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1、170第第 9 9 章章 偏微分方程的差分方法偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求 偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分 方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法差分方法。差分方法具有格式简单，程 序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本 章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。9.19.1 椭圆型方程边值问题的差分方法椭圆型方程边值问题的差分方法 9.1.19.1.1 差分方程的建立差分方程的建立 最典型的椭圆型方程是 PoissonPo
2、isson（泊松）方程（泊松）方程（9.1）Gyxyxfyu xuu),(),()(2222G 是 x,y 平面上的有界区域，其边界为分段光滑的闭曲线。当 f(x,y)0 时，方 程（9.1）称为 Laplace(Laplace(拉普拉斯）方程拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种 边界条件第一边值条件 （9.2）),(yxu第二边值条件 （9.3）),(yxnu第三边值条件 （9.4）),()(yxkunu这里，n 表示 上单位外法向，(x,y),(x,y),(x,y)和 k(x,y)都是已知的函数，k(x,y)0。满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数 u(x,y)
3、称为椭圆 型方程边值问题的解。 用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解 u(x,y)在区域 G 的一些离散节 点（xi，yi）上的近似值 ui,j(xi，yi） 。差分方法的基本思想是，对求解区域 G 做 网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所 满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在 离散节点上的近似值。 设 G=00, B(x,y) Bmin 0, E(x,y) 0。引进半节点, 1 2121hxxii 利用一阶中心差商公式，在节点（i,j）处可有, 22121hyyii 173)(2), 1(), 1(),()(),
4、1(),(),(), 1(1)(),21)(),21)(1),)(2 1 12 1 1,21 1,21 12 1 1hOhjiujiujixuhOhjiujiuAhjiujiuAhhOjixuAjixuAhjixuAxjiji 对类似处理，就可推得求解方程（9.9）的差分方程yu yuBy ),(（9.10）hjijijijijijijijijiji Gjijifuauauauaua ),(),(,1,1,1,1, 1, 1, 1, 1其中（9.11） jijijijijijijijijijijijijijijijijijiEBBhAAhaDhBhaDhBhaChAhaChAha, 21,21
5、,2 2,21,212 1,221,2 21,221,2 21,1,212 1, 1,1,212 1, 1)()()2()2()2()2(显然，当系数函数 A(x,y)=B(x,y)=1, C(x,y)=D(x,y)=E(x,y)=0 时，椭圆型方程 （9.9）就成为 Poisson 方程（9.1） ，而差分方程（9.10）就成为差分方程（9.6） 。容易看出，差分方程（9.10）的截断误差为阶。)(2 22 1hhO9.1.29.1.2 一般区域的边界条件处理一般区域的边界条件处理 前面已假设 G 为矩形区域，现在考虑 G 为一般区域情形，这里主要涉及边界 条件的处理。 考虑 Poisson
6、 方程第一边值问题（9.12） ),(),(),(),(yxyxuGyxyxfu其中 G 可为平面上一般区域，例如为曲边区域。仍然用两组平行直线：x=x0+ih1,y=y0+jh2,i,j=0,1,对区域 G 进行矩形网格剖分，见图 9-3。174如果一个内节点（i,j）的四个相邻节点（i+1,j） ， （i-1,j） ， （i,j+1）和（i,j-1）属于，则称其为正则内点正则内点，见图 9-3 中打“。 ”号者；如果一个节点 GG（i,j）属于且不为正则内点，则称其为非正则内点非正则内点，见图 9-3 中打“.”号者。G记正则内点集合为，非正则内点集合为。显然，当 G 为矩形区域时，hGh
7、成立。hhhhGG,在正则内点（i,j）处，完全同矩形区域情形，可建立五点差分格式hjijijijijijijiGjifuuuhuuuh),(,2121,1,1,2 2, 1, 12 1（9.13） 在方程（9.13）中，当（i,j）点临近边界时，将 出现非正则内点上的未知量，因此必须补充非正 则内点处的方程。 若非正则内点恰好是边界点，如图 9-4 中 D 点，则利用边界条件可取 uD=(D) 对于不是边界点的非正则内点，如图 9-4 中 B 点，一般可采用如下两种处理方法。 a.直接转移法直接转移法.取与点 B 距离最近的边界点（如图 9-4 中 E 点）上的 u 的值作 为 u(B)的近
