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1、金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 二次函数中的分二次函数中的分类讨论类讨论思想思想一、例题分析归类：一、例题分析归类：（一）、正向型（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1.1. 轴定区间定轴定区间定例 1. （2008 年陕西卷）22本小题满分 14 分）设函数3222( )1, ( )21,f xxaxa xg xaxx其中实数0a （）若0a ，求函数( )
2、f x的单调区间；（）当函数( )yf x与( )yg x的图象只有一个公共点且( )g x存在最小值时，记( )g x的最小值为( )h a，求( )h a的值域；（）若( )f x与( )g x在区间( ,2)a a内均为增函数，求a的取值范围2.2. 轴定区间动轴定区间动例 2. （全国卷）设 a 为实数，函数2( )| 1,f xxxaaR，求 f(x)的最小值。金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 3.3. 轴动区间定轴动区间定评注：已知2( )(0)f xaxbxc a，按对称轴与定义域区间的位置关系，由数形结合可得( )f x在 , m
3、n上的最大值或最小值。例 3求函数)(axxy在 1,1x上的最大值。4.4. 轴变区间变轴变区间变例 4. 已知24 ()(0),ya xa a，求22(3)uxy的最小值。金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 （二）、逆向型（二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中的参数值。例 5. 已知函数2( )21f xaxax在区间 3,2上的最大值为 4，求实数 a 的值。例 6. 已知函数2 ( )2xf xx 在区间 , m n上的值域是3 ,3 mn，求 m，n 的值。练习：练习： 1、（2008 江西卷 21）已知函数4322
4、411( )(0)43f xxaxa xaa（1）求函数( )yf x的单调区间；金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 （2）若函数( )yf x的图像与直线1y 恰有两个交点，求a的取值范围金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 2、已知二次函数2( )(21)1f xaxax在区间3,22上的最大值为 3，求实数 a 的值。3、（2008 山东卷 21）（本小题满分 12 分）设函数2132( )xf xx eaxbx，已知2x 和1x 为( )f x的极值点（）求a和b的值；（）讨论( )f x的单调性；（
5、）设322( )3g xxx，试比较( )f x与( )g x的大小金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 二次函数中的分二次函数中的分类讨论类讨论思想思想例题答案：例题答案：例例 1.1. 解：（）Q 22( )323()()3afxxaxaxxa，又0a ， 当3axax 或时，( )0fx；当3aax 时，( )0fx，( )f x在(,)a 和(,)3a内是增函数，在(,)3aa内是减函数（）由题意知 3222121xaxa xaxx ，即22(2)0x xa恰有一根（含重根） 22a 0，即2a2，又0a ， 2,0)(0,2a U当0a 时，
6、( )g x才存在最小值，(0,2aQ 211( )()g xa xaaa， 1( ),(0,2h aaaa ( )h a的值域为2(,12（）当0a 时，( )f x在(,)a 和(,)3a内是增函数，( )g x在1(,)a内是增函数由题意得03 1a aaaa ，解得a1；当0a 时，( )f x在(,)3a和(,)a内是增函数，( )g x在1(,)a内是增函数由题意得023 12aaaaa ，解得a3；综上可知，实数a的取值范围为(, 31,) U例例 2.（1）当xa时，213( )()24f xxa若1 2a ，则min13( )()24f xfa;若1 2a ，则2 min(
7、)( )1f xf aa（2）当xa时，213( )()24f xxa金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 若1 2a ，则2 min( )( )1f xf aa;；若1 2a ，则min13( )( )24f xfa综上所述，当1 2a 时，min3( )4f xa；当11 22a时，2 min( )1f xa；当1 2a 时，min3( )4f xa。例例 3解析：函数4)2(2 2aaxy图象的对称轴方程为2ax ，应分121a，12a，12a即22a，2a和2a这三种情形讨论，下列三图分别为（1）2a；由图可知max( )( 1)f xf（2）
8、a 22；由图可知max( )( )2af xf（3） 2a时；由图可知max( )(1)f xf 2,) 1 (22,)2(2,) 1(afaafafy最大；即 2,122,42,) 1(2aaaaaay最大例例 4.解析：将24 ()ya xa代入 u 中，得，即时，即时，所以例例 5. 解析：2( )(1)1, 3,2f xa xa x （1）若0,( )1,af x，不合题意。（2）若0,a 则max( )(2)81f xfa金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 由814a ，得3 8a （3）若0a 时，则max( )( 1)1f xfa 由
9、14a，得3a 综上知3 8a 或3a 例例 6.解析 1：讨论对称轴中 1 与,2mnmn的位置关系。若，则maxmin( )( )3 ( )( )3f xf nn f xf mm 解得若12mnn ，则maxmin( )(1)3 ( )( )3f xfn f xf mm ，无解若12mnm ，则maxmin( )(1)3 ( )( )3f xfn f xf nm ，无解若，则maxmin( )( )3 ( )( )3f xf mn f xf nm ，无解综上，4,0mn 解析 2：由211( )(1)22f xx ，知113,26nn，则 , (,1m n ，f(x)在 , m n上递增。
10、所以maxmin( )( )3 ( )( )3f xf nn f xf mm 解得4,0mn 评注：解法 2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了 m，n 的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。练习答案：练习答案：1 1、解：（1）因为322( )2(2 )()fxxaxa xx xa xa 令( )0fx得1232 ,0,xa xxa 由0a 时，( )fx在( )0fx根的左右的符号如下表所示x(, 2 )a 2a( 2 ,0)a0(0, )aa( ,)a ( )fx000( )f x极小值Z极大值极小值Z所以( )f x的递增区间为( 2 ,0)( ,)aa
11、与 ( )f x的递减区间为(2 )(0)aa ，与， 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 （2）由（1）得到45( )( 2 )3f xfaa 极小值，47( )( )12f xf aa极小值4( )(0)f xfa极大值要使( )f x的图像与直线1y 恰有两个交点，只要44571312aa 或41a ， 即412 7a 或01a. 2 2、分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分0a 与0a 两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到( )f x的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程简
12、明。解：（1）令21()32afa，得1 2a 此时抛物线开口向下，对称轴为，且32,22 故1 2a 不合题意；（2）令(2)3f，得1 2a ，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴远些，故1 2a 符合题意；（3）若2()33f ，得2 3a ，经检验，符合题意。综上，1 2a 或2 3a 评注：本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法。3 3、21解：（）因为122( )e(2)32xfxxxaxbx1e(2)(32 )xxxxaxb，又2x 和1x 为( )f x
13、的极值点，所以( 2)(1)0ff，因此620 3320ab ab ， ，解方程组得1 3a ，1b （）因为1 3a ，1b ，所以1( )(2)(e1)xfxx x，令( )0fx，解得12x ，20x ，31x 因为当(2)x ，(01)U ，时，( )0fx；当( 2 0)(1)x U，时，( )0fx所以( )f x在( 2 0) ，和(1)，上是单调递增的；在(2) ，和(01)，上是单调递减的（）由（）可知21321( )e3xf xxxx，故21321( )( )e(e)xxf xg xxxxx，令1( )exh xx，则1( )e1xh x令( )0h x，得1x ，因为1x ，时，( )0h x，所以( )h x在1x ，上单调递减故1x ，时，( )(1)0h xh；因为1x，时，( )0h x，所以( )h x在1x，上单调递增故1x，时，( )(1)0h xh金太阳新课标资源网金太阳新
