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1、- 1 -2008 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试xyzsakura数学三试题数学三试题一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一分，下列每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数在区间上连续，则是函数的（ ）( )f x 1,10x 0( ) ( )xf t dt g xx跳跃间断点.可去间断点. A B无穷间断点.振荡间断点. C D（2）曲线段方程为，函数在区间上有连续的导数，则定积分(
2、)yf x( )f x0, a等于（ ） 0( )atafx dx曲边梯形面积. 梯形面积. AABCD BABCD曲边三角形面积.三角形面积. CACD DACD（3）已知，则24( , )xyf x ye（A），都存在 （B）不存在，存在(0,0)xf(0,0)yf(0,0)xf(0,0)yf（C）不存在，不存在 （D），都不存在(0,0)xf(0,0)yf(0,0)xf(0,0)yf（4）设函数连续，若，其中为图中阴影部分，则f2222()( , )uvDf xyf u vdxdy xy uvD（ ）F u（A） （B） （C） （D）2()vf u2()vf uu( )vf u( )v
3、f uu（5）设为阶非 0 矩阵为阶单位矩阵若，则（ ）AE30A 不可逆，不可逆.不可逆，可逆. AEAEA BEAEA可逆，可逆.可逆，不可逆. CEAEA DEAEA- 2 -（6）设则在实数域上域与合同矩阵为（ ）12 21AA A21 12 B2112 . . C21 12 D12 21 （7）随机变量独立同分布且分布函数为，则分布函数为,X YX F xmax,ZX Y（ ）. . A 2Fx B F x F y. . C 211F x D 11F xF y（8）随机变量，且相关系数，则（ ）0,1X N1,4Y N1XY A211P YX B211P YX C211P YX D2
4、11P YX二、填空题：二、填空题：9-14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数在内连续，则 . 21, ( )2,xxc f xxcx (,) c （10）设，则.341()1xxf xxx2 22( )_f x dx （11）设，则.22( , )1Dx y xy2()Dxy dxdy（12）微分方程满足条件的解.0xyy(1)1yy （13）设 3 阶矩阵的特征值为 1，2，2，E 为 3 阶单位矩阵，则.A14_AE（14）设随机变量服从参数为 1 的泊松分布，则.X2P XEX三、解答题：三
5、、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤. (15) （本题满分 10 分）求极限.201sinlimln xx xx(16) （本题满分 10 分）- 3 -设是由方程所确定的函数，其中具有 2 阶( , )zz x y22xyzxyz导数且时.1 （1）求dz（2）记，求.1,zzu x yxyxyu x (17) （本题满分 11 分）计算其中.max(,1),Dxydxdy( , ) 02,02Dx yxy(18) （本题满分 10 分）
6、设是周期为 2 的连续函数， f x（1）证明对任意实数 ，有；t 220ttf x dxf x dx（2）证明是周期为 2 的周期函数 202xttG xf tf s ds dt(19) （本题满分 10 分）设银行存款的年利率为，并依年复利计算，某基金会希望通过存款 A 万元，0.05r 实现第一年提取 19 万元，第二年提取 28 万元，第 n 年提取（10+9n）万元，并能按 此规律一直提取下去，问 A 至少应为多少万元？ (20) （本题满分 12 分）设矩阵，现矩阵满足方程，其中2221212n naaaAaa AAXB，1,T nXxx1,0,0B （1）求证;1nAna（2）为
7、何值，方程组有唯一解;a （3）为何值，方程组有无穷多解.a （21） （本题满分 10 分）设为 3 阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足A12,a aA1,13a，323Aaaa证明（1）线性无关；123,a a a（2）令，求.123,Pa a a1P AP（22） （本题满分 11 分）- 4 -设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概XYX11,0,13P Xii Y率密度为，记 1010Yyfy 其它ZXY（1）求；102P ZX（2）求的概率密度Z （23） （本题满分 11 分）是总体为的简单随机样本.记，12,nXXX2( ,)N 11ni iXXn，.2211()1
