现代控制理论-稳定性

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1、现代控制理论,Modern Control Theory,第三章 控制系统的李亚普诺夫 稳定性,3.1 李亚普诺夫第二法概述 3.2 李亚普诺夫意义下的稳定性 3.3 李亚普诺夫稳定性定理 3.4 线性系统的李亚普诺夫稳定性分析,3.1 李亚普诺夫第二法的概述,一、物理基础一个自动控制系统要能正常工作，必须首先是 一个稳定的系统，即当系统受到外界干扰后，显然 它的平衡状态被破坏，但在外扰去掉以后，它仍有 能力自动地在平衡状态下继续工作，系统的这种性 能，通常叫做稳定性，它是系统的一个动态属性。,举例说明：1.电压自动调节系统-保持电机电压恒定2.电机自动调速系统-保持电机转速一定3.火箭飞行系

2、统-保持航向为一定具有稳定性的系统称为稳定系统。不具有稳定性的系统称为不稳定系统。,稳定性概念,系统的稳定性-系统在受到外界干扰后，系统偏差量（被调量偏离平衡位置的数值）过渡过程的收敛性，用数学方法表示就是：,现代控制理论的优点,线性定常系统稳定性判断1.劳斯-赫尔维茨判剧2.奈奎斯特稳定判剧 现代控制系统结构复杂，非线性或时变,上述稳定判剧难以胜任;通用的方法是李亚普诺夫第二法.,李亚普诺夫稳定性判据,1982年，李亚普诺夫归纳出两种方法李亚普诺夫第一法:解系统的微分方程，然后根据解的性质来判断系统的稳定性。如果特征方程的根全部具有负实部，则系统在工作点附近是稳定的. 李亚普诺夫第二法（也称

3、直接法）:不必求解系统的微分方程式，就可以对系统的稳定性进行分析判断，而且给出的稳定信息不是近似的。它提供了判别所有系统稳定性的方法。,李亚普诺夫第二法建立的物理事实：如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即:那么随着系统的运动，其贮存的能量将随着时间的增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。,对系统而言，并没有这样的直观性，因此，李亚普诺夫引入了“广义能量函数”，称之为李亚普诺夫函数，表示为 ,它是状态 和时间t的函数。如果动态系统是稳定的，则仅当存在依赖于状态变量的李亚普诺夫函数对任意 （平衡点）时， 成立，且对 时，才有 。,李亚普诺夫第二法可归结为:1.在不直接求解的前提下，2

4、.通过李亚普诺夫函数 的符号3.及其对时间的一次导数 的符号就可给出系统平衡状态稳定性的信息。应用李亚普诺夫稳定理论的关键:能否找到一个合适的李亚普诺夫函数!-尚未有一个简便的、一般性的方法！,* 由于系统的结构日益复杂，对李亚普诺夫稳定理论的研究和应用受到人们的重视； * 特别是在从典型的数学函数及非线性特性出发 寻求李亚普诺夫函数方面颁有进展。 * 李亚普诺夫函数 是对前述的不具有直观性的物理事实的表现，这个“广义能量”概念与能量概念又不完全相同。李亚普诺夫函数的选取不是唯一的！很多情况下李亚普诺夫函数可取为二次型二次型及其定号性，是该理论的数学基础。,二、数学基础 (二次型及其定号性)1

5、二次型n个变量 的二次齐次多项式:称为二次型。式中， 是二次型的系数。设 ，既对称且均为实数。,用矩阵表示二次型较为方便，即必须指出，二次型是一个标量，最基本的特性就是它的定号性，也就是V(X)在坐标原点附近的特性。,定号性,(1)正定性当且仅当 X=0 时，才有V(X)=0；对任意非零X，恒有V(X)0，则V(X)为正定。(2)负定性当且仅当X0时才有V(X)0；对任意非零X，恒有V(X)0，则V(X)为负定。(3)正半定性与负半定性如果对任意X0，恒有V(X)0，则V(X)为正半定。如果对任意X0，恒有V(X)0，则V(X)为负半定。(4)不定性如果无论取多么小的零点的某个邻域,V(X)可

