求函数的值域的方法大全

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1、1求函数求函数值值域方法大全域方法大全（一）、最（一）、最值值与与值值域的高考地位域的高考地位传统传统高考数学中的高考数学中的应应用用题题中凡涉及到利中凡涉及到利润润最大（或最小），最最大（或最小），最少的人力、物力等，均可少的人力、物力等，均可归结归结于最于最值值与与值值域的求解；当今高考数域的求解；当今高考数学中的求字母参数的取学中的求字母参数的取值值范范围问题围问题很大一部分很大一部分归结归结于最于最值值与与值值域的求解域的求解通通过过求函数的最求函数的最值值与与值值域可大大的加深域可大大的加深对对一些数学思想的一些数学思想的领领会，提高运用数学思想解会，提高运用数学思想解题题的能力。的

2、能力。（二）、最（二）、最值值与与值值域的关系域的关系1、有的函数知道、有的函数知道值值域就可以求最域就可以求最值值如：函数如：函数的的值值域是域是，可知，可知2xy 0|yy0miny2、有的函数知道最、有的函数知道最值值就可以求就可以求值值域域3、有的函数有、有的函数有值值域但无最域但无最值值如：函数如：函数的的值值域是域是，但，但,xy10|yy无miny无maxy4、有的函数有最大、有的函数有最大值值但无最小但无最小值值如：函数如：函数， ，但，但2xy0maxy无miny5、有的函数有最小、有的函数有最小值值但无最大但无最大值值如：函数如：函数， ，但，但212 xy2miny无ma

3、xy6、 、值值域有可能是一个数，也可能是几个数构成的集合，但大多是域有可能是一个数，也可能是几个数构成的集合，但大多是一个不等式构成的集合一个不等式构成的集合如：常数函数如：常数函数的的值值域是域是2)(xf27、求最、求最值值与与值值域的方法大同小异域的方法大同小异28、在由、在由值值域确定函数的最域确定函数的最值时值时，需注意等号成立的条件下才能，需注意等号成立的条件下才能取到。取到。如：已知如：已知值值域域，只有，只有，而，而13|yy3miny无maxy9、最、最值值存在定理：存在定理：连续连续函数在函数在闭闭区区间间上一定存在最大上一定存在最大值值和最小和最小值值（三）、基本初等函

4、数的定（三）、基本初等函数的定义义域与域与值值域域函数名函数名函数解析式函数解析式定定义义域域值值域域一次函数一次函数)0(kbkxyRR二次函数二次函数)0(2acbxaxy R时时， ，0a44|2abacyy时时， ，0a44|2abacyy反比例数反比例数)0(kxky0|xx0|yy指数函数指数函数) 10(aayxR0|yy对对数函数数函数) 10(logaxya0|xxR正弦函数正弦函数xysinR【 【-1,1】 】余弦函数余弦函数xycosR【 【-1,1】 】正切函数正切函数xytan)(2|ZkkxxR（四）、函数的最（四）、函数的最值值与与值值域的求解技巧域的求解技巧即

5、是求函数即是求函数值值的集合或是找到的的集合或是找到的 y 的不等式出来（以后者的不等式出来（以后者为为重）重）如：已知函数如：已知函数， ，则则此函数的此函数的值值域是（域是（ ） ）12)(xxf5 , 3 , 2 , 1 , 0xA、 、； ；B、 、； ；C、 、； ；D、 、5 , 3 , 2 , 1 , 93 , 1 , 15 , 3 , 1, 1 , 991|xx3法（一）：法（一）：观观察法察法【 【及及时时反反馈馈】 】1、函数、函数的的值值域是（域是（ ） ）12)(xxfA、 、； ；B、 、； ；C、 、R； ；D、 、) 1,(), 1 ), 1(法（二）：反函数法法

