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1、第二部分 热点专题攻略,专题六 是否存在型问题,中考题型精讲精练,考点精讲 【例】（2014深圳）如图Z-6-1， 直线AB的解析式为y=2x+4，交x轴 于点A，交y轴于点B，以A为顶点的 抛物线交直线AB于点D，交y轴负半 轴于点C（0，-4）.（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线顶点沿着直 线AB平移，此时顶点记为E，与 y轴的交点记为F，求当BEF与BAO相似时， E点的坐标；记平移后抛物线与AB的另一个交点为G，则SEFG与sACD是否存在8倍的关系？若存在请直接写出F点的坐标.,思路点拨：（1）求出点A的坐标，利用顶点式求出抛物线的解析式；（2）首先确定点E为RtBEF的直角顶点
2、，相似关系为：BAOBFE；如图Z-6-2，作辅助线，利用相似关系求出点E的坐标；首先求出ACD的面积：SACD=8；若SEFG与SACD存在8倍的关系，则SEFG=64或SEFG=1；先求出SEFG的表达式，进而求出点F的坐标.,解：（1）直线AB的解析式为y=2x+4，令x=0，得y=4；令y=0，得x=-2.A（-2，0），B（0，4）.抛物线的顶点为点A（-2，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+2）2，点C（0，-4）在抛物线上，代入上式,得-4=4a，解得a=-1.抛物线的解析式为y=-（x+2）2.,（2）平移过程中，设点E的坐标为（m，2m+4），则平移后抛物线的解析式为：y
3、=-（x-m）2+2m+4.F（0，-m2+2m+4）.点E为顶点，BEF90.若BEF与BAO相似，只能是点E作为直角顶点.BAOBFE，可得：BE=2EF.,如图Z-6-2，过点E作EHy轴于点H，则点H坐标为： H（0，2m+4）. B（0，4），H（0，2m+4），F（0，-m2+2m+4）， BH=|2m|，FH=|-m2|. 在RtBEF中，BE2=BHBF，EF2=FHBF， 又BE=2EF，BH=4FH. 即4|-m2|=|2m|. 若-4m2=2m，解得m= 或m=0（与点B重合，舍去）；若-4m2=-2m，解得m= 或m=0（与点B重合，舍去），此时点E位于 第一象限，BE
4、F为锐角，故此情形不成立.,假设存在. 联立抛物线：y=-（x+2）2与直线AB：y=2x+4， 可求得：D（-4，-4）. SACD= 44=8. SEFG与SACD存在8倍的关系， SEFG=64或SEFG=1. 联立平移抛物线：y=-（x-m）2+2m+4与直线AB：y=2x+4，可求得：G（m-2，2m）. 点E与点G横坐标相差2，即：|xG|-|xE|=2.,当顶点E在y轴左侧时，如图Z-6-3，B（0，4），F（0，-m2+2m+4）， BF=|-m2+2m|. |-m2+2m|=64或|-m2+2m|=1， -m2+2m可取值为：64,-64,1,-1.,当取值为64时，一元二次
5、方程-m2+2m=64无解，故-m2+2m64. -m2+2m可取值为：-64,1,-1. F（0，-m2+2m+4）， F坐标为：（0，-60）,（0，5）,（0，3）. 同理，当顶点E在y轴右侧时，点F为（0，5）. 综上所述，SEFG与SACD存在8倍的关系，点F坐标为 （0，-60）,（0，5）,（0，3）.,解题指导：解此类是否存在型问题的关键是根据题设条件和图形的有关特征，对“是否存在”做出准确的判断和推理.解此类题的基本思路是：假设存在演绎推理得出结论：合理或矛盾.如果合理则结论存在，如果矛盾则结论不存在.,考题再现1. （2013广东）已知二次函数y=x2-2mx+m2-1.（
6、1）当二次函数的图象经过坐标原 点O（0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图Z-6-4，当m=2时，该抛物 线与y轴交于点C，顶点为D，求C,D两点 的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否 存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在， 求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由.,解：（1）二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）， 把（0,0）代入二次函数y=x2-2mx+m2-1，得m2-1=0， 解得m=1. 二次函数的解析式为：y=x2-2x或y=x2+2x. （2）m=2， 二次函数y=x2-2mx+m2-1可化为y=x2-4x+3=（x-2）2-1. 抛物线的顶点为：D（2，-
7、1）. 当x=0时，y=3， C点坐标为（0，3）.,（3）当P，C，D三点共线时，PC+PD最短. 如答图Z-6-1，过点D作DEy轴于点E，连接CD， PODE，解得 x轴上存在一点P，使得PC+PD最短， 此时P点的坐标为,2. （2015深圳）如图Z-6-5，关于x的二次函数y= -x2+bx+c经过点A（-3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上.（1）求抛物线的解析式；（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在，求出点P；若不存在，请说明理由；（3）如图Z-6-5，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2SFBC=3SEBC
