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1、数学学习资料 数学学习资料 1.3.11.3.1 函数的单调性(第一课时)函数的单调性(第一课时)教学设计教学设计 新疆乌鲁木齐八一中学 韩昕 课型:新授课课型:新授课 一、教学内容解析及学情分析一、教学内容解析及学情分析 首先,从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段: 第一阶段是学生在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数,对函数的增 减性有一个初步的感性认识,知图象的变化趋势;第二阶段是在高一学习函数 单调性的严格定义,从数和形两个方面理解单调性的概念;第三阶段则是在高 二利用导数为工具研究函数的单调性,并知其变化快慢.高一单调性的学习,既 是初中学习的延续和深化,
2、又为高二的学习奠定基础 其次,从函数角度来讲. 函数的单调性是学生学习的第一个函数性质,也 是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性 一样,都是研究自变量变化时,函数值的变化规律;学生对于这些概念的认识, 都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段,即都从观察图象,用自然 语言描述函数图象特征,以函数解析式为依据经历用符号语言刻画图形语言, 用定量分析解释定性结果的过程.因此,函数单调性的学习为进一步学习函数的 其它性质提供了方法依据. 最后,从学科角度来讲.函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其它数 学知识的重要基础,是解决数学问题的常用工具,也是培养学生逻
3、辑推理能力 和渗透数形结合思想的重要素材,同时是一节具有奠基意义的数学方法课. 二、教学目标二、教学目标 按照教学大纲的要求,根据教材和学情,确定如下教学目标: 1 1知识与技能目标:知识与技能目标: 使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念; 掌握利用函数图象和单调性定义判断函数单调性的方法; 掌握利用函数单调性的定义证明函数在某个区间上的单调性. 隐性目标:让学生体验数学知识的发生发展过程,在体验函数单调性概念 的建构过程中掌握数学的认知策略. 2.2.过程与方法目标:过程与方法目标: 通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合的思想方法; 通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力;
4、在体验函数单调性概念符号化的建构过程中,让学生体会数学知识的发生 发展过程:由形象到抽象,从具体到一般,掌握数学概念的本质,培养学生观 察、归纳、抽象的概括能力和语言表达能力; 数学学习资料 数学学习资料 通过课堂练习单及时巩固学习成果,完成学习目标. 3 3情感、态度与价值观目标:情感、态度与价值观目标: 充分发挥学生在学习中的主体地位,引导学生活动、观察、思考、合作、 探究、归纳、交流、反思,促进学生形成研究氛围和合作意识. 重视知识的形成过程教学,培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良 好思维习惯让学生知其然并知其所以然,通过学习新知识体会到前人探索的艰 辛过程与收获的乐趣. 三、教学
5、重、难点三、教学重、难点 对于函数的单调性,学生的认知困难主要在两个方面: 首先,用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降,把对单调性直观感 性的认识上升到理性的高度, 这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一 的学生来说比较困难.如何让学生理解这种符号化的、抽象的数学语言,参与函 数单调性概念的形成过程是本节课的第一个难点. 其次,由于学生第一次接触到代数证明,如何运用函数单调性的定义严格 证明函数的单调性并完成规范的书面表达则是本节课的另一难点. 根据以上的分析和教学大纲对单调性的教学要求,本节课的教学重难点是: 教学重点教学重点:增(减)函数概念的形成; 教学难点:教学难点:形成增
6、(减)函数概念的过程中,如何从图象升降的直观认 识 过渡到函数增减的数学符号语言表达; 用定义证明函数的单调性. 四、教法、学法四、教法、学法 教法:本节课是函数单调性的起始课,根据教学内容、教学目标和学生的 认知水平,主要采取教师启发讲解和学生探究发现的教学方法.教学过程中,根 据教材提供的线索,安排适当的教学情境,让学生展示相应的数学思维过程, 使学生有机会经历数学概念抽象的各个阶段,引导学生独立自主地开展思维活 动,深入探究,从而创造性地解决问题,最终形成概念,获得方法,培养能力. 同时使用多媒体辅助教学以及几何画板的使用,增强动感和直观性,充分发挥 其快捷、生动、形象的特点,有助于学生
7、对问题的理解和认识,提高教学效果 和教学质量; 学法:合作实践、学生展示、小组讨论、发现总结等方法. 五、教具准备五、教具准备 实物展示台、多媒体. 六、教学过程:六、教学过程: (一)问题情境:(一)问题情境: 在 2016 年 8 月 10 号的里约奥运会上,由陈若琳和刘蕙瑕组成的双人组合 获得 10 米台跳水冠军,展示跳水动图,问题 1:跳水运动员的运动轨迹是什么? 问题 2:从左向右看,图象的变化趋势是什么? 函数图象的上升与下降的趋势就反映了函数的单调性. 数学学习资料 数学学习资料 设计意图:设计意图:把我国运动员获得奥运冠军这件时事作为情境引入,增强学生 的民族自豪感,另外根据运
8、动员的运动轨迹曲线很自然地引入函数的单调性这 节课,让学生感受数学来自生活. (二)建构定义(二)建构定义: : 1. 概念探究阶段 第一次认识:第一次认识:(图形语言)观察函数的图象,思考 1:从左向右看函 2 xy 数在区间上的图象有怎样的变化趋势?(上升?下降?)思考 2:怎样描,0 述图象的上升呢? 第二次认识:第二次认识:(文字语言)教师几何画板展示,点 A 在上向上运动,0 时,A 点坐标的变化.让学生观察到,函数在区间上,随着自变量 2 xy ,0 的增大,函数值也增大.xy 这是我们从形的角度观察到的,那么怎样用符号和式子描述函数值随着y 自变量的增大而增大呢?x 第三次认识:
9、第三次认识:(符号语言)首先:将两个“增大”符号化,比较才能出大 小,在区间上的,即当时,.在区间 D 上的,0 1 x 2 x 12 xx )()( 21 xfxf ,即当时,.此时一定能保证在区间 D 上的图象是 1 x 2 x 12 xx )()( 21 xfxf 上升的吗?图象可能会出现哪些情况?需要添加什么条件使得在区间 D 上的图 象是上升的? 所以,进一步完善表达: 对于区间上的任意的两个自变量的值,当时,都有,0 21,x x 12 xx ,那么就说函数在区间上是增函数.)()( 21 xfxf 2 )(xxf,0 设计意图:设计意图:通过由图象直观感知 自然语言描述 数学符号
10、语言描 述,即从直观到抽象、特殊到一般、感性到理性的认识过程,学生能够更好的 感受数学知识的生成过程通过一系列的问题逐步引导学生发现,的任意 1 x 2 x 性,让学生体会数学的严谨性. 2. 本着从特殊到一般的原则,对于一般函数,我们来定义增函数: 设函数的定义域为 I,,任意,当时,都有)(xfID Dxx 21,21 xx ,那么就说函数在区间D上是增函数.)()( 21 xfxf)(xf 3.对比增函数的定义,由学生归纳出减函数的定义. 数学学习资料 数学学习资料 设函数的定义域为 I,,任意,当时,都有)(xfID Dxx 21,21 xx ,那么就说函数在区间D上是减函数.)()(
11、 21 xfxf)(xf 即减函数图象在区间 D 内呈下降趋势,当 x 的值增大时,函数值 y 减小. 设计意图:设计意图:得出减函数定义,培养学生的类比能力 4.对定义的理解: (1)的任意性;教师几何画板展示,帮助学生从运动变化的观点理 21,x x 解的任意性. 21,x x (2)对的理解:此时与不等,说明变量不同,函数值 21 xx )( 1 xf)( 2 xf 不同,所以我们不在一点出讨论函数的单调性,当端点在定义域的范围内,区 间可开可闭,当端点不在定义域的范围内,区间是开区间. (3)分析定义中自变量与因变量的变化关系,当时, 21 xx 说明了什么? 0 2121 xfxfx
12、x 设计意图:设计意图:定义是数学的核心,通过教师带领学生理解定义,可以提高学 生的认识和理解. 5.函数的单调性定义 如果函数在区间 D 上是增函数或者减函数,那么就说函数 )(xfy 在区间 D 上具有单调性,函数的单调性也叫函数的增减性;增函数与 )(xfy 减函数也分别叫做单调递增函数,单调递减函数;区间 D 叫做函数的 )(xfy 单调区间. 所以,函数的单调性是定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质. 探究:探究:函数在定义域上的单调性是怎样的? x y 1 设计意图:设计意图:再次让学生体会和理解函数单调性的定义,多个单调增(减)区 间用“, ” “和”连接,不用“”. 类
13、型一:根据函数图象写出函数的单调区间类型一:根据函数图象写出函数的单调区间 例例 1.1.下图是定义在5,5上的函数的图象,根据图象说出函数)(xfy 的单调区间,以及在每一单调区间上,是增函数还是减函数。)(xfy )(xfy 数学学习资料 数学学习资料 解:的单调区间有5,2) ,2,1) ,1,3) ,3,5.)(xfy 其中在5,2),1,3)上是减函数;)(xfy 在2,1) , 3,5)上是增函数. 变式变式 1 1: 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 10864224681012 A 变式变式 2 2: 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 10864224681012
14、A 变式变式 3 3: 数学学习资料 数学学习资料 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 10864224681012 A 设计意图:设计意图:通过例 1 和变式,学生知道可以借助函数图象找出函数的单调区间, 并加深对函数单调性概念的理解 类型二:根据函数的单调性定义证明函数的单调性类型二:根据函数的单调性定义证明函数的单调性 例例 2.2.用函数的单调性定义证明:函数在区间上是减函)0(k x k y,0 数. 证明:设是上的任意两个实数,且, 21,x x), 0( 21 xx 则 21 12 21 21 )( )()( xx xxk x k x k xfxf ,得,由 21 0xx ,
15、 0 21 xx0 12 xx0k 于是0,即)()( 21 xfxf)()( 21 xfxf 所以,函数在上是减函数。)0(k x k y,0 说明:说明:这两道例题介绍了 (1)判断函数单调性的两种方法:根据图像观察,根据定义证明; (2)证明函数单调性的步骤: 取值,设任意属于给定区间,并规定大小; 21 xx 、 作差变形,变形的常用方法:因式分解、配方、有理化 2 )()( 21 xfxf 等; 定号确定的正负号; 3 )()( 21 xfxf 数学学习资料 数学学习资料 下结论:由定义得出函数的单调性 即时练习:即时练习:利用定义证明函数在上是减函数. x xy 1 10, (4)
16、(4)、课堂练习: 1.讨论以下函数的单调性: (1) bkxy (2) )0( 2 acbxaxy )0(3k x k y)( 设计意图:设计意图:让学生体会到有的函数可能在整个定义域上单调,有的函数在定义 域的某个区间上单调,函数的单调性是函数的局部性质. 3. 利用定义证明函数在上是增函数.xy ,0 (五)、小结(五)、小结 1.判定函数单调性的方法:图象法,定义法; 2.定义法步骤:取值,作差变形,定号,下结论; 3.增(减)函数概念的形成,经历了哪些过程? 4.凭借直观的图象,我们能判断函数的单调性,为什么还要用数学符号语 言定义增(减)函数呢? 在数学中,描述事物运动变化规律的数学模