6、为正值也可为负值则V(X)为不定。,赛尔维斯特准则,二次型 或对称矩阵P为正定的充要条件是P的主子行列式均为正，即如果 则P为正定，即V(X)正定。二次型 或对称阵P为负定的充要条件是：P的主子行列式满足 ( 为奇数)； ( 为偶数) =1,2, 。返回,3.2李亚普诺夫意义下的稳定性,研究系统的稳定性问题，实质上是研究系统平衡状态的情况。一般说来，系统可描述为式中 X为 n 维状态向量。当在任意时间都能满足(3.1)时，称 为系统的平衡状态。凡满足式(3.1)的一切X值均是系统的平衡点，对于线性定常系统 ，A为非奇异时,X=0是其唯一的平衡状态，如果A是奇异的则式(3.1)有无穷多解，系统有

7、无穷多个平衡状态。对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。,由式(3.1)可知，在系统的平衡点，状态变量的变化率为0，由古典控制理论知道，该点即为奇点，因此，系统微分方程式的奇点代表的就是系统在运动过程中的平衡点。任何彼此孤立的平衡点，均可以通过坐标的变换，将其移到坐标原点，这就是经常以坐标原点作为平衡状态来研究的原因，因此常用的连续系统的平衡状态表达式为对同一问题用不同理论去研究会得到不同含义的结果与解释。如非线性系统中的自由振荡，古典的稳定性理论认为是不稳定的，而李亚普诺夫稳定性理论则认为是稳定的。,因此，明确李亚普诺夫意义下的稳定定义是重要的。系统的状态方程为 设 且系统的平衡状态为 。有

8、扰 动使系统在 时的状态为 ，产生初始偏差 ，则 后系统的运动状态从 开始随时间发生变化。由数学中数的概念知道， 表示初始偏差都在以 为半径，以平衡状态 为中心的闭球域S( )里，其中称为范数， 分别为 与 的分量。,同样表示平衡状态偏差都在以 为半径，以平衡状态 为中心的闭球域: S( )里。式中范数为X的分量。,下面用二维空间图3.1来说明李亚普诺夫定义下的稳定性。,1稳定与一致稳定设 为动力学系统 的一个孤立平衡状态。如果对球域S( ) 或任意正实数 0，都可找到另一个正实数 或球域 S( )，当初始状态 满足 时，对由此出发的X 的运动轨迹有 ，则此系统为李亚普诺夫意义下的稳定。如果

9、与初始时刻 无关，则称平衡状态 为一致稳定。,2渐近稳定和一致渐近稳定设 为动力学系统 的一个孤立平衡状态，如果 是稳定的，且从充分靠近 的任一初始状态 出发的运动轨迹 有 或即收敛于平衡状态 ，则称平衡状态 为渐近稳定。如果 与初始时刻 无关，则称平衡状态 为一致渐近稳定。渐近稳定性等价于工程意义上的稳定性。,如果对状态空间中的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐近稳定特性。即 对所有点都成立，称平衡状态 为大范围渐近稳定。可见，这样的系统只能有一个平衡状态。由于线性定常系统有唯一解，所以如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定也是大范围内渐近稳定的。,在控制工程中确定大范围内渐近稳定的范围是很

10、重要的，因为渐近稳定性是个局部概念，知道渐近稳定的范围，才能明确这一系统的抗干扰程度、从而可设法抑制干扰，使它满足系统稳定性的要求。古典控制理论的稳定性概念，只牵涉到小的扰动，没有涉及大范围扰动的问题，因此它是有局限性的。,3不稳定如果平衡状态 既不是渐近稳定的，也不是稳定的，当 并无限增大时，从 出发的运动轨迹最终超越域，则称平衡状态 为不稳定的。返回,3.3 李亚普诺夫稳定性定理,定理3.1 设系统的状态方程为式中， 如果有连续一阶偏导数的标量函数 存在，并且满足以下条件：是正定的；是负定的。 则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着有 ， 则在原点处的平衡状态是在大范围内渐近稳定的。,

