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1、导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 知识梳理知识梳理 一一 函数的单调性函数的单调性 1、利用导数的符号判断函数的单调性：、利用导数的符号判断函数的单调性： 一般地，设函数一般地，设函数)(xfy 在某个区间可导，如果在某个区间可导，如果 f)(x0，则，则)(xf为增函数；如果为增函数；如果 f0)(x，则，则 )(xf为减函数；如果在某区间内恒有为减函数；如果在某区间内恒有 f0)(x，则，则)(xf为常数；为常数； 2、对于可导函数、对于可导函数)(xfy 来说，来说， f)(x0是是)(xf在某个区间上为增函数的充分非必要条件，在某个区间上为增函数的充分非必要条件， f 0)
2、(x是是)(xf在某个区间上为减函数的充分非必要条件。在某个区间上为减函数的充分非必要条件。 3、利用导数判断函数单调性的步骤：、利用导数判断函数单调性的步骤： 求函数求函数 f(x)的导数的导数 f(x). 令令 f(x)0 解不等式，得解不等式，得 x 的范围就是递增区间的范围就是递增区间. 令令 f(x)0 解不等式，得解不等式，得 x 的范围，就是递减区间的范围，就是递减区间. 4、已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即、已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单若函数单 调递增，则调递增，则 (
3、 ) 0fx ；若函数单调递减，则；若函数单调递减，则 ( ) 0fx ”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏 解解 二二 函数极大值、极小值函数极大值、极小值 1、极大值：如果、极大值：如果cx 是函数是函数 f(x)f(x)在某个开区间在某个开区间),(vu上的最大值点，即不等式上的最大值点，即不等式)()(xfcf 对一切对一切 ),(vux成立，就说函数成立，就说函数 f(x)f(x)在在cx 处取到极大值处取到极大值)(cf，并称，并称c为函数为函数 f(x)f(x)的一个极大值点，的一个极大值点，)(cf为为 f(x)f(x)的的
4、 一个极大值。一个极大值。 2 2、极小值：如果、极小值：如果cx 是函数是函数 f(x)f(x)在某个开区间在某个开区间),(vu上的最小值点，即不等式上的最小值点，即不等式)()(xfcf 对一切对一切 ),(vux成立，就说函数成立，就说函数 f(x)f(x)在在cx 处取到极小值处取到极小值)(cf，并称，并称c为函数为函数 f(x)f(x)的一个极小值点，的一个极小值点，)(cf为为 f(x)f(x)的的 一个极小值。一个极小值。 3 3、极大值与极小值统称为极值、极大值与极小值统称为极值 ，极大值点与极小值点统称为极值点；若，极大值点与极小值点统称为极值点；若0)( c f，则，则
5、cx 叫做函数叫做函数 f(x)f(x)的驻点；可导函数的极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。的驻点；可导函数的极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。 4 4、判别、判别f f( (c c) )是极大、极小值的方法是极大、极小值的方法: :若若 0 x满足满足0)( c f，且在，且在 c 的两侧的两侧)(xf的导数异号，则的导数异号，则 c 是是 )(xf的极值点，的极值点，)(cf是极值，并且如果是极值，并且如果)(x f 在在 c 两侧满足两侧满足“左正右负左正右负” ，则，则 c 是是)(xf的极大值点，的极大值点，)(cf是是 极大值；如果极大值；如果)(x f 在在 c 两侧满足
6、两侧满足“左负右正左负右正” ，则，则 c 是是)(xf的极小值点，的极小值点，)( 0 xf是极小值是极小值 5 5、求可导函数、求可导函数f f( (x x) )的极值的步骤的极值的步骤: : (1)(1)确定函数的定义区间，求导数确定函数的定义区间，求导数f f(x x) ) (2)(2)求求 f(x)f(x)的驻点，即求方程的驻点，即求方程f f(x x)=0)=0 的根的根 (3)(3)用函数的导数为用函数的导数为 0 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. .检查检查f f(x x) )在方程在方程 根左右
7、的值的符号，如果左正右负，那么根左右的值的符号，如果左正右负，那么f f( (x x) )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f f( (x x) )在这个根处取在这个根处取 得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f f( (x x) )在这个根处无极值在这个根处无极值 三三 函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值 在区间在区间aa，bb上连续的函数上连续的函数 f f)(x在在aa，bb上必有最大值与最小值。求闭区间上必有最大值与最小值。求闭区间,ba上连续的函数上连续的函数)(xf的
