自动控制非线性控制系统

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1、非线性控制系统,华南理工大学 自动化科学与工程学院,制作:罗家祥 审校:胥布工,控制系统的稳定性及特性,1 概述 2 相平面法 3 描述函数法 4 利用MATLAB分析非线性控制系统 5 小结,1 概述,非线性系统,常见的非线性 环节及特点,稳定性分析 平衡点的稳定性,二阶：相平面法,二阶及以上高阶：描述函数法,仿真：MATLAB,本章知识体系：,1 概述,线性系统: 线性元件组成，输入输出间有叠加性和均匀性。 非线性系统：指系统中某元件或环节的输入量与输出量之间呈现的非线性函数关系。 非线性现象的普遍性: 1.实际系统的环节总带有非线性; 2.为改善系统性能人为引入非线性校正装置。,1 概述

2、,1.1 非线性特性的类型,（a）为继电器非线性特性：,（b）为放大器饱和非线性特性；,（c）和（d）为静摩擦或者不敏感死区非线性特性；,1 概述,（e）为具有滞环的非线性特性，,（f）为间隙非线性特性,说明： 1）所给出的典型非线性特性均是分段或者分区段线性的，实际中是常见的，也是将非线性特性曲线进行分段线性化处理得到的类型 。 2）df/dx=+或者df/dx=0，y=0时，用y=0替代y=f(x)不可行。,1 概述,1.2 非线性控制系统的稳定性及特性,1非线性控制系统的稳定性 对于线性控制系统，平衡状态的稳定性就意味着与初始状态无关的全局稳定性，也就是有系统稳定性的概念； 对于非线性控

3、制系统，平衡状态常不止一个，每个平衡状态的稳定性只是一种与初始状态有关的局部稳定性概念，不能代表系统的全局动态性质，也就没有系统稳定性的笼统概念。,2非线性控制系统的特性,线性叠加原理不适用。 正弦信号输入激励的输出响应可含有输入信号中没有的高次谐波。 在没有外部作用的情况下，也可能出现一种持续等幅振荡现象，称为自持振荡。,1 概述,1.3 非线性控制系统的分析与综合,1非线性控制系统的分析 非线性系统的分析没有统一的方法。一般针对不同的典型系统，研究建立相应的非线性系统分析方法。因此对于一种典型系统，常常就有一种对应的方法，但各种方法也有一个基本共性，就是通常他们都是以某种形式的线性化来建立

4、相应的非线性分析方法。 1）相平面法 相平面法是针对二阶非线性控制系统的一种精确的图解分析方法。尽管总是可以直接绘出非线性控制系统的相平面图来进行分析，但在满足分析精度要求的前提下，实际的做法通常是采用分区线性化近似方法。 相平面法只适用于二阶非线性系统。,1 概述,2) 描述函数法 一种近似的分析方法，它用一次谐波线性关系来替代原来的非线性特性关系，在所考虑的一次谐波上实现了线性化，故又称为谐波线性化方法或者谐波平衡方法。线性化的精确程度需要系统具备一定的条件才能保证。 可方便分析高阶非线性控制系统的稳定性和自持振荡。 2非线性控制系统的综合 非线性控制系统的综合任务提法很多，比如，要求系统

5、能够稳定，并且具有一定的稳定度或者具有一定的动态性品质等。综合问题的具体形式主要有： 1）选择一定的系统结构 ，选取或优化待定系统参数； 2）系统的控制品质要求时，引入校正装置或者校正内回路。,2 相平面法,考虑二阶非线性系统的状态微分方程,非线性解析函数,在初始时刻t0时的初始状态为x1(t0), x2(t0)，则方程的解为：,描述的运动是以时间t为参数的曲线,相平面法：根据已知的非线性解析函数，状态x1和, x2取相变量时，在相平面x1- x2上获得通过建立解的曲线（几何形象）来分析和获得运动性质的方法。,x1(t),x2(t),x2(t),x1(t),2.1 相平面法的基本概念,研究二阶

