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1、1点关于直线对称公式的应用点关于直线对称公式的应用永靖中学 姬良挺摘要：摘要：点关于直线对称是常见问题，适时推导掌握一些公式，加快运算速度，降低失 误率，本文在一般情况下推导出点关于直线对称公式后，重点介绍直线斜率为 1 或-1 时， 公式变的简单明了，而且应用非常方便。 关键词：关键词：对称，斜率，坐标在高中数学中对称问题随处可见,有点与点对称、点与直线的对称、直线与 直线的对称、图形与图形的对称，其中点关于直线的对称最为常见，适时推导 掌握一些公式,可以加快运算速度，降低失误率。 在直角坐标系中，当直线斜率不存在时， （如图 1）点 P(x0,y0)关于直线 x=a 的对称点 P1坐标为（
2、x1,y1） ，则由中点坐标公式可得 a=（x0+x1） /2,y0=y1即： x1=2a-x0,y1=y0所以得 P1坐标为（2a-x0,y0） ；当直线斜率为 0 时， （如图 2）点 P(x0,y0)关于直线 y=b 的对称点 P1坐标为（x2,y2）则由中点坐标公式可得 b=（y0+y2） /2,x0=x2即：y2=2b-y0,x2=x0所以得 P1坐标为 (x0,2by0)。图 1 图 2 图 3 下面介绍一般情况下，求点 P(x0,y0)关于直线 l：y=kx+b（k0）的对称点 P1的坐标（如图 3） ，设 P1点坐标为（x，y） ，则由直线 PP1与 l 垂直及线段 PP1的中
3、点在 l 上，可得： )2(22) 1 ( 10000bxxkyykxxyy解这个关于 x、y 的二元一次方程组，得： )4(12)1(2)3(12)1(2202 0202 0kbykkxykbkxkkyx2可以验证：该公式在 k=0 时仍然成立。一般情况下运用该公式较繁，也没 有必要记住这个公式，但当直线的斜率为+1 或者-1 时，该公式变的简单明了， 而且应用起来非常方便。 当 k=l 时，将 k 值代入（3） （4）得：x=y0-b, y=x0+b. 当 k=-l 时，将 k 值代入（3） （4）得：x=-y0+b. y=-x0+b.可见：在直线的斜率为+1 或者-1 时，只需将原来点的
4、纵坐标代入直线方程 中求得的 x 的值的为对称点的横坐标，将原来点的横坐标代入直线方程中求得 的 y 值即为对称点的纵坐标。 例 1: 求点（3，5）关于直线 y=x+3 的对称点坐标。 解：在直线方程 y=x+3,将 x 代为 3，得： y=6 即为对称点纵坐标，将 y=5 代入直线方程求,得:x=2 即为对称点横坐标。所以：点（3，5）关于直线 y=x+3 的对称点坐标为（2，6） 。 例 2：求点（a.b）关于直线 y=-x+1 的对称点 解：在直线方程 y=-x+1 中，x 代为 a ，得：y=-a+1 即为对称点的纵坐标， 将 y 代为 b,得：x=-b+1,即为对称点的横坐标。 即：点（a,b）关于直线 y=-x+1 的对称点坐标为（-b+1，-a+1） 。 在直线斜率为 1 或者-1 时，应用上述公式可以快速准确的计算出已知点 关于直线对称点的坐标，在平时学习中应不断总结，并指导学生撰写此类小论 文，可达到举一反三，事半功倍之效。参考文献：参考文献： 全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）
