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1、第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学第一节第一节 基本概念、定理与公式基本概念、定理与公式一、二元函数的定义及定义域一、二元函数的定义及定义域1 1 二元函数的定义二元函数的定义定义定义 1 1 设设，是三个变量如果当变是三个变量如果当变xyz量量，在在一定范围在在一定范围内任意取定一对数值时，内任意取定一对数值时，xyD变量变量按照一定的法则按照一定的法则总有确定的数值与它们对总有确定的数值与它们对zf应，则称变量应，则称变量是变量是变量，的二元函数，记为的二元函数，记为zxy. .其中其中，称为自变量，称为自变量， 称为因变量称为因变量. .( , )zf x yxyz自变量自变量，
2、的取值范围的取值范围称为函数的定义域称为函数的定义域. .xyD二元函数在点二元函数在点所取得的函数值记为所取得的函数值记为00,xy，或或00x xy yz 00(,)xyz00(,)f xy2 2 二元函数的定义域二元函数的定义域二元函数的定义域一般为平面区域上的点集二二元函数的定义域一般为平面区域上的点集二元函数的定义域较复杂，它可以是一个点，也可能是元函数的定义域较复杂，它可以是一个点，也可能是一条曲线或几条曲线所围成的部分平面，甚至可能是一条曲线或几条曲线所围成的部分平面，甚至可能是整个平面整个平面整个平面或由曲线围成的部分平面称为区域；围整个平面或由曲线围成的部分平面称为区域；围成
3、区域的曲线称为该区域的边界；边界上的点称为边成区域的曲线称为该区域的边界；边界上的点称为边界点，边界内的点称为内点界点，边界内的点称为内点不包括边界的区域称为开区域，连同边界在内的不包括边界的区域称为开区域，连同边界在内的区域称为闭区域，部分包括边界的区域称为半开半闭区域称为闭区域，部分包括边界的区域称为半开半闭区域区域能用封闭曲线围成的区域称为有界区域，反之称能用封闭曲线围成的区域称为有界区域，反之称为无界区域为无界区域开区域如开区域如: : 22( , )14x yxyxyoxyo闭区域闭区域 如如: : 22( , )14x yxy注：和一元函数一样，二元和二元以上的函数也只与注：和一元
4、函数一样，二元和二元以上的函数也只与定义域和对应关系有关，定义域和对应关系有关， ，与用什么字母表示自变量，与用什么字母表示自变量与因变量无关与因变量无关例例 1 1 求下列函数的定义域，并画出的图形求下列函数的定义域，并画出的图形(1)(1) （2 2）22ln 1zxyarcsin()zxy解（解（1 1） 要使函数有意义，应有要使函数有意义，应有 即即2210xy，定义域为有界开区域，定义域为有界开区域 221xy22( , )1x y xy（2 2）要使函数有意义，应有）要使函数有意义，应有，即，即1xy11xy 定义域为无界闭区域定义域为无界闭区域( , )11x yxy 3 3 二
5、元函数的几何意义二元函数的几何意义设设是二元函数是二元函数的定义域的定义域 内的内的( , )P x y( , )zf x yD任一点任一点, ,则相应的函数值为则相应的函数值为, ,有序数组有序数组，( , )zf x yx，确定了空间一点确定了空间一点, ,称点集称点集yz( , , )M x y z为二元函数的图形为二元函数的图形. . 二二( , , )( , ),( , )x y z zf x yx yD元函数元函数的图形通常是一张曲面的图形通常是一张曲面. .( , )zf x y注：和一元函数一样，二元和二元以上的函数也注：和一元函数一样，二元和二元以上的函数也只与定义域和对应关
6、系有关，与用什么字母表示自变只与定义域和对应关系有关，与用什么字母表示自变量与因变量无关量与因变量无关. .二、二元函数的极限与连续二、二元函数的极限与连续1 1二元函数的极限二元函数的极限以点以点为中心，为中心，为半径的圆内所有点的为半径的圆内所有点的000(,)P xy集合集合称为点称为点的的邻域，邻域，22 00( , ) ()()x yxxyy0P记作记作0(, )U P定义定义 2 2 设二元函数设二元函数在点在点( , )zf x y的某一邻域内有定义（点的某一邻域内有定义（点可以除外）可以除外）, ,000(,)P xy0P点点是该领域内异于是该领域内异于的任意一点如果当点的任意
7、一点如果当点( , )P x y0P沿任意路径趋于点沿任意路径趋于点时时, ,函数函数( , )P x y000(,)P xy总无限趋于常数总无限趋于常数，那么称，那么称为函数为函数( , )f x yAA当当时的极限，记为时的极限，记为( , )zf x y00( , )(,)x yxy或或 0 0lim( , ) xx yyf x yA 00( , )(,)lim( , ) x yxyf x yA 说明：（说明：（1 1）定义中）定义中的方式可能是多种多的方式可能是多种多0PP样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从
8、四面八方以可能有的任何方谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数. .（2 2）倘若沿两条不同的路径，）倘若沿两条不同的路径，不相等，不相等，0 0lim( , ) xx yyf x y 则可断定则可断定不存在，这是证明多元函数极限不存在，这是证明多元函数极限0 0lim( , ) xx yyf x y 不存在的有效方法不存在的有效方法（3 3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似，）二元函数的极限运算法则与一元函数类似，如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无
