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1、第四章 第 29 炼 图像变换在三角函数中的应用 三角函数与解三角形第 29 炼 图像变换在三角函数中的应用在高考中涉及到的三角函数图像变换主要指的是形如的函数，通sinyAx过横纵坐标的平移与放缩，得到另一个三角函数解析式的过程。要求学生熟练掌握函数图像变换，尤其是多次变换时，图像变化与解析式变化之间的对应联系。一、基础知识：（一）图像变换规律：设函数为（所涉及参数均为正数） yfx1、函数图像的平移变换：（1）：的图像向左平移个单位fxa fxa（2）：的图像向右平移个单位fxa fxa（3）：的图像向上平移个单位 fxb fxb（4）：的图像向下平移个单位 fxb fxb2、函数图像的放
2、缩变换：（1）：的图像横坐标变为原来的（图像表现为横向的伸缩） f kx fx1 k（2）：的图像纵坐标变为原来的倍（图像表现为纵向的伸缩） kfx fxk3、函数图象的翻折变换：（1）：在轴正半轴的图像不变，负半轴的图像替换为与正半轴图像关于 fx fxx轴对称的图像y（2）：在轴上方的图像不变，轴下方的部分沿轴向上翻折即可（与原 fx fxxxx轴下方图像关于轴对称）xx（二）图像变换中要注意的几点：1、如何判定是纵坐标变换还是横坐标变换？在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下： 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的
3、变换例如：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤31yfx第四章 第 29 炼 图像变换在三角函数中的应用 三角函数与解三角形：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标2yfx的为平移变换2、解析式变化与图像变换之间存在怎样的对应？由前面总结的规律不难发现：（1）加“常数” 平移变换（2）添“系数”放缩变换（3）加“绝对值”翻折变换3、多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则： 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求 横坐标的多次变换中，每次变换只有发生相应变化x例如：可有两种方案 21yfxyfx方案一
4、：先平移（向左平移 1 个单位） ，此时。再放缩（横坐标变为原 1fxfx来的） ，此时系数只是添给，即1 22x121fxfx方案二：先放缩（横坐标变为原来的） ，此时，再平移时，若平移个1 2 2fxfxa单位，则（只对加） ，可解得，故向左平2222fxfxafxaxa1 2a 移个单位1 2 纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行例如：有两种方案 21yfxyfx方案一：先放缩：，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加 2yfxyfx1，即 221yfxyfx方案二：先平移：，则再放缩时，若纵坐标变为原来的倍， 1yfxyfxa那么，无论取何值，也无法达到，所 11yfx
5、ya fx a 21yfx以需要对前一步进行调整：平移个单位，再进行放缩即可（）1 22a 二、典型例题：第四章 第 29 炼 图像变换在三角函数中的应用 三角函数与解三角形例 1：要得到函数的图像，只需要将函数的图像（ ）sin 23yxsin2yxA. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 3 3C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位6 6思路：观察发现原始函数与变换后的函数仅仅多一个常数，说明只有平移变换，在变换的过程中要注意只有含的地方进行了变化，所以只有，xsin2sin 263yxx所以是向右平移个单位6答案：C小炼有话说：（1）图像变换要注意区分哪个是原始函数，哪个是变化后的
6、函数。（2）对于前面含有系数时，平移变换要注意系数产生的影响。x例 2：把函数的图像上所有的点横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，sinyx再把图像向右平移个单位，这是对应于这个图像的解析式是（ ）3 4A. B. C. D. cos2yxcos2yx 13sin24yx13sin28yx思路：，经过化简可得：13 243sinsin2sin24yxyxyx 横坐标向右平移33sin2sin 2cos242yxxx答案：A 例 3：为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）sin 26yxcos2yxA. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 3 3C. 向右平移个单位 D. 向左平移个