8、的 最大值和最小值的思想方法和步骤：最大值和最小值的思想方法和步骤： （1 1）求函数）求函数 )(x在在(a(a，b)b)内的极值；内的极值； （2 2）求函数）求函数 )(x在区间端点的值在区间端点的值 (a)(a)、(b)(b)； （3 3）将函数）将函数 )(x的各极值与的各极值与 (a)(a)、(b)(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 四四三次函数三次函数)0( 23 adcxbxaxy有极值有极值导函数导函数cbxaxxf23)( 2 的判别式的判别式 acb124 2 0 3.3.13.3.1利用导数研究函数的单调性
9、利用导数研究函数的单调性 典例剖析典例剖析: 题型一题型一 求函数的单调区间求函数的单调区间 例例 1 已知函数已知函数 y=x+ x 1 ，试讨论出此函数的单调区间，试讨论出此函数的单调区间. 分析：讨论函数的单调区间，可以利用导数来判断分析：讨论函数的单调区间，可以利用导数来判断 解答：解答：y=(x+ x 1 )=1 2 1 x = 22 2 ) 1)(1(1 x xx x x 令令 2 ) 1)(1( x xx 0. 解得解得 x1 或或 x1. y=x+ x 1 的单调增区间是的单调增区间是(，1)和和(1，+). 令令 2 ) 1)(1( x xx 0，解得，解得1x0 或或 0x
10、1. y=x+ x 1 的单调减区间是的单调减区间是(1，0)和和(0，1) 奎屯 王新敞 新疆 点评：利用导数讨论点评：利用导数讨论函数的单调函数的单调区间时，首先要确定区间时，首先要确定函数的定义域，函数的定义域，再求函数再求函数 f(x)的导数的导数 f(x).，然后解不，然后解不 等式等式 f(x)0，得递增区间，解不等式，得递增区间，解不等式 f(x)0，得递减区间，得递减区间. 题型二题型二 已知函数的单调性，求参数的取值范围已知函数的单调性，求参数的取值范围 例例 2. 若函数若函数 32 11 ( )(1)1 32 f xxaxax在区间在区间(1,4)内为减函数，在区间内为减
11、函数，在区间(6,)上为增函数，试求实数上为增函数，试求实数 a的取值范围的取值范围 分析：常利用导数与函数单调性关系：即分析：常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则若函数单调递增，则 ( ) 0fx ；若函数单调递减，则；若函数单调递减，则 ( ) 0fx ” 来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解 解答：函数求导得解答：函数求导得 2 ( )1(1)(1)fxxaxaxxa ， 令令( )0fx得得1x 或或1xa， 因为函数在区间因为函数在区间(1,4)内为减函数，所以当内为减函数，所以当(1,4)x时，时，( )0fx
12、又因为在函数区间又因为在函数区间(6,)上为增函数，所以当上为增函数，所以当(6,)x时，时，( )0fx， 416a ， 57a 即实数即实数a的取值范围的取值范围55，77 点评：已知单调区间求参数点评：已知单调区间求参数 a 的取值范围是近年来常见的考查导数的一种题型。的取值范围是近年来常见的考查导数的一种题型。 备选题备选题 例例 3 3：已知函数 f（x）=2ax 2 1 x ,x（0,1 ，若 f（x）在 x（0,1上是增函数，求 a 的取值范围； 解: 由已知可得 f（x）=2a+ 3 2 x ,f（x）在（0,1）上是增函数，f（x）0,即 a 3 1 x , x（0,1. a
13、1. 当 a=1 时，f（x）=2+ 3 2 x 对 x（0,1）也有 f（x）0，满足 f（x）在（0,1上为增函数， a1. 评述:求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单. 点击双基点击双基 1.1.函数函数 y=x+cosxy=x+cosx 在（在（- -，+ +）内是（）内是（ ） A A 增函数增函数 B B 减函数减函数 C C 有增有减有增有减 D D 不能确定不能确定 解：因为解：因为 y=1-sinx=1-sinx0 0 恒成立，故选恒成立，故选 A A 2.2.函数函数axxxf2)( 3 的单调减区间是的单调减区间是 （ D D ） A
14、A （)2, B.B.), 2( C C ，) 0 , 3 2 ( D.D.以上都不对。以上都不对。 解：解： f（x x）=3=3 2 x+20+20 恒成立，不存在单调减区间，故选恒成立，不存在单调减区间，故选 D D 3.3.函数函数 x e x xf)( ( () 1 ba, ,则则 ( ( ) ) A A)()(bfaf B.B. )()(bfaf C C)()(bfaf D.D.)(),(bfaf大小关系不能确定大小关系不能确定 解：解： f（x x）=-=- x xx e xee 2 = = x e x1 0,=1+2cosx0,所以所以 cosx-cosx- 2 1 ; ; 单
15、调增区间为单调增区间为(0,(0, 3 2 ) ) 5.5.如果函数如果函数 y=y= 2 1 2 x+lnx-ax+lnx-ax 在定义域为增函数，则在定义域为增函数，则 a a 的取值范围是的取值范围是 解：定义域为（解：定义域为（0 0，)， y=x+=x+ x 1 -a-a0,0,即即 a ax+x+ x 1 在定义域（在定义域（0 0，)上恒成立，又上恒成立，又 x+x+ x 1 最小值为最小值为 2,2,所以所以 a a2 2 3.3.23.3.2 函数的极大值和极小值函数的极大值和极小值 第一课时第一课时 典例剖析典例剖析 题型一题型一 函数极值的求法函数极值的求法 例例 1 已知已知 32 ( )f xxaxbxc在在1x 与与 2 3 x 时，都取得极值时，都取得极值 (1) 求求, a b的值；的值； (2)若若 3 ( 1)
