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1、静力学核心内容,第二章 力系的平衡,2-1 一般力系的平衡条件,2-2 特殊力系的平衡方程,2-3 简单平衡问题,2-4 物体系统平衡问题(f=0),2-5 平面静定桁架,2-6 考虑摩擦的物体平衡,目录,第二章 力系的平衡,2-1 一般力系的平衡条件,2-1-1 力系几何平衡条件,2-1-2 力系解析平衡条件平衡方程,目录,第二章 力系的平衡,2-1-1 力系几何平衡条件,主矢和主矩矢多边形同时封闭。,不平衡。实为一合力偶,平 衡,2.图示力系沿正方体棱边，各力大小相等， 平衡吗?若不平衡，试加一力使之平衡。,1.图示受力圆板平衡吗?,2-1 一般力系的平衡条件,不平衡。加力F后平衡。,2-
2、1-2 力系解析平衡条件平衡方程,1.基本形式,即空间力系平衡方程基本形式, 6个独立方程 可解6个未知量。,2. 其它形式,由 、 向直角坐标轴投影，得,4矩式 、 5矩式、6矩式及其补充条件。(并不重要),2-1 一般力系的平衡条件,由基本式去掉力系几何性质自动满足的方程,1.平面一般力系,置各力线于xOy平面，则,-三矩式,(A,B,C不共线),-二矩式,-基本式,则,2-2 特殊力系的平衡方程,第二章 力系的平衡,2.空间汇交力系 ，汇交于O点,3.空间平行力系,让各力线平行于z轴，有,则,则,第二章 力系的平衡,2-2 特殊力系的平衡方程,(1)力系平衡时，对任意轴x，有,(2)各类
3、力系独立平衡方程数,可用于判断问题是否可解。,4. 平衡方程要点,第二章 力系的平衡,2-2 特殊力系的平衡方程,指出下列力系独立平衡方程数目。,1. 各力线平行于某平面。,5,2. 各力线平行于某直线。,3. 各力线相交于某直线。,4. 各力线分别汇交于两点。,3,5,5,5. 一个平面任意力系加一个垂直于此平面力系所 在平面的平行力系。,6,6. 一个平面任意力系加一个平行于此平面力系所 在平面的平行力系。,4,第二章 力系的平衡,2-2 特殊力系的平衡方程,下列问题是否可解?,三杆平行，,三杆汇交，,一为“0”杆,四杆汇交，,四杆平行，,三杆不平行，,三杆不汇交，,可解,不可解,可解,不
4、平衡,力偶平衡，,不可解(非对称),不可解(非对称),第二章 力系的平衡,2-2 特殊力系的平衡方程,可解,四杆对称汇交，,可解,四杆对称平行，,可解,1.汇交力系,分别研究A、B轮，受力如图，,由相应力，有,2-3 简单平衡问题,第二章 力系的平衡,若 f0 情形怎样?,轮为二力构件，斜面约束力必指向轮心，摩擦力为零，故结果相同!,三力以上汇交力系，宜用解析法!,本例可用解析法，对A，B分别由四个方程求解。,第二章 力系的平衡,2-3 简单平衡问题,2. 平行力系,2.如图所示，移动式起重机自重(不包括平衡锤 重量) ，其重心O离右轨1.5 m，悬臂最大 长度为10 m，最大起重量 。欲使跑
5、车满载 或空载时起重机均不致翻倒，求平衡锤的最小重量以 及平衡锤到左轨的最大距离x。 跑车自重可忽略不计。,第二章 力系的平衡,2-3 简单平衡问题,研究整体，其受力如图所示，各力组成一平面 平行力系。,满载时，,起重机不向右翻倒的条件是,故,即,空载时，,，,，,第二章 力系的平衡,2-3 简单平衡问题,故,起重机不向左边翻倒的条件是 ，,即,(b),故,第二章 力系的平衡,2-3 简单平衡问题,故,并验证(a),(b)两个不等式成立。,第二章 力系的平衡,2-3 简单平衡问题,3. 试求图示折杆C截面的内力。,截面法。,轴力,假设用垂直于轴线 的平面在C处将 杆截开，研究BC段，C截面内力