8、？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.,解：（1）二次函数y=-x2+bx+c经过点A（-3，0），点 C（0，3），解得抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.,（2）存在.理由如下： 当点P在DAB的平分线上时， 如答图Z-6-2，作PMAD于点M， 设P（-1，m）， 则PM=PDsinADE= （4-m）， PE=m. PM=PE， （4-m）=m， 解得m= -1. P点坐标为（-1， -1）.,当点P在DAB的外角平分线上时， 如答图Z-6-3， 作PNAD于点N， 设P（-1，n）， 则PN=PDsinADE= （4-n）， PE=-n. PN=PE， （4-n）=-n，
9、解得n=- -1. P点坐标为（-1，- -1）. 综上可知存在满足条件的P点，坐标为（-1， -1） 或（-1，- -1）.,（3）SEBC=3，2SFBC=3SEBC，SFBC=过点F作FQx轴，交BC的延长线于Q， 连接FC，如答图Z-6-4，BC的解析式为y=-3x+3，,考题预测3. 如图Z-6-6，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于 A（-1，0）,B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒2个单位长度的速度从B向C运动，P,Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P,Q同时停止运动，设运动时间为t秒.（1）求二次函数的
10、解析式；（2）如图Z-6-6，当BPQ为直角三角形时，求t的值；,（3）如图Z-6-6，当t2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点？若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由.,解：（1）二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（-1，0）, B（3，0）两点，二次函数的解析式是：y=x2-2x-3. （2）y=x2-2x-3， 点C的坐标是（0，-3）. BC=（3-0）2+0-（-3）2=,设BC所在的直线的解析式为y=mx+n，BC所在的直线的解析式为y=x-3. 经过t秒，AP=t，BQ= 点P的坐标是（t-1，0）. 设点Q的坐标是
11、（x，y）， OB=OC=3，OBC=OCB=45，x=3-t.点Q的坐标是（3-t，t）.,如答图Z-6-5， 当QPB=90时， 点P和点Q的横坐标相同， 点P的坐标是（t-1，0）， 点Q的坐标是（3-t，t）， t-1=3-t， 解得t=2. 即当t=2时，BPQ为直角三角形.,如答图Z-6-6， 当PQB=90时， PBQ=45，BP=3-（t-1）=4-t，BQ=,（3）如答图Z-6-7，延长MQ交抛物线于点N，H是PQ的中点， 设PQ所在的直线的解析式是y=cx+d， 点P的坐标是（t-1，0），点Q的坐标是（3-t，t），PQ所在的直线的解析式是点M的坐标是PQ的中点H的坐标是
12、,假设PQ的中点恰为MN的中点，点N的坐标是又点N在抛物线上，当t2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上不存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点.,4. 如图Z-6-7，在直角坐标系中，RtOAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3.动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动.当两个动点运动了x秒（0x4）时，解答下列问题：（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；（2）设OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？（3）在两个动点运动过程 中，是否存在某一
13、时刻，使 OMN是直角三角形？若存在， 求出x的值；若不存在，请说明 理由.,解：（1）根据题意得 MA=x，ON=1.25x. 在RtOAB中，由勾股定理得：过点N作NPOA于点P， 如答图Z-6-8所示, 则NPAB， OPNOAB.,（2）在OMN中，OM=4-x，OM边上的高PN= S与x之间的函数表达式为配方，得 S有最大值. 当x=2时，S有最大值，最大值是,（3）存在某一时刻，使OMN是直角三角形.理由如下： 分两种情况：若OMN=90，如答图Z-6-9所示, 则MNAB， 此时OM=4-x， ON=1.25x， MNAB， OMNOAB.即解得x=2；,若ONM=90，如答图Z-6-10所示, 则ONM=OAB， 此时OM=4-x，ON=1.25x， ONM=OAB，MON=BOA， OMNOBA.即解得 综上所述，存在某一时刻使OMN直角三角形，此时x的值是2秒或 秒.,