7、单位6 6思路：观察可发现两个函数的三角函数名不同，而图像变换是无法直接改变三角函数名的，只有一个可能，就是在变换后对解析式进行化简，从而使得三角函数名发生改变。所以在第四章 第 29 炼 图像变换在三角函数中的应用 三角函数与解三角形考虑变换之前，首先要把两个函数的三角函数名统一，第二cos2sin 22yxx步观察可得只是经过平移变换，但是受到系数影响。所以考虑对两个函数进行变形以便x于观察平移了多少，目标函数：；原函数：sin 212yxsin 2sin 224yxx可得平移了个单位3答案：B小炼有话说：常见的图像变换是不能直接改变三角函数名，所以当原函数与目标函数三角函数名不同时，首先
8、要先统一为正弦或者余弦例 4：要得到的图像只需将的图像（ ）sinyxsin23xyA. 先向左平移个单位，再将图像上各点的横坐标缩短至原来的2 31 2B. 先向右平移个单位，再将图像上各点的横坐标缩短至原来的2 31 2C. 先将图像上各点的横坐标缩短至原来的，再将图像向左平移个单位1 23D. 先将图像上各点的横坐标扩大为至原来的倍，再将图像向右平移个单位23思路：本题中共用两个步骤：平移与放缩。步骤顺序的不同将会导致平移的程度不同，所以可以考虑按照选项的提示进行变换，看结果是否与已知相同A. 12122sinsinsinsin23233233xyyxxyxB. 121sinsinsin
9、sin232332xyyxxyxC. 2sinsinsin2333xyyxyxD. 11sinsinsinsin234343344xxyyyxx答案：B第四章 第 29 炼 图像变换在三角函数中的应用 三角函数与解三角形例 5：为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ xxy3cos3sinxy3sin2）A.向右平移个单位 B.向左平移个单位 4 4C.向右平移个单位 D.向左平移个单位 12 12思路：先将两个函数化为相同的结构，再考虑图像变换，从入手化为xxy3cos3sin的形式：，从而sinyAx222sin3cos32sin 3224yxxx得到需要向左平移个单位。xy3sin212
10、答案：D例 6：将函数的图像沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，sin 2yxx8则的一个可能取值为（ ）A B C D404 43思路：首先先求出平移后的解析式，8sin 2sin 28yxyx 向左平移即，在由已知可得其中一条对称轴为，所以sin 24yx0x ，解得：，当时， 242kkZ24kkZ0k 4答案：C小炼有话说：本题为图像变换与三角函数性质相结合的题目例 7：若将函数的图像向右平移个单位可得到一个奇sinyx0,26函数的图像，向左平移个单位可得到一个偶函数的图像，则可取的一组值是（ 3, ）A. B. 2,32,6 C. D. 1,61,26第四章 第 29 炼
11、图像变换在三角函数中的应用 三角函数与解三角形思路：本题也可按照例 6 的处理方式，通过两次平移得出解析式然后列出的方程组求, 解，但从另一方面，由两次平移后得到的对称轴（对称中心）的位置可以推出平移之前的对称位置，从而确定出原函数的对称轴与对称中心：向右平移个单位后关于对称，60,0则原函数关于中心对称；向左平移个单位关于轴对称，则原函数关于,0630x 轴对称，从而确定周期，进而，而3x4236T 1向右平移个单位得到奇函数，可得sinyx6 6答案：C例 8：若把函数图像向左平移个单位，则与函数的图像重合，则sinyx3cosyx的值可能是（ ）A. B. C. D. 1 31 22 3
12、3 2思路：首先将两个函数的三角函数名统一：，将函数cossin2yxx向左平移得到的解析式为，由于两个sinyx3sinsin33yxx函数图像重合，可得，所以sinsin32xx，解得：，故选择 D232xxkkZ362k kZ答案：D例 9将函数的图象向右平移个单位长度后 sin 222f xx0 得到函数的图象，若的图象都经过点，则的值可以是（ g x ,f xg x30,2P ）A. B. C. D.5 35 6 2 6思路：可以考虑先求出的解析式，从而减少中的变量个数。 f x g x第四章 第 29 炼 图像变换在三角函数中的应用 三角函数与解三角形，而，即，所以 30sin2f223