6、（二）：反函数法、理、理论论依据：巧妙根据原函数与它的反函数的定依据：巧妙根据原函数与它的反函数的定义义域、域、值值域的域的互互调调性，如下表所示：性，如下表所示：定定义义域域值值域域原函数原函数)(xfy AC反函数反函数)(1xfyCA由上表知，求原函数的由上表知，求原函数的值值域就是相当于求它的反函数的定域就是相当于求它的反函数的定义义域域、求反函数的步、求反函数的步骤骤（ （“三步曲三步曲”） ）求求； ；x、 、y 互互换换； ；通通过过求原函数的求原函数的值值域得出反函数的域得出反函数的)(yx定定义义域域【 【及及时时反反馈馈】 】（ （1）、求函数）、求函数的的值值域域142)

7、(xxxf（ （2）、求函数）、求函数的的值值域域453)(xxxf法（三）：分离法（三）：分离变变量法量法常用于求形如常用于求形如的函数的的函数的值值域域)0()(acdcxbaxxf求解技巧：求解技巧：“分子分子对对分母分母说说，我要，我要变变成你成你”，即把，即把化成化成“常常)(xf量量+”的形式来。的形式来。dcx 常量4【 【及及时时反反馈馈】 】（ （1）、求函数）、求函数的的值值域域142)(xxxf（ （2）、求函数）、求函数的的值值域域453)(xxxf通通过过以上两以上两题题的的值值域的求解，你域的求解，你发现发现了什么？了什么？（形如（形如的函数的的函数的值值域是域是）

8、 ）)0()(acdcxbaxxf cayy |（ （3）、已知函数）、已知函数的的值值域是域是， ，则则 a 的的值值是是 123)(2xxaxf 21| yy法（四）：基本不等式法法（四）：基本不等式法若若 a0,b0， ，则则 , abba22)2(baab【 【及及时时反反馈馈】 】(1)、若、若 a、 、b 是正数且是正数且， ，则则 ab、 、a+b 的取的取值值范范围围分分别别是是 abba3（ （2）、已知）、已知实实数数 m、 、n 满满足足 mn0,则则的的值值（ （ ） ）mnnm22A、有最小、有最小值值但没有最大但没有最大值值； ；B、有最大、有最大值值但没有最小但没

9、有最小值值； ；C、既有最大、既有最大值值也有最大也有最大值值； ；D、没有最大、没有最大值值也没有最小也没有最小值值； ；型，可直接用不等式性型，可直接用不等式性质质， ，2bykx【 【及及时时反反馈馈】 】求求的的值值域（答：域（答：） ）23 2yx3(0, 2 型，先化型，先化简简，再用均，再用均值值不等式，不等式，2bxyxmxn【 【及及时时反反馈馈】 】（ （2）求函数）求函数的的值值域（答：域（答：） ） 2 3xyx10, 2型，可用判型，可用判别别式法或均式法或均值值不等式法，不等式法，2xm xnymxn5【 【及及时时反反馈馈】 】求求的的值值域（答：域（答：） ）2

10、1 1xxyx(, 31,) 在使用均在使用均值值不等式求函数的最不等式求函数的最值值与与值值域域时时注意：注意：“一正二定三一正二定三相等，和定相等，和定积积最大，最大，积积定和最小定和最小”这这 17 字方字方针针法（五）：配方法法（五）：配方法常用于二次型函数常用于二次型函数的最的最值值与与值值域的求解。域的求解。)0()()(2acxbfxafy配方步配方步骤骤： ：1、把二次、把二次项项系数化系数化为为 1； ；2、在一次、在一次项项之后加上又同之后加上又同时时减去一次减去一次项项的一半的平方；的一半的平方；3、把前三、把前三项项凑成完全平方式。凑成完全平方式。（一）、不（一）、不带