8、似值 uB，即 uB=u(E)=(E) 直接转移法的优点是简单易行，但精度较低，只为一阶近似。b.线性插值法线性插值法.取 B 点的两个相邻点（如图 9-4 中边界点 A 和正则内点 C 作为 插值节点对 u(B)进行线性插值175)()()()(2 1hOCuxxxxAuxxxxBuACABACBC则得到点 B 处的方程ABCBxxuhAhhu,)(111线性插值法精度较高，为二阶近似。 对每一个非正则内点进行上述处理，将所得到的方程与（9.13）式联立，就组 成了方程个数与未知量个数相一致的线性代数方程组。求解此方程组就可得到一般 区域上边值问题（9.12）的差分近似解。 对于一般区域上二
9、阶椭圆型方程（9.9）的第一边值问题，可完全类似处理。 第二、三边值条件的处理较为复杂，这里不再讨论。9.29.2 抛物型方程的差分方法抛物型方程的差分方法 本节介绍抛物型方程的差分方法，重点讨论差分格式的构造和稳定性分析。9.2.19.2.1 一维问题一维问题作为模型，考虑一维热传导的初边值问题（9.14）Ttlxtxfxuatu0,0),(22（9.15）lxxxu0),()0 ,(（9.16）Tttgtlutgtu0),(),(),(), 0(21其中 a 是正常数，都是已知的连续的函数。)()(),(),(21tgtgxtxf和现在讨论求解问题（9.14）-(9.18)的差分方法。首先
10、对求解区域 G=0xl, 0tT进行网格剖分。取空间步长 h=l/N,时间步长 =T/M,其中 N,M 是正整数， 作两族平行直线MkkttNjjhxxkj , 1 , 0, 1 , 0,将区域 G 剖分成矩形网格，见图 9-5，网格交点（xj，tk）称为节点。176用差分方法求解初边值问题（9.14）-（9.16）就是要求出精确解 u(x,t)在每个节点（xj，tk）处的近似值。为简化记号，简记节点（xj，tk）),(kjk jtxuu =u(j,k)。 利用一元函数的 Taylor 展开公式，可推出下列差商表达式（9.17）)(),() 1,(),(Okjukjukjtu（9.18）)()
11、 1,(),(),(Okjukjukjtu（9.19）)(2) 1,() 1,(),(2Okjukjukjtu（9.20）)(), 1(),(2), 1(),(2 222 hOhkjukjukjukjxu1.1.古典显格式古典显格式在区域 G 的内节点(j,k)处，利用公式（9.17）和（9.20） ，可将偏微分方程 （9.14）离散为)(), 1(),(2), 1(),() 1,(2 2hOfhkjukjukjuakjukjuk j其中。舍去高阶小项，就得到节点近似值（差分解）),(kik jtxff)(2hO所满足的差分方程k ju（9.21）k jk jk jk jk jk jfhuuu
12、auu21112显然，在节点(j,k)处，差分方程（9.21）逼近偏微分方程（9.14）的误差为，这个误差称为截断误差截断误差，它反映了差分方程逼近偏微分方程的精度。)(2hO177现将（9.21）式改写为便于计算的形式，并利用初边值条件（9.15）与（9.16）补 充上初始值和边界点方程，则得到（9.22） MktgutguNjxuMkNjfruurruukk Nkkjjk jk jk jk jk j, 1 , 0),(),(1, 2 , 1),(1, 1 , 0, 1, 2 , 1)21 (2100111其中称为网比网比。2har与时间相关问题差分方程的求解通常是按时间方向逐层进行的。对于
13、差分方程（9.22） ，当第 k 层节点值已知时，可直接计算出第 k+1 层节点值。这k ju1k ju样，从第 0 层已知值开始，就可逐层求出各时间层的节点值。差分方程)(0 ijxu（9.22）的求解计算是显式的，无须求解方程组，故称为古典显格式古典显格式。此外，在式 （9.22）中，每个内节点处方程仅涉及 k 和 k+1 两层节点值，称这样的差分格式为 双层格式双层格式。 差分方程（9.22）可表示为矩阵形式（9.23） 011, 1 , 0, uMkFAuukkk其中rrrrrrrrA212121T NT kk Nk Nk kkkTk NkkxxtrgffftrgfFuuu)(,),(
14、)(,),(),(11212211112.2. 古典隐格式古典隐格式在区域 G 的内节点(j,k)处，利用公式（9.18）和（9.20） ，可将偏微分方程 （9.14）离散为)(), 1(),(2), 1() 1,(),(2 2hOfhkjukjukjuakjukjuk j178舍去高阶小项，则得到如下差分方程)(2hO（9.24）k jk jk jk jk jk jfhuuuauu21112它的截断误差为，逼近精度与古典显格式相同。改写（9.24）式为便于)(2hO计算的形式，并补充上初始值与边界点方程，则得到（9.25） MktgutguNjxuMkNjfuruurrukk Nkkjjk jk jk jk jk j, 1 , 0),(),(1, 2 , 1),(, 1 , 0, 1, 2 , 1)21 (21001 11与古典显格式不同，在差分方程（9.25）的求解中，当第 k-1 层值已知时，1k ju必须通过求解一个线性方程组才能求出第 k 层值，所以称（9.25）式为古典古典k ju隐格式隐格式，它也是双层格式。 差分方程（9.25）的矩阵形式为（9.26） 01,2
