4 8cos2xyyyex2xAe方程的特解为，故选 C.2(cos2sin2 )xxeBxCx【试题点评】本题考查微分方程的解。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分正保考研教育网高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第五章微分方程和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（5）设具有一阶偏导数，且在任意的，都有，则（ ( , )f x y, x y( , )0f x y x( , )f x y y ） 。A. (0,0)(1,1)ffB. (0,0)(1,1)ffC. (0,1)(1,0)ffD. (0,1)(1,0)ff【
6、答案】D【解析】易知分别关于单调递增和单调递减，所以选 D.( , )f x y, x y【试题点评】本题考查函数的导数。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第二章导数与微分和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中，实线表示甲的速度曲线（单位：m/s） ，虚线表示乙的速度曲线，三块阴影部分面积的1( )vv t2( )vv t数值依次为 10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为（单位：s） ，则（ ） 。0tA. 010t B. 01520t正保考研教育网C. 025
7、t D. 025t 【答案】C【解析】时，乙比甲多跑 10m，而最开始的时候甲在乙前方 10m 处。025t 【试题点评】本题考查函数的导数。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第二章导数与微分和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（7）设为三阶矩阵，为可逆矩阵，使得，则A123,P 1000010002P AP （ ） 。123AA. 12B. 232C. 23D. 122【答案】B【解析】由相似矩阵的特征值与特征向量的定义，可知.122330,2AAA【试题点评】本题考查可逆矩阵。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第二部分线性代数
8、有重点讲解，在强化阶段数学强化班线性代数第二章矩阵和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（8）已知矩阵，则（ ） 。200210100021 ,020 ,020001001002ABC A.A 与 C 相似，B 与 C 相似B. A 与 C 相似，B 与 C 不相似C. A 与 C 不相似，B 与 C 相似D. A 与 C 不相似，B 与 C 不相似正保考研教育网【答案】B【解析】A，B 的特征值为 2,2,1，但 A 有三个线性无关的特征向量，而 B 只有两个，所以A 可对角化，B 则不行.【试题点评】本题考查相似矩阵。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第二部分线性代数有重点讲解，在强化
9、阶段数学强化班线性代数第五章特征值与特征向量和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分）分）（9）曲线的斜渐近线方程为_。2(1arcsin)yxx【答案】2yx【解析】，则斜渐近线方程为2(1 arcsin)2lim1,lim (1 arcsin)2 xxxxkbxxxx .2yx【试题点评】本题考查导数的应用。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第三章中值定理与导数应用和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（10）设函数由参数方程确定，则=_。( )yy xsintxte
10、yt 202|td y dx【答案】1 8y 【解析】2223202( )cos ( )1sin (1)coscos()sinsincos(1)1 11(1)1|8tttttttttttdyy tt dxx teteett d ytetetee dxeeed y dx 【试题点评】本题考查二阶导数。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第二章导数与微分和强化阶段数学重点正保考研教育网题型精讲班也均有涉及。（11）=_。1020ln(1) (1)xdxx 【答案】1【解析】200000ln(1)1ln(1) ()(1)1 11ln(1)|11
11、 0 11xdxx dxxxxx 【试题点评】本题考查定积分的性质。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第四章不定积分和定积分和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（12）设函数具有一阶连续偏导数，且，( , )f x y( , )(1)yydf x yye dxxy e dy，则=_。(0,0)0f( , )f x y【答案】yxye【解析】由题意可知，,(1),( , )( )yyyy xyfyefxy ef x yye dxxyec y即即故 c=0,( ),yyy yfxexyec yxe( )0,c y ( ),c yc(0,
12、0)0,f.( , )yf x yxye即【试题点评】本题考查函数的导数。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第二章导数与微分和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（13）=_。110tanyxdydxx【答案】ln(cos1)【解析】111111 0000tantantanln |cos|lncos1 lncos0lncos1yyxxdydxdxdyxdxxxx 【试题点评】本题考查定积分的性质。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分正保考研教育网高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第四章不定积分和定积分和强化阶段数
13、学重点题型精讲班也均有涉及。（14）设矩阵的一个特征向量为，则=_。41212311Aa 112 a【答案】-1【解析】11 132,32 =11. 22Aaaa 即，可得【试题点评】本题考查矩阵。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第二部分线性代数有重点讲解，在强化阶段数学强化班线性代数第五章特征值与特征向量和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。三、解答题（共三、解答题（共 94 分）分）（15） （本题满分 10 分）求030limxtxxte dtx【答案】2 3【解析】令,xtutxu dtdu 则+00 33002200 3310000222() = limlim2limlimli
14、mlim33 2xx ux uxxxxxxuux xxxxxueduueduxxeue duue duxee xxx 原式【试题点评】本题考查函数的极限。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第一章函数、极限、连续和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（16） （本题满分 10 分）正保考研教育网设函数具有 2 阶连续性偏导数，求。( , )f u v(,cos )xyf ex2002|,|xxdyd y dxdx【答案】；01|(1,1)xdyfdx2011122|(1,1)(1,1)(1,1)xd yfffdx【解析】12012111212122222011122(,cos )sin|(1,1)(sin )(sin )sincos|(1,1)(1,1)(1,1)xxxxxxxxyf ex dyf efxdx dyfdx d yfefx ef efefxxfxdx d yfffdxQ【试题点评】本题考查切线方程与导数的关系。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第三章中值定理