11、带限制条件的二次型函数的最限制条件的二次型函数的最值值与与值值域的求解域的求解技巧技巧 1：通：通过过配方后得到配方后得到abac abxay44)2(2 2当当时时， ，； ；值值域是域是0aabacy442min ,442abac当当时时， ，； ；值值域是域是0aabacy442max abac 44,2技巧技巧 2：求出：求出对对称称轴轴，然后把，然后把对对称称轴带轴带入原函数即得入原函数即得【 【及及时时反反馈馈】 】（ （1）、求函数）、求函数的最的最值值与与值值域。域。12xxy（ （2）、求函数）、求函数的最的最值值与与值值域（要求配方后作出函域（要求配方后作出函12312xx

12、y数的数的图图像）。像）。（ （3）、求函数）、求函数的最的最值值与与值值域。域。822xxy6（ （4）、求函数）、求函数的最的最值值与与值值域。域。 （提示：分离（提示：分离变变量后用配量后用配122xxxxy方法，当然方法，当然还还可以用判可以用判别别式法式法处处理本理本题题。答案：。答案：） ） 1 ,31（二）、（二）、带带有限制条件二次型函数的最有限制条件二次型函数的最值值与与值值域的求解有两域的求解有两类类： ：1、是求具体函数（即不含字母参数的）在、是求具体函数（即不含字母参数的）在闭闭区区间间上的最上的最值值 , m n与与值值域；域；技巧技巧 1：通：通过过配方后画出配方后

13、画出图图形，由数形形，由数形结结合即可求解合即可求解带带有限制条件的二次函数有限制条件的二次函数图图像的画法像的画法须须注意以下几注意以下几点：点：对对称称轴轴； ；开口；开口；顶顶点；点；与坐与坐标轴标轴的交点的交点注意：先画全注意：先画全图图，后根据定，后根据定义义域加以取舍。域加以取舍。技巧技巧 2：可不画：可不画图图求出求出对对称称轴轴，看，看对对称称轴轴与区与区间间的位置关系的位置关系若若对对称称轴轴包含在区包含在区间间内，内，则则把端点及把端点及对对称称轴处轴处的函数的函数值值全求出来加以比全求出来加以比较较，最大者，最大者为为最大最大值值，最小者，最小者为为最小最小值值。 。若若

14、对对称称轴轴在区在区间间外，外，则则只需把端点只需把端点处处的函数的函数值值求出来即求出来即可最大者可最大者为为最大最大值值，最小者，最小者为为最小最小值值。 。【 【及及时时反反馈馈】 】（ （1）、求函数）、求函数的最的最值值与与值值域。域。)0( 12xxxy（ （2）、求函数）、求函数的的值值域（答：域（答：4,8）；）；225, 1,2yxxx （ （3）、求函数）、求函数在如下区在如下区间间中的的最中的的最值值与与值值域。域。322xxy、 、； ；、 、； ；、 、； ；、 、2, 4(2 , 1()5 , 3(),(（ （4）、求函数）、求函数的最的最值值与与值值域。域。 （提

15、示：先（提示：先转转化化为带为带有有xxy2cossin7限制条件的二次型函数的最限制条件的二次型函数的最值值与与值值域的求解）域的求解）（ （5）、若）、若， ，则则函数函数（ （ ） ） 9271 x)3(log27log)(33xxxfA、有最小、有最小值值，最大，最大值值-3； ；B、有最小、有最小值值，最大，最大值值 12； ；9324C、有最小、有最小值值，无最大，无最大值值； ；D、无最小、无最小值值，有最大，有最大值值 12； ；9322、是求区、是求区间间定（定（动动），），对对称称轴动轴动（定）的最（定）的最值问题值问题（即含字母参数的）（即含字母参数的）。此。此时时要分要分“轴轴在区在区间间左；左；轴轴在区在区间间右；右；轴轴在区在区间间内内”三种情况三种情况加以加以讨论讨论【 【及及时时反反馈馈】 】（ （1）、当）、当时时，函数，函数在在时时取得最大取得最大2 , 0( x3) 1(4)(2 xaaxxf2 x值值， ，则则 的取的取值值范范围围是是_