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1、1,第八章,采样系统理论,第8章 采样系统理论,8-1 采样过程与采样定理,基本要求,8-2 信号的恢复与零阶保持器,8-3 z变换与z反变换,8-4 脉冲传递函数,8-5 采样系统的性能分析,8-6 采样系统的数字校正,返回主目录,3,基 本 要 求,正确理解采样过程，采样定理，信号复观和零阶保持器的作用, 了解采样系统与连续系统的区别与联系。 Z变换和Z反变换，熟练掌握几种典型信号的Z变换和通过部分分式分解进行反变换, 了解用Z变换法解差分方程的主要步骤和方法。 正确理解脉冲传递函数的概念，熟练掌握简单采样系统开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的计算方法, 掌握典型闭环采样系统输出的Z变换
2、表达式。,返回子目录,4,熟练掌握Z域稳定性的判别方法。 熟练掌握采样瞬时的稳态误差的计算方法，正确理解终值定理的使用条件、积分环节与系统的型别的关系。 熟练掌握瞬态响应与极点分布的对应关系。 掌握最小拍采样系统的设计步骤。,5,图8-1 机载火力控制系统原理图,6,8-1 采样过程与采样定理,一、采样过程,将连续信号转换成离散信号的过程,该过程可以看成是一个信号的调制过程，如图8-3 所示， 其中载波信号,是一个周期为T，宽度为,)，,的脉冲序列，如图8-3（b）所示。,幅值为,幅值正比于采样瞬时值的脉冲序列，如图8-3（c）所示。,调制后得到的采样信号是一个周期为T，宽度为,返回子目录,(
3、,7,图8-3 信号的采样过程,8,实现上述采样过程的装置称为采样开关可用图8-3（d）所示的符号表示。,（8-1）,（8-2）,9,则采样信号 可以表示为,（8-4）,（8-3）,其中， 为采样频率，Fourier系数 由下式给出,10,若连续信号的Fourier变换为 ，则采样信号的Fourier变换为,连续信号 与离散信号 的频谱曲线如图8-4所示。,（8-5）,11,图8-4,12,香农（Shannon）采样定理,若存在一个理想的低通滤波器，其频率特性如图8-5所示，便可以将采样信号完全恢复成原连续信号。由此可得如下著名的 ：,图8-5）,香农（Shannon）采样定理,13,如果采样
4、频率 满足以下条件,式中 为连续信号频谱的上限频率,则经采样得到的脉冲序列可以无失真地恢复为原连续信号。,（8-6）,14,二、理想采样过程,为了简化采样过程的数学描述，引入如下理想采样开关的概念 。 载波信号 可以近似成如下理想脉冲序列（ ）,（8-7）,15,再设当 时，,则采样过程的数学描述为,此时，采样过程如图8-6所示。,理想采样开关的输出是一个理想脉冲序列。,（8-8）,16,图8-6 理想采样开关的采样过程,17,同样， 可以展成如下Fourier级数,18,图8-7 连续信号和采样信号的频谱,19,注 意 ：,上述香农采样定理要求满足以下两个条件：频谱的上限频率是有限的；,存在
5、一个理想的低通滤波器。但可以证明理想的低通滤波器在物理上是不可实现的，在实际应用中只能用非理想的低通滤波器来代替理想的低通滤波器；,20,8-2信号的恢复与零阶保持器,信号的恢复是指将采样信号恢复为连续信号的过程，能够实现这一过程的装置称为保持器。,可将,展成如下泰勒级数,时，,（8-13）,返回子目录,21,各阶导数的近似值,由此类推，计算n阶导数的近似值需已知n+1个采样时刻的瞬时值。若式（8-13）的右边只取前n+1项，便得到n阶保持器的数学表达式。,（8-14）,22,图8-8 信号的采样与保持过程,零阶保持器的数学表达式为,（8-16）,23,理想采样开关的输出Laplace变换为,
6、零阶保持器的输出为,(8-17),(8-18),24,由上式可知零阶保持器的,(8-20),(8-19),传递函数,25,零阶保持器的频率特性为,相频特性为,(8-22),(8-23),其幅频特性为,26,其中,零阶保持器的频率特性曲线如图8-9所示，对比图8-4可知零阶保持器是一个低通滤波器，但不是理想的低通滤波器，它除了允许信号的主频谱分量通过外，还允许部分高频分量通过。,27,图8-9 零阶保持器的频率特性曲线,28,8-3 z变换与z反变换,一、z变换 连续信号 经采样后得到的脉冲序列为,对上式进行Laplace变换，得,（8-25）,（8-26）,返回子目录,29,引入一个新的复变量
7、,将式上式代入式（8-26）可得 z变换的定义式如下,称 为 的z变换，记作 或,由此可看出 是关于复变量 的幂级数 。,（8-28）,30,例8-1 求单位脉冲信号的z变换。,解：,设 ，则 由于 在时刻 的脉冲强度为1，其余时刻的脉冲强度均为零，所以有,31,例8-2 求单位阶跃信号的z变换。,解： 设 ，则该级数的收敛域为 ，在该收敛域内，上式可以写成如下闭合形式,32,例8-3 求单位斜坡信号的z变换。,设 ，则上式两边对z求导数，并将和式与导数交换，得上式两边同乘 ，便得单位斜坡信号的z变换,解：,33,例8-4 求指数函数的z变换。,解：设 ，则,34,例8-5,设 ，求 的z变换
