《高校(理工类)数学变步长梯形法则教学(课堂讲义)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高校(理工类)数学变步长梯形法则教学(课堂讲义)（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.3 变步长求积公式,复化求积方法对提高精度是行之有效的，但是使用复化求积公式之前必须给出合适的步长，步长取得太大精度难以保证，步长太小则会导致计算量的增加，而事先给出一个恰当的步又往往是困难的。 实际计算时通常采用变步长的求积方案，即在步长逐次折半（或称步长二分）的过程中，反复利用复化的求积公式进行计算，直到二分前后的两次积分近似值相当符合为止。,变步长求积公式,一、变步长的梯形法则,探讨梯形法则的变步长法则计算规律： 设将求积区间(a,b)分成n等分，则一共有n+1个分点，按梯形公式(5)计算积分Tn（对f调用n+1次）。 如果将各求积区间再二分一次，则分点增至2n+1个，若仍直接用梯形
2、公式计算二分后的积分值T2n，将需要对f调用2n+1次。,一、变步长的梯形法则,一、变步长的梯形法则,注意到T2n的全部分点当中，有一半n+1个是二分前的原有分点，重复计算这些“老分点”上的函数值显然是个浪费。,变步长的梯形法则,为了避免浪费，将二分前后的两个积分值联系起来加以考察。注意到每个子区间(xk-1, xk)，经过二分再增加一个新分点xk-1/2后，用复化梯形公式求得该子区间上的积分值为因此有整理得：,变步长的梯形法则,再利用(5)式，得：这个式子的前一项Tn是二分前的积分值，在求T2n时可作为已知值使用，而它的后一项只涉及二分时新增加的分点xk-1/2，所要调用f的次数为n。 可见
3、递推公式(9)由于避免了老结点的重复计算，而使计算量节约了一半。,变步长梯形法则的计算流程,变步长梯形法则的程序框图,变步长梯形法则的算法框图：其中T1和T2分别代表二分前后的积分值。各框的含义是： 框1 准备初值。 框2 按递推公式(9)求二分后的积分值。 从第一个分点x=a+h/2出发，取h为步长逐步向右跨，即可依次确定公式(9)中的各个分点。图中将所得到的分点暂存于单元x中。 框3 控制精度。 框4 修改步长。,变步长梯形法则举例,例4-3-1 用变步长的梯形法则计算积分值,解 先对整个区间(0,1)使用梯形公式。计算函数在端点的值 f(0)=1, f(1)=0.8414710则 T1=
4、f(0)+f(1)/2=0.9207355 将区间二等分，求中点的函数值 f(1/2)=0.9588511,例4-3-1,按递推公式(9)，得 T2=T1/2+f(1/2)/2=0.9397933 进一步二分求积区间，并计算新的分点上的函数 f(1/4)=0.9896158 f(3/4)=0.9088517 再利用(9)式，得这样不断二分下去，计算结果列于表下表中。,例4-3-1,积分I*的实际值是0.9460831用变步长梯形法则二分10次得到了这个结果。,复化梯形公式和变步长法的比较,复化梯形法 变步长法,计算T1时， b-a=1-0=1 b-a=1-0=1 T1=f(0)+f(1)/2=
5、0.9207355,计算T2时， h=(b-a)/2=1/2 h=b-a=1新增节点 f (1/2)=0.9588511T2=h/2f(1)+f(0)+2f(1/2) T2=T1/2+f(1/2)/2=0.9397933=T1/2+f(1/2)/2=0.9397933,复化梯形公式和变步长法的比较,复化梯形法 变步长法,计算T4时， h=(b-a)/2/2=1/4 h=(b-a)/2=1/2新增节点f(1/2)=0.9588511 f(1/4)=0.9896158f(1/4)=0.9896158 f(3/4)=0.9088517 f(3/4)=0.9088517 T4=h/2f(1)+f(0)
6、+2f(1/2)+2f(1/4)+2f(3/4)T4=T2/2+h/2f(1/4)+f(3/4),复化梯形公式和变步长法的比较,复化梯形法 变步长法,计算T8时，h=(b-a)/2/2/2=1/8 h=(b-a)/2/2=1/4新增节点f(1/2)=0.9588511 f(1/8)f(1/4)=0.9896158 f(3/4)=0.9088517 f(3/8)f(1/8) f(3/8) f(5/4) f(7/8) f(5/8) f(7/8) T8=h/2f(1)+f(0)+2f(1/2)+2f(1/4)+2f(1/8)+2f(3/8)+2f(5/8)+2f(7/8) T8=h/2f(1)+f(0)+2f(1/2)+2f(1/4) T8=T4/2+h/2f(1/8)+2f(3/4) +f(3/8)+f(5/8)+f(7/8),二、变步长Simpson求积公式,变步长Simpson求积公式,变步长Simpson求积算法,变步长Simpson求积算法,变步长Simpson求积公式,变步长Simpson求积计算 举例,例2,解：,例2,