6、非线性系统，一般形式为：,1相点与相轨迹,相点：满足(9-5)式子的点； 相轨迹：x和 在相平面上随时间t变化的运动轨迹。,箭头表示时间增加时状态运动的方向,2 相平面法,2相轨迹的微分方程与相平面图,当相变量初始值不同时，积分常数C不同 方程的解描述了一族曲线，即相轨迹方程的积分曲线,2 相平面法,绘有系统相轨迹族的相平面称为系统的相平面图，有时也简称为相图。,例9-1 二阶系统方程相轨迹,以(0,0)为中心，长半径为b，短半径为a的椭圆(当1时)。,b,a,2 相平面法,(9-11),3. 相平面图的性质,(1) 相轨迹上的斜率,(2)相轨迹的常点和奇点,2 相平面法,(3) 相轨迹的对称

7、性条件,在(x,x)与(x,-x)点的斜率相等，符号相反。,在(x,x)与 (-x, x)点的斜率相等，符号相反。,在(x,x)与 (-x, -x)点的斜率相等，符号相同。,2 相平面法,（4）相轨迹的走向,（5）相轨迹通过x轴的斜率,2 相平面法,2.2 相平面图的绘制,绘制相平面的常用方法： 解析法：直接方法，通过解系统相轨迹的微分方程获得积分曲线族的方法。比较复杂，难以求解。 等倾线法：图解法，用足够短的直线近似逼近相轨迹；简单，便于绘图。 圆弧近似算法：图解法，用足够短的圆弧来近似逼近相轨迹。,2 相平面法,等倾斜线法的步骤如下：,（1）将相轨迹走向相同的相点，即斜率相同的相点，连接起

8、来画出等倾斜线。显然，等倾斜线满足方程,为等倾线与x轴的夹角，将满足方程（9-13）的点连接成等倾线 取不同的角，画出不同的等倾线,线性系统的等倾线为通过原点、斜率为-a/(k+b)的直线,2 相平面法,（2）在等倾斜线上各点用一个斜率为k的带小箭头的短线画出相轨迹的切线方向，从而建立一个表示相轨迹走向的方向场。 （3）按方向场指出的方向，在等倾斜线的各点勾划出相轨迹。,斜率为kA,等倾线斜率,2 相平面法,取a=b=1,斜率为kB=-1.2,等倾线斜率 -a/(kB+b) =5,例9-2,2 相平面法,例9-3,(2) 对称于x轴，可先画出上半部分，再对称绘出下半部分。画出系统的相平面图如图

9、9-8所示。,2 相平面法,例9-4 考虑非线性系统 的相平面图。,等倾线不是直线而是抛物线，抛物线的顶点位于相平面的(4k2,2k)处。 将抛物线上的短线按方向场指出的方向连接起来即可勾划出相轨迹。,2 相平面法,除了采用等倾线法计算外，还可利用相轨迹形状的特征： 相对原点、坐标轴的对称性。 水平等倾线： 竖直等倾线： 直线相轨迹： 相轨迹渐近线：斜率等于向轨迹斜率的等倾斜线。 奇点类型。 闭合轨迹：极限环。 斜率的正负区域。 以上这些定性特从几何结构（相轨迹的的类型、相对位置、形状分布等）意义上说是准确的，甚至是近似计算结果所不及的。只要恰当利用这些特长，就可以快速地绘出足够满意的相平面图

10、。,2 相平面法,2.3 线性系统的相平面图分析,二阶线性系统的相变量微分方程,2 相平面法,2 相平面法,2.4 非线性系统的相平面图分析,1奇点 设所考虑奇点为原点，不在原点的奇点可坐标平移移到原点。此时，奇点处有f(0,0)=0，也是系统的平衡点。,(1)利用线性系统标准相图来分析非线性系统在奇点(0,0)附近的类型特征； (2)对多个奇点情况，可分别在不同的奇点邻域线性化后分析； (3)在奇点小邻域之外，高次项不可忽略，不可用局部情况分 析整体情况。,2 相平面法,例9-5 试研究如下二阶非线性系统的奇点和稳定性。,（2l, 0）均为稳定焦点。,2 相平面法,Matlab仿真图,（(2

11、l+1), 0）均为鞍点。,2 相平面法,2极限环,(1) 稳定极限环：极限环内外两侧的相轨迹均呈螺旋状地渐近地趋近极限环，对应于系统的自持振荡。,极限环是相平面图中一条孤立的封闭相轨迹，有三种类型：,(2) 不稳定极限环：环内外两侧的相轨迹均呈螺旋状地从极限环离开，这种极限环是不稳定的,2 相平面法,(3)半稳定极限环：环内外一侧相轨迹渐近地趋近极限环，而另一侧的相轨迹从极限环离开。,2 相平面法,2.5 非线性控制系统的分区线性化法,例9-6 考虑含有饱和非线性特性的控制系统， T0, K0，试分析阶跃输入作用下系统的运动。,解： (1) 饱和非线性特性的数学描述：,(2) 线性环节的微分