8、ni iSXXn221TXSn（1）证 是的无偏估计量.T2（2）当时 ，求.0,1DT- 5 -2008 年考研数学（三）真题解析年考研数学（三）真题解析 一、选择题(1)【答案】B【详解】 ， 0000( ) lim ( )limlim0xxxxf t dt g xf xfx所以是函数的可去间断点0x ( )g x(2)【答案】C【详解】00000( )( )( )( )( )( )aaaaaxfx dxxdf xxf xf x dx af af x dx其中是矩形 ABOC 面积，为曲边梯形 ABOD 的面积，所以为( )af a 0( )af x dx0( )axfx dx曲边三角形的
9、面积(3)【答案】B【详解】240000( ,0)(0,0)11(0,0)limlimlim0xxxxxxf xfeefxxx， 0011limlim1xxxxee xx 0011limlim1xxxxee xx 故不存在(0,0)xf242020000(0, )(0,0)11(0,0)limlimlimlim00yyyyyyyfyfeeyfyyyy所以存在故选.(0,0)yfB(4)【答案】A【详解】用极坐标得 222 ()222011,()vuuf r r Df uvF u vdudvdvrdrvf r dr uv 所以 . 2Fvf uu (5)【答案】C【详解】，.23()()EA E
10、AAEAE23()()EA EAAEAE故均可逆,EA EA(6)【答案】D【详解】记，则又12 21D2121421ED- 6 -，2121421EA所以和有相同的特征多项式，所以和有相同的特征值.ADAD又和为同阶实对称矩阵，所以和相似由于实对称矩阵相似必合同，故正确.ADADD(7)【答案】A【详解】. 2max,ZZZZFzP ZzPX YzP Xz P YzFz FzFz(8)【答案】 D【详解】 用排除法. 设，由，知道正相关，得，排除、YaXb1XY,X Y0a A C由，得 (0,1),(1,4)XNYN0,1,EXEY所以 所以. 排除. 故选择.( )()E YE aXba
11、EXb01,ab 1b B D二、填空题(9)【答案】1【详解】由题设知，所以| 0cx22,( )1,2,xxcf xxcxcxxc 因为 ， 22limlim(1)1 xcxcf xxc 22limlim xcxcf xxc又因为在内连续，必在处连续( )f x(,) ( )f xxc所以 ，即. limlim( ) xcxcf xf xf c 2211ccc (10)【答案】1ln32【详解】，令，得22 211 1 112xxxxfxxxxxx1txx 22tf tt所以 . 2 22 22 22 2222111ln2ln6ln2ln32222xf x dxdxxx(11)【答案】4【
12、详解】22221()2DDDxy dxdyx dxdyxy dxdy利用函数奇偶性- 7 -.212001 24dr rdr(12)【答案】1yx【详解】由，两端积分得，所以，又，dyy dxx1lnlnyxC1xCy(1)1y所以.1yx(13)【答案】3【详解】的特征值为，所以的特征值为，A1,2,21A1,1 2,1 2所以的特征值为，14AE4 1 13 4 1 2 11 4 1 2 11 所以.143 1 13BE (14)【答案】11 2e【详解】由，得，又因为服从参数为 1 的泊22()DXEXEX22()EXDXEXX松分布，所以，所以，所以 .1DXEX21 12EX 2 1
13、111222P Xee！三、解答题(15) 【详解】方法一方法一：22001sin1sinlimlnlimln 11 xxxx xxxx32000sincos1sin1limlimlim366xxxxxxx xxx 方法二方法二：2230001sincossincossinlimlnlimlim2sin2xxxxxxxxxx xxxxx洛必达法则20sin1lim66xxx x 洛必达法则(16) 【详解】(I) 22xdxydydzxyzdxdydz122dzx dxy dy 22 1x dxy dydz 1 (II) 由上一问可知，22,11zxzy xy - 8 -所以 11221222,()()1111zzxyyxu x yxyxyxyxy
