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1、第一节 应力状态的概念 第二节 平面应力状态分析的 解析 法 第三节 平面应力状态分析的图解法 第四节 三向应力状态 广义胡克定律 第五节 强度理论 20 平面应力状态分析 强度理论 1 AF轴向拉伸杆件 F F横截面应力： 1、 问题的提出 FpxnF p)2s in (2c o s 2斜截面应力： 问题 1： 同一点处 不同方位截面上 的应力不相同； 2 第一节 应力状态的概念 低碳钢试件：沿横截面断开。 铸铁试件： 沿与轴线约成 45的螺旋线断开。 材料抗拉能力差，构件沿 45斜截面因拉应力而破坏（脆性材料）。 材料抗剪切能力差，构件沿横截面因切应力而发生破坏 (塑性材料）； P 铸铁压
2、缩 可见： 材料的破坏并不都取决于横截面上的应力大小 ! 而斜截面有无限多，该依据哪个截面上的什么应力值 来判断构件的安全与否呢？ 梁弯曲的强度条件： .,*m a xm a xm a xm a x bISFWMzszzz FFFl)(B问题 2 正应力和剪应力同时存在且都较大时 强度该如何校核？ BB 有必要研究 一点的应力状态。 组合变形杆的强度又该如何校核？ M P 如下工字梁根部截面的 B点处 过受力物体内的任一点可作无穷多个微分面，所有这些微分面上的应力情况的总和称为该点的 应力状态 。（ Stress State at a Given Point）。 应 力 哪一个面上？ 哪一点？
3、 哪一点？ 哪个方向的微分面？ 指明 2、点的应力状态的概念 研究应力状态的 目的 ： 找出一点处应力随截面方位的改变而变化的规律，以全面分析构件破坏的原因，从而为强度计算提供理论依据。 3、一点的应力状态的描述 研究一点的应力状态，可对一个包围该点的微小正六面体 单元体 进行分析 各边边长 , , dx dy dz 在单元体各面上标上应力 应力单元体 x yzxy yxyzzyzxxz因为单元体的边长是无穷小，所以可认为作用在单元体上每一面的应力是均匀分布的，两相对的 平行微分面上应力相等 (大小、正负都一样或大小相等、方向相反）。 2s i n2c o s22 xyyxyx 2c o s2
4、s i n2 xyyx tnxxyxya cb研究表明： 一点的应力状态可以用围绕该点的任一微小六面体（单元体）及其三个相互垂直的微分面上的应力分量来表示 。因此只要研究单元体及其上应力分量的情况就可把握该点的应力状态了。 要用单元体表达一点的应力状态 1）需要在该点处画一个 正六面体； 2）画出的正六面体每个微分面上的应力分量易于 确定。 取一个正六面体，各面上的应力为已知 。 .,*bISFyIMzzsz如何截取单元体 A BD ECF8 第一节 应力状态的概念 如何截取 圆轴扭转时的 单元体 微小正六面体 取一个正六面体，而各面上的应力为已知 。 npMI 9 第一节 应力状态的概念 b
5、 C x xPWT,Zx WFLeMyxzc b Fyxzc b lb xzyc xzyxzzx横截面 纵向水平面 纵向铅垂面 xyyxnMxzPWTxzx第一节 应力状态的概念 zx 画出下列图中的 A、 B、 C点的已知应力单元体图。 P P A A x x M P x y z B C x x B xz C xy yx （ 1）、主平面与主应力： 主平面：切应力为零的平面。 主应力：作用于主平面上的正应力。 xyx xyy主应力排列规定：按代数值由大到小 。 321 过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力 30 10 50 单位： MPa ;30;10;50321 30 10 ;
6、30;0;103214、应力状态的分类 12 第一节 应力状态的概念 a、单向应力状态 ： 只有一个主应力不等于零，另两个主应力 都等于零的应力状态 。 b、二向应力状态 ： 有两个主应力不等于零 ，另一个主应力 等于零的应力状态。 c、三向应力状态 ： 三向主应力都不等于零的应力状态。 （ 2)、应力状态的分类 ) cba13 第一节 应力状态的概念 （ 2)、应力状态的分类 平面应力状态 ： 单向应力状态和二向应力状态的总称。 复杂应力状态： 二向应力状态和三向应力状态的总称。 空间应力状态 ： 三向应力状态 简单应力状态： 单向应力状态。 纯剪切应力状态 ： 单元体上只存在剪应力无正应力