9、穷小、等价无穷小代换等价无穷小代换等. .例例 2 2 求极限求极限2220 0sin()limx yx y xy 解解 22200sin()limxyx y xy2222200sin()limxyx yx y x yxy其中其中 2221 2x yxxy22200sin()lim0xyx y xy例例 3 3 证明证明 不存在不存在 3620 0limx yx y xy 证明：设证明：设，则，则3ykx其值随其值随的不同而变化，的不同而变化，36200limxyx y xy662620 0lim1x ykxk xk xk k故极限不存在故极限不存在确定极限不存在的方法：（确定极限不存在的方法
10、：（1 1）令点）令点沿沿( , )P x y趋向于趋向于，若极限值与，若极限值与有关，则有关，则ykx000(,)P xyk在点在点处极限不存在处极限不存在; ;( , )f x y000(,)P xy（2 2）找出两种不同趋近方式，使）找出两种不同趋近方式，使存在，但存在，但00lim( , )xxyyf x y两者不相等，则此时两者不相等，则此时在点在点处极限不存在处极限不存在; ;( , )f x y000(,)P xy2 2二元函数的连续性二元函数的连续性定义定义 3 3 设函数设函数在点在点的某一邻域内的某一邻域内( , )zf x y000(,)P xy有定义，如果有定义，如果,
11、 ,则称函数则称函数在点在点0000lim( , )(,)xx yyf x yf xy ( , )f x y处连续处连续. .000(,)P xy定义定义 4 4 设函数设函数在点在点的某一邻域内的某一邻域内( , )zf x y000(,)P xy有定义，分别给自变量有定义，分别给自变量 ， 在在 ， 处以增量处以增量，xy0x0yx，得全增量，得全增量y0000(,)(,)zf xx yyf xy 如果极限如果极限 0 0lim0x yz 则称则称在在处连续处连续( , )zf x y000(,)P xy如果函数如果函数在区域在区域 内每一点都连续内每一点都连续, ,则称则称( , )zf
12、 x yD函数函数在区域在区域 内连续内连续. .( , )f x yD如果函数如果函数在点在点不连续，则称点不连续，则称点( , )zf x y000(,)P xy是函数是函数的间断点的间断点. .000(,)P xy( , )f x y例例 4 4 求求2 3limx yxy xy 解解 因为函数因为函数是初等函数是初等函数, ,且点且点在该函在该函( , )xyf x yxy(2,3)数的定义域内数的定义域内, ,故故. .2 35lim(2,3)6x yxyfxy 例例 5 5 讨论函数讨论函数22 2222,0( , ) 0,0xyxyxyf x y xy 的连续性的连续性解解 当当
13、时，时，为初等函数为初等函数, ,故函数在故函数在( , )(0,0)x y ( , )f x y点处连续点处连续. .当当时，由例时，由例 6 6 知知( , )(0,0)x y ( , )(0,0)x y 00lim( , )xyf x y不存在不存在, ,所以函数所以函数在点在点220 0limx yxy xy ( , )f x y(0,0)处不连续，即原点处不连续，即原点是函数的间断点是函数的间断点(0,0)3 3有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质性质性质 1 1（最值定理）（最值定理） 在有界闭区域上连续的二在有界闭区域上连续的二元函数，在该区域上一定有最大值和最小
14、值元函数，在该区域上一定有最大值和最小值性质性质 2 2（介值定理）（介值定理） 在有界闭区域上连续的二在有界闭区域上连续的二元函数，必能取得介于函数的最大值与最小值之间的元函数，必能取得介于函数的最大值与最小值之间的任何值任何值三、偏导数三、偏导数1.1.偏导数的定义偏导数的定义定义定义 5 5 设函数设函数在在的某邻域内有定的某邻域内有定( , )zf x y000(,)P xy义义, , 固定固定, ,在在 处给自变量处给自变量 以增量以增量, ,相应地得到相应地得到0yy0xxx函数函数 关于关于 的得增量的得增量( (称为偏增量称为偏增量):):zx0000(,)(,)xzf xx
15、yf xy如果极限如果极限000000(,)(,)limlimxxxzf xx yf xy xx 存在存在, , 则称此极限值为函数则称此极限值为函数在点在点处对处对( , )zf x y000(,)P xy的偏导数的偏导数, ,记为记为x，或或. .00x x y yz x 00x x y yf x 00x xx y yz 00(,)xfxy类似地类似地, ,函数函数在点在点处对处对 的偏导数定义为的偏导数定义为: : ( , )zf x y00(,)xyy，000000(,)(,)limlimyyyzf xyyf xy yy 记为记为 ，或或. .00x xy yz y 00x xy yf y 00x xy y yz00(,)yfxy例例 6 6 求求在点在点(1,(1, 2)2)处的偏导数处的偏导数. .223zxxyy解解 把把 看成常数看成常数, ,得得，