6、如图。,第二章 力系的平衡,2-3 简单平衡问题,扭矩,剪力,第二章 力系的平衡,弯矩,2-3 简单平衡问题,分三段，选取三个坐标。,如:将C处2m，改为x，则AE段扭矩为常数，弯矩成为线性函数。,如何求各段内力函数?,第二章 力系的平衡,2-3 简单平衡问题,在x处作截面，研究左半段，受力如图。,4.已知 q、l ,试求图示简支梁，横截面内力 随轴线 x 的变化规律(内力函数)。,约束力,第二章 力系的平衡,2-3 简单平衡问题,第二章 力系的平衡,时，,2-3 简单平衡问题,5.图(a)所示支架由三根互相垂直杆刚结而成， 两圆盘直径均为d，分别固定于两水平杆杆端上，盘 面与杆垂直。竖直杆A
7、B长为l，在图示荷载下试确定 轴承A，B的约束力。,3. 力偶系,研究整体，,第二章 力系的平衡,2-3 简单平衡问题,其方向如图(c)所示。,运用力偶系平衡的几何条件解空间三力偶问题十分简便，先由力偶矩矢三角形，求出未知约束力偶矩矢的大小和方向，再用右手法则确定约束力的方向。,由力偶矢三角形(图 b) 知， 约束力偶矩 的大小为,2-3 简单平衡问题,第二章 力系的平衡,先研究杆DE，其受力如图(b)所示。,6.图 (a)所示结构中，杆DE的D端及杆端B为铰， E端光滑搁置，且 DEAC， ， 力偶矩为M ,求A，C铰支座约束力。,与AB杆平行，,第二章 力系的平衡,2-3 简单平衡问题,再
8、研究杆AB，其受力如图 (c)所示。,最后研究整体，其受力如图 (d)所示，因铰A对AB 杆约束力为FA，方向沿BA，它与铰C对BC杆约束力组 成一力偶。,第二章 力系的平衡,可由三力汇交判断!,2-3 简单平衡问题,力偶只能由力偶平衡，由此确定D，C处约束力方向；杆端力沿杆向正交分解，常使求解简便。,第二章 力系的平衡,2-3 简单平衡问题,4. 变形体平衡问题,第二章 力系的平衡,2-3 简单平衡问题,由于B端为可动铰支座，横截面上不 产生轴向内力。取梁的微段dx，其受力如 图 (b)所示，,先将整体受力简化为梁的纵向对称面 内的平面力系，再简化横截面内力。,第二章 力系的平衡,2-3 简
9、单平衡问题,略去上式中的二阶微量,，由(a)和(b)式得,这组方程由刚体平衡条件导出，是材料力学中分 析梁内力的基础。,第二章 力系的平衡,2-3 简单平衡问题,8. 试导出理想流体(无粘性)的静力平衡微分方程。设单位体积质量体积力为 。,考察左右两侧面中点的压 强大小如图所示，并视为整个 侧面的平均压强。,第二章 力系的平衡,2-3 简单平衡问题,同理可得,故有,即,这就是静止理想流体的平衡微分方程，也由刚体 平衡条件导出，是欧拉于1755年首先提出的。,故,第二章 力系的平衡,2-3 简单平衡问题,9.悬链线。如图a所示总长为l的柔软绳索两端对称悬挂于重力场中，已知绳索单位长度的重量为q，
10、试求平衡时绳索的形状。,第二章 力系的平衡,2-3 简单平衡问题,取绳索最低点O为坐标原点，研究任意OA段索，其受力如图 (b)所示。,由 得:,(a),由 得:,(b),其中，s为OA弧长。,第二章 力系的平衡,2-3 简单平衡问题,分离变量后，从O到A点积分得,即,两边对x求导数，得,第二章 力系的平衡,2-3 简单平衡问题,此即为悬链线方程。,第二章 力系的平衡,2-3 简单平衡问题,简单超静定问题,2.4 物体系统平衡问题,图(a),2-3 简单平衡问题,本题所涉及的力系属平面平行力系，有三个 未知力，只有两个独立平衡方程，是一次超静定问题 尚需建立一个补充方程。设系统受力后，位移如图