11、例3.1 设系统方程为,试确定其平衡状态的稳定性。,解: 很明显，原点 是给定系统的唯一平衡状态，选取一个正定的标量函数 为则将系统方程代人上式得（V(X)为正定） 又由于 时， ，因此系统在平衡点(0，0)是大范围渐近稳定的。,定理3.2 设系统的状态方程为式中， 。如果存在一标量函数 ，它有连续的一阶偏导数，且满足以下条件：是正定的；是负半定的；对任意 和任意 在 时不恒等于零。 则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果还有时， ，则为大范围渐近稳定。式中 表示 时从 出发的解轨迹。,由于 不是负定的，而只是负半定的，则典型点的轨迹可能与某个特定的曲面 相切。然而,由于 对于任意 和任意 在

12、 时不恒等于零，所以典型点就不可能保持在切点处(在切点上 ），而必须运动到原点.,例3.2 设系统方程为确定系统平衡状态的稳定性。解: 显然，原点(0，0)为给定系统的唯一平衡状态。选取标准型二次函数为李氏函数，即（V(X)为正定）当 时，因此 是负半定的。,下面我们进一步分析 的定号性，即当时， 是否恒等于零。由于恒等于零，必需要求 在 时恒等于零，而 恒等于零又必需要求 恒等于零。但从状态方程 来看，在 时，要使 和 ，必需满足 等于零的条件。这表明 只可能在原点 处恒等于零，因此系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。又由于 时,有 ，所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。,若在例中

13、选取如下正定函数为李氏函数，即则 是负定的。而且当 时，有所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 由以上分析看出，选取不同的李氏函数， 可能使问题分析得出不同的结果。上面第二种情况下的选择，消除了进一步对 判别的必要性。,定理3.3 设系统方程为式中， 。如果存在一标量函数 ，它具有连续的一阶偏导数，且满足以下条件：是正定的；是负半定的，但在某一X值恒为零。则系统在原点处的平衡状态在李亚普诺夫定义下是稳定的。但非渐近稳定。这时系统可以保持在一个稳定的等幅振荡状态上。,例3.3 系统方程为试确定系统平衡状态的稳定性。解 显然，原点为平衡状态。选取正定函数为李氏函数，即则由上式可见， 在任

14、意 X值上均可保持为零，则系统在李亚普诺夫定义下是稳定的但不是渐近稳定的。,定理3.4 设系统的状态方程为式中， 。如果存在一标量函数 ，它具有连续的一阶偏导数，且满足以下条件：在原点的某一领域内是正定的；在同样的领域内是正定的； 则在原点处的平衡状态是不稳定的。,例3.4 设时变系统的状态方程为显然坐标原点 为其平衡状态。试判断系统在坐标原点处平衡状态的稳定性。,解 可以找一个函数 为显然， 为一标量函数，在 平面上的第一、三象限内，有 是正定的。在此区域内取 的全导数得所以当 时， 因此根据定理4可知，系统在坐标原点处的平衡状态是不稳定的。返回,3.4 线性系统的李亚普诺夫稳定性分析,由李亚普诺夫稳定理论可知，在寻求 函数时，要使 和 具有定号性，两者的符号相反，表示稳定；两者的符号相同，表示不稳定；或者希望 或 中至少有一个是定号的，才能对稳定性进行判断。 因此在构造 函数时，或者先试构造出 是正定的，然后考察 的符号；或者先给出 是负定的，然后确定 是否为正定；或者使 为正定，从系统稳定性要求出发，推导出对于系统的限制。由上一节例题可见，对于某些简单系统，特别是线性系统或近似线性系统，通常可取 为X 的二次型。,