8、。,解：,上式两边求Laplace反变换，得,再由例8-2和例8-4有,35,注意：,不能直接将 代入来求 ，因为是针对采样信号 进行z变换。,36,二、z变换的基本定理,其中 和 为任意实数。,1线性定理：,37,证明：,38,2实数位移定理,若 的z变换为 ，则,（8-31）,（8-32）,39,证明：,证明式（8-31）由于当 时， ，所以有,40,证明式（8-32）,41,3复位移定理,已知 的z变换函数为 ，则,42,4Z域尺度定理,若已知 的z变换函数为 ，则,43,三、z反变换,z反变换是z变换的逆运算。其目的是由象函数 求出所对应的采样脉冲序列 （或 ），记作,（8-35）,4
9、4,1 部分分式法,若象函数 是复变量z的有理分式，且 的极点 互异，则 可展成如下形式：,上式两边同乘z，再取z反变换得,（8-36）,（8-37）,（8-38）,45,例8-6,已知z变换函数求其z反变换。,46,解：,首先将 展成部分分式,47,2 长除法,对比式（8-29）可知,若z变换函数 是复变量z的有理函数，则可将 展成 的无穷级数，即,48,例8-7,已知z变换函数为求其z反变换。,49,解：,由,运用长除法得,由此得,于是脉冲序列可以写成,50,3 留数计算法,由z变换的定义可知,（8-43）,51,设 的极点为 ，则,包围了,的所有极点,52,例8-8,已知z变换函数为试用
10、围线积分方法求z反变换。,53,解：,上式有两个极点 和 ，且,所以,54,四 初值定理和终值定理,1 初值定理： 设 的z变换为 ，并且有极限 存在，则,（8-49 ）,55,2 终值定理：,设 的z变换为 ， 且 的极点均在z平面的单位圆内，则,（8-50）,56,五、用z变换法解线性常系数差分方程,1 差分的定义 假设在图8-1所示的采样系统中，模拟数字转换器在离散时间对误差信号 进行采样，并将瞬时值 记为 或 ，则 的一阶前项差分定义为,57,二阶前向差分定义为,n阶前向差分定义为n阶后向差分定义为,58,8-4 脉冲传递函数,一、脉冲传递函数的定义,脉冲传递函数定义为输出采样信号的z
11、变换与输入采样信号的z变换之比,（8-59）,图8-10,返回子目录,59,系统输出的采样信号为,经虚设采样开关得到的脉冲序列 反映的是连续输出 在采样时刻的瞬时值。,60,二、开环脉冲传递函数,1开环脉冲传递函数的推导,61,62,求该开环系统的脉冲传递函数 。,例8-11,系统结构如图8-10所示，其中连续部分的传递函数为,63,解：,连续部分的脉冲响应函数为,脉冲传递函数为,64,或由 得,查表得,65,2串联环节的脉冲传递函数,（1）串联环节间无采样开关时的脉冲传递函数,图8-11,（8-67）,66,例 8-12,系统结构如图8-11所示，其中 求开环脉冲传递函数。,67,解：,68
12、,(2)串联环节间有采样开关时的脉冲传递函数,如图8-12所示，其脉冲传递函数为各个连续环节z变换的乘积，记为,图8-12 串联环节间有采样开关的开环系统,（8-68）,69,例8-13,系统结构如图8-12所示，其中求开环脉冲传递函数。,70,解：,所以,由于,71,（3）有零阶保持器时的脉冲传递函数,开环脉冲传递函数为,图8-13 带零阶保持器的开环采样系统,72,例 8-14,系统结构如图8-13所示，其中采样周期 s 求其开环脉冲传递函数。,73,解：,由于所以,74,三、闭环脉冲传递函数,图8-14 闭环采样系统,75,采样开关的输入和系统的输出 分别为,76,整理得,于是闭环系统的
13、脉冲传递函数为,77,例 8-15,闭环采样系统的结构如图8-14所示，其中采样周期 秒， 求闭环脉冲传递函数， 若 ，求 。,78,解：,对于阶跃输入函数有,79,则输出信号的z变换为,于是,80,注意,有些闭环采样系统不可能求出 形式的闭环脉冲传递函数，而只能求出输出信号 的表达式。如图8-15所示的闭环采样系统,（8-15）,81,8-5 采样系统的性能分析,一、稳定性 1 从s平面到z平面的影射关系,返回子目录,82,左半s平面上 的带称为主带，其它称为 次带。,图8-16 从s平面到z平面的影射,83,2 Z域的稳定条件和稳定性判据,在z平面上系统稳定的充分必要条件是，系统的特征根必
14、须全部位于z平面的单位圆内。,设采样系统的闭环脉冲传递函数为,84,(1) 朱利（Jury）稳定判据,且 ，根据特征方程的系数构造朱利阵列，,则特征方程,的根均位于单位圆内的充分必要条件为,共（n-1）个约束条件,（8-86）,（8-87）,85,例8-16,已知采样系统的闭环特征方程为试判断该系统的稳定性。,解：,86,朱利阵列,系统是稳定的,87,(2) 劳 思(Routh) 稳 定 判 据,在分析连续系统时，曾应用Routh稳定判据判断系统的特征根位于s右半平面的个数，并依此来判断系统的稳定性。 对于采样系统，也可用Routh判据分析其稳定性，但由于在z域中稳定区域是单位圆内，而不是左半平面，因此不能直接应用Routh判据。,88,引入如下双线性变换,此时可用Routh判据判断采样系统的稳定性。,89,(3) z平面的根轨迹方法,以上述例8-15所示的闭环采样系统为例，其特征方程为,