11、b 所示。,又,(a),(b),2.4 物体系统平衡问题,图(b),2-3 简单平衡问题,联立(a)，(b)，(c)式得,1.求解超静定问题的关键是，由变形情况， 通过物理关系，建立包含未知力的补充方程，再与静 力平衡方程联立求解。2.所设未知力的方向与物体变形假设方向要一致。,(c),例题图a中，若有n根弹簧悬吊，如何求解?,2.4 物体系统平衡问题,2-3 简单平衡问题,确定各构件的受力(外力、内力),目标:,第二章 力系的平衡,2-4 物体系统平衡问题(f=0),2-4-1 静定与超静定概念,2-4-2 物系平衡问题解法,目录,2-4-1 静定与超静定概念,未知量个数Nr独立方程数Ne,
12、未知量个数Nr独立方程数Ne,只用静力平衡条件能求解的问题。,静定:,超静定:,只用静力平衡条件不能求解的问题,先建立初步概念，组成分析后再严格定义.,(各构件全部外力),2-4 物体系统平衡问题,Nr=6 Ne =6 静定结构,Nr=7 Ne =6 超静定结构,Nr=5 Ne =6 运动机构(k=1):一个自由度,2-4 物体系统平衡问题,2-4-1 静定与超静定概念,Nr=8 Ne =6 二次超静定,Nr=8 Ne =6 二次超静定,试判断下列系统是否静定?,2-4 物体系统平衡问题,2-4-1 静定与超静定概念,(c) Nr = 3+2+2 = 7 Ne = 2 3 = 6; 一次超静定
13、,2-4 物体系统平衡问题,2-4-1 静定与超静定概念,(d) Nr = 6+3 = 9 Ne = 2 4 = 8; 一次超静定或 Nr = 4 4+3 = 19 Ne = 3 6 =18; 一次超静定,2-4 物体系统平衡问题,2-4-1 静定与超静定概念,(e) Nr = 4 Ne = 3; 一次超静定,2-4 物体系统平衡问题,2-4-1 静定与超静定概念,2-4-2 物系平衡问题解法,1.一般步骤,1)灵活选对象，先求未知量,“先整体，后局部” 或 “先局部、后整体”,2)正确画受力图，注意力系的等效条件,3)巧取矩心、投影轴、尽量避免联立方程,常选未知力交点矩心、与多个未知力垂直的
14、投影轴。,2-4 物体系统平衡问题,2. 典型例题,整体“静定型”,先研究整体，受力如图 (a),2-4-2 物系平衡问题解法,2-4 物体系统平衡问题,1.已知F1、F2分别作用于AC、BC杆中点， 不计杆重，求AB杆内力。,再研究BC杆，受力如图(b),整体“静定”，先研究整体，后拆开分析局部。不需求的约束力不求。,题型特点:,2-4-2 物系平衡问题解法,2-4 物体系统平衡问题,由 ，得,1.求出FB后，研究铰B，能求出 FAB吗?,铰B受力如图，直接求不出。,求出FCx、FCy后即可求出!,2.若AB上作用一力，AB杆内力有何变化?能否求出?,2-4-2 物系平衡问题解法,2-4 物
15、体系统平衡问题,此时，AB杆内力有3个分量，,2.如图 (a)所示结构中，C，E处为光滑接触， 销钉A，B穿透其连接的各构件，已知尺寸a，b，铅垂 力F可以随x的变化而平移。求AB杆所受的力。,2-4-2 物系平衡问题解法,2-4 物体系统平衡问题,先研究整体，其受力如图 (b)所示。,再研究BC杆，其受力如图(c)所示。,故,2-4-2 物系平衡问题解法,2-4 物体系统平衡问题,最后研究AC杆，其受力如图(d)所示。,(AB是二力杆)。,故,可见，AB杆受力与x无关。,2-4-2 物系平衡问题解法,2-4 物体系统平衡问题,本题所涉及结构属“整体”静定型，先求出铰A约束力。注意AB为二力杆，它所受销钉A对它的约束力与其A端对销钉的作用力等值反向；A处销钉附在AC杆上，使分析过程简化。,