12、方程为,2 相平面法,I区,系统在I区无奇点,2 相平面法,II区,2 相平面法,III区,2 相平面法,例9-7 不灵敏区的存在导致带有死区的饱和非线性特性情况 (T0, K0) ，试分析阶跃输入作用下系统的运动。,I、II、IV和V区的情况分析与例9-6类似，这里考虑III区的情况.,系统在III区无奇点，相轨迹均为斜率为-1/T的直线,2 相平面法,例9-8 考虑具有滞环继电器非线性特性的控制系统，T0,K0, d0,试分析斜坡输入作用下系统的运动 .,2 相平面法,I区, x=3,2 相平面法,II区, x=-3,2 相平面法,2.6 利用非线性特性改进控制系统的动态性能,例9-9 考

13、虑控制器含有非线性增益的控制系统，T0,K0，确定k的取值范围，并分析恒值控制和速度随动控制两种情况下系统的运动。,2 相平面法,2 相平面法,对于恒值控制情况，设r(t)=R。,分析可知，上述两式分别对应 稳定焦点(0,0)和稳定节点(0,0),对于速度随动控制情况，设r(t)=R1(t)+vt。,2 相平面法,I区相图是系统（9-63）的相图向右平移v/3K个单位; II区相图是系统（9-64）的相图向右平移v/Kk个单位,2 相平面法,3 描述函数法,3.1 描述函数与谐波线性化,1描述函数的定义 该方法实质是应用谐波线性化法，将非线性特性线性化，线性系统理论频率法在非线性系统中的推广。

14、该方法简单有效，不受系统阶次限制，可以研究高阶系统。,设非线性特性对称于原点的。,输入：x(t)=Xsint,(9-68),(9-69),3 描述函数法,不包含储能元件的非线性元件，描述函数只是输入振幅的函数，记为N(X)；否则，描述函数是输入振幅和频率两者的函数，记为N(X, )，本章不做考虑。,非线性元件的描述函数N定义为,非线性特性对称于原点，则A0=0，,3 描述函数法,2谐波线性化原理,非线性元件在正弦信号输入作用下的输出被一次谐波响应完全替代，实现了非线性特性的线性化近似，这种线性化称为谐波线性化。,一个非线性控制系统如下：G(s)为线性部分，外部输入为零，系统内存在一个周期为T的

15、自持振荡，两部分输出： y(t)=f(x(t)为奇函数方波； x(t)为一个周期为T的函数。,3 描述函数法,对于方波y(t)，可展开为傅里叶级数：,而线性部分G(s)输出为：,3 描述函数法,采用描述函数法条件： （ 1）原点对称条件 系统的非线性部分的特性必须是奇函数，使得输出没有直流分量，A0=0。 （2）滤波条件 在实际系统中，系统线性部分都具有低通性，因而滤波条件一般都是成立的，这使得谐波线性化方法一般能给出可靠的近似结果。,3 描述函数法,3.2 典型非线性特性的描述函数,例9-10 试推导右图9-25（a）所示的 双位理想继电器特性的描述函数。,解：由于双位非线性特性是奇函数 因

16、此在上述傅里叶级数展开式中， 对所有k (k=0, 1, 2.)，Ak=0,3 描述函数法,例9-11 试推导死区非线性特性的描述函数。,y(t)为奇函数，故在傅里叶级数展开式中无余弦项，一次谐波分量为,3 描述函数法,死区非线性特性的描述函数为,3 描述函数法,例9-12 试推导死区加滞环继电器特性的描述函数,死区加滞环继电器特性是原点对称的，故在其输出傅里叶级数展开式中有A0=0,一次谐波分量为：,3 描述函数法,3 描述函数法,3 描述函数法,一些典型非线性特性的描述函数（表9-3）,理想继电器,三位置继电器,滞环继电器,死区加滞环继电器,3 描述函数法,变增益非线性,死区非线性,饱和非线性,间隙非线性,