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1、- 1 -第 5 炼 函数的对称性与周期性一、基础知识 （一）函数的对称性 1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或 对称中心）对称 2、轴对称的等价描述：（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）f axf ax f xxa0a （2）关于轴对称 f axf bxf x2abx在已知对称轴的情况下，构造形如的等式只需注意两点，一是等式f axf bx两侧前面的符号相同，且括号内前面的符号相反；二是的取值保证为所fx, a b2abx给对称轴即可。例如：关于轴对称，或得到 f x1x 2f xfx均可，只是在求函数值方面，一侧是更为方便31fxfx f x
2、（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对f xaf xafxa f xxa称。 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在中，仅是括号中的f xax一部分，偶函数只是指其中的取相反数时，函数值相等，即，要与xf xafxa 以下的命题区分：若是偶函数，则：是偶函数中的占据整个括号，所 f xf xafxa f xx以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有f xafxa 本结论也可通过图像变换来理解，是偶函数，则关于轴对称，f xaf xa0x 而可视为平移了个单位（方向由的符号决定） ，所以关于 f xf xaaa f x对称。xa 3、中心对称的等价描述：（1）关于轴对称（当时，恰
3、好就是奇函数）f axf ax f x,0a0a （2）关于轴对称 f axf bxf x ,02ab 在已知对称中心的情况下，构造形如的等式同样需注意两点，一f axf bx - 2 -是等式两侧和前面的符号均相反；二是的取值保证为所给对称中心即可。fx, a b2abx例如：关于中心对称，或得到 f x1,0 2f xfx 均可，同样在求函数值方面，一侧是更为方便35fxfx f x（3）是奇函数，则，进而可得到：关于轴f xaf xafxa f x,0a对称。 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在中，仅是括号中的f xax一部分，奇函数只是指其中的取相反数时，函数值相反，即
4、，要与xf xafxa 以下的命题区分：若是奇函数，则：是奇函数中的占据整个括号， f xf xafxa f xx所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有f xafxa 本结论也可通过图像变换来理解，是奇函数，则关于中心对称，f xaf xa0,0而可视为平移了个单位（方向由的符号决定） ，所以关于 f xf xaaa f x对称。,0a4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部” ，即一旦函数具备对称性，则只需要 分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点： （1）可利用对称性求得某些点的函数值 （2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像 （3）极值点
5、关于对称轴（对称中心）对称 （4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中， 关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同 （二）函数的周期性1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有 f xDxD T，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期 f xTf x f xT f x2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等T3、若是一个周期函数，则，那么， f x f xTf x 2f xTf xTf x即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期2T f xkT kZ f x4、最小正周期：正由第 3 条所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数kT kZ
6、f x中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正- 3 -周期，比如常值函数 f xC5、函数周期性的判定：（1）：可得为周期函数，其周期f xaf xb f xTba（2）的周期 f xaf xf x 2Ta分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式： 2f xaf xa 所以有：，即周期 2f xaf xaf xf x 2Ta注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通 过两个等式看能否得出周期（3）的周期 1f xaf xf x2Ta分析： 1121f xaf xf xa f x（4）（为常数）的周
7、期 f xf xakk f x2Ta分析：，两式相减可得： ,2f xf xak f xaf xak 2f xaf x（5）（为常数）的周期 f xf xakk f x2Ta（6）双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体 f x f x情况如下：（假设）ba 若的图像关于轴对称，则是周期函数，周期 f x,xa xb f x2Tba分析：关于轴对称 f xxa2fxfax关于轴对称 f xxb2fxfbx的周期为22faxfbx f x222Tbaba 若的图像关于中心对称，则是周期函数，周期 f x ,0 ,0ab f x2Tba 若的图像关于轴对称，且关于中心对称，
8、则是周期函数，周期 f xxa,0b f x- 4 -4Tba7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹” ，只要了解一个周期的性质，则得到整 个函数的性质。 （1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值 （2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”（3）单调区间：由于间隔的函数图象相同，所以若在上kT kZ f x, a bbaT单调增（减） ，则在上单调增（减） f x,akT bkTkZ（4）对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴 （或对称中心） ，则T f xxa存在无数条对称轴，其通式为 f x2kTxakZ证明
9、：关于轴对称 f xQxa 2f xfax函数的周期为 f xT f xkTf x关于轴对称2f xkTfax f x2kTxa注：其中（3） （4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法 二、典型例题：例 1：设为定义在上的奇函数，当时，则( )f xR(2)( )f xf x 01x( )f xx_(7.5)f思路：由可得：的周期，考虑将用中的函(2)( )f xf x fx4T (7.5)f01x数值进行表示：，此时周期性已经无法再进行调整，考虑利用(7.5)3.50.5fff奇偶性进行微调： ，所以10.50.52ff 1(7.5)2f 答案：1(7.5)2f 例 2：定义域为的函
10、数满足，当时，R f x 22f xf x0,2x，则（ ） 3 21 2x f x 5 2fA. B. C. D. 1 41 81 21 4思路：由，可类比函数的周期性，所以考虑将 12222f xf xf xf x- 5 -向进行转化： 5 2x 0,2x33 2251113111 22242424fff 答案：D小炼有话说：虽然不是周期函数，但函数值关系与周期性类似，可理解为：间隔 2 个 f x单位的自变量，函数值呈 2 倍关系。所以在思路上仍可沿用周期性的想法，将自变量向已知 范围进行靠拢。例 3：定义在上的函数对任意，都有，则R f xxR 112,214f xf xff x等于（
11、 ）2016fA. B. C. D. 1 41 21 33 5思路：由及所求可联想到周期性，所以考虑 121f xf xf x2010f，所以是周期为 4 的周期函数，故 11121411211f x f xf xf xf xf xf x f x f x，而由已知可得，所以 20164ff 1234125fff320165f答案：D例 4（2009 山东）：定义在上的函数满足，则R f x 2log1,012 ,0xxf xf xf xx的值为（ ）2009fA. B. C. D. 1012思路：所给的特点为才有解析式能够求值，而只能通过 f x0x 0x 减少自变量的取值，由所求可联想到判断
12、是否 12f xf xf x2009f f x具有周期性，时，则有0x 12f xf xf x，两式相加可得：，则123f xf xf x 3f xf x ，即在时周期是 6，故 36f xf xf x f x0x - 6 -，而 200952fff 21001011fffffff答案：C 小炼有话说：（1）本题的思路依然是将无解析式的自变量通过函数性质向含解析式的自变量靠拢，而数较大，所以考虑判断函数周期性。2009x （2）如何快速将较大自变量缩至已知范围中？可利用带余除法除以周期，观察余数。则被 除数的函数值与余数的函数值相同，而商即为被除数利用周期缩了多少次达到余数。例如本题中，从而200963345L 20095ff（3）本题推导过程中也有其用处，其含义是间隔为 3 的自变量函数值互 3f xf x 为相反数，相比周期，它的间隔更小，所以适用于利用周期缩小自变量范围后，进行“微调” 从而将自变量放置已知区间内例 5：函数是周期为的偶函数，当时，则不等式 f x40,2x 2log11f xx在上的解集为_ 0xf x 1,3思路：从已知出发可知时，为增函数，0,2x f x且，所以时， 21log 210
