第二章-曲面论

《第二章-曲面论》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章-曲面论（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第二章第二章 曲面论曲面论1曲面的概念1.求正螺面r= uvcos,u vsin, bv 的坐标曲线.解 u-曲线为r=u0cosv,u 0sinv,bv0 =0,0，bv0u 0cosv,0sinv,0，为曲线的直母线；v-曲线为r=0uvcos,0uvsin,bv 为圆柱螺线证明双曲抛物面ra（u+v）, b（u-v）,2uv的 坐标曲线就是它的直母线。证 u-曲线为r= a（u+0v）, b（u-0v）,2u0v= a0v, b0v,0+ ua,b,20v表示过点 a0v, b0v,0以a,b,20v为方 向向量的直线;v-曲线为r=a（0u+v）, b（0u-v）,20uv=a0u,

2、b0u,0+va,-b,20u表示过点(a0u, b0u,0)以a,-b,20u为 方向向量的直线。3求球面r=sin,sincos,sincosaaa上任意点的切平面 和法线方程。 解 r=cos,sinsin,cossinaaa，r =0 ,coscos,sincosaa任意点的切平面方程为0 0coscossincoscossinsincossinsinsincoscoscos aaaaaazayax即 xcoscos + ycossin + zsin - a = 0 ；法线方程为 sinsin sincossincos coscoscoscosazayax。4求椭圆柱面22221xy

3、ab在任意点的切平面方程，并证明 沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。解 椭圆柱面22221xy ab的参数方程为x = cos, y = asin, z = t , 0 ,cos,