7、 。 空间应力状态 y x z x yzxy yxyzzyzxxz平面应力状态 x y xyyxxyx y x x y yxxy单向应力状态 纯剪应力状态 取单元体示例一 FP l/2 l/2 S 截面 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 S截面 4P lFMz 2PF5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 S 截 面 4P lFMz 2PF1x1 22x 22 3 3 取单元体示例二 FP l a S截面 x z y 4 3 2 1 S 截面 y x z Mz FQy Mx 4 3 2 1 1 pxWM1zzx WM14 3 pxWM3p3 WM xzzx WM3忽略弯曲切应力 取单元体
8、的方法 一般我们希望所截取的单元体各个面上的应力能用最简捷的方法确定。而材料力学中受力构件横截面上各点的应力通常均可用公式直接算出，因此常常采用使所截取的单元体的一对平行平面是受力杆件横截面上的一部分。 一、斜截面上的应力 等价 xxxyyyxyoxyozxyxyxy空间问题简化 为平面问题 xyxyxyxyon - 逆时针转为正。 第二节 平面应力状态分析的数解法 由 x,y微分面上的应力分量计算任一斜微分面上的应力分量 设：斜截面面积为 A， 由分离体平衡得： ;0 F ndAxyxyxyacbtnxxyxya cbs in:c o s:dAacdAabdAbc隔离体各面面积 c o s)
9、c o s( dAx s i n)c o s( dAx s i n)s i n( dAy 0c o s)s i n( dAy 2s i n2c o s22 xyyxyx 2c o s2s i n2 xyyx 由切应力互等定理和三角变换，可得： tnxxyxya cb s i n:;c o s:;: dAacdAabdAbc0s i n)s i n(c o s)s i n(c o s)c o s(s i n)c o s(,0 dAdAdAdAdAFyyxxt符号规定： 1 )“ ” 正负号同“ ”； 2) “ ” 正负号同“ ” ； 3) “ a” 为斜面的外法线与 x 轴正向的夹角，逆时针为正
10、，顺时针 为负。 注意：用公式计算时代入相应的正负号。 ,00dd令00 yxxytg 220此时依此可求出主平面的方位 )90;(0000 2s i n2c o s22 xyyxyx 2c o s2s i n2 xyyx )1()2(0000 2c o s2s i n2 xyyxdd而22m inm a x )2(2 xyyxyx 主应力的大小 讨论： yx 0901)、 2)、 的极值 主应力以及主平面方位 可见正应力在主平面处取极值！ 3)、 切应力 的极值及所在截面 ,2c o s2s i n2 xyyx xyyx22t a n 1 最大切应力 所在的位置 22m i nm a x )
11、2( xyyx xy 面内的最大切应力 01dd令)90;( 0111 12t a n2t a n 10 )45( 001 由 yxxy 22t a n0 主平面的位置 )90;( 0000 xyyx22t a n 1 最大切应力 所在的位置 )90;( 0111 将 与 画在原单元体上。 max minmax ,001 45 xyyxmaxminminmax0maxmin例 ： 如图所示单元体，求 斜面的应力及主应力、主平面。 （单位： MPa） 300 40 50 60 解： 1、求斜面的应力 2s i n2c o s22 xyyxyx 2c o s2s i n2 xyyx )(3.58)
12、60s i n ()50()60c o s (260402604000M P a)(3.18)60c o s ()50()60s i n (26040 00M P a30,50,60,40 xyx5040602、求主应力、主平面 yxxytg 22022m inm a x )2(2 xyyxyx )(7.60)(7.80)50()26040(26040 22M P aM P a16040 )50(2 00 5.67 )(7.60,0),(7.80 321 M P aM P a 主应力 ： 主平面位置 ： 31yxxx0xyyxyx 2222 )2()2( 这个方程恰好是一个圆的方程，这个圆称为应力圆 （或莫尔圆，由德国工程师： Otto Mohr引入） 2222222c o ss i ns i nc o sxyyxxyyxyx对上述方程消去参数（ 2），得： 一、应力 圆： )0,2( yx 圆心： 半径 ： 22)2( xyyxR xyoxyxyxy第三节 平面应力状态的图解法 xyyxyx 2222 )2()2( R C xyyxR 22)2( 2yx 应力圆： 二 .应力圆的画法 建立 直角坐标系 以单元体 法线 x 平面上的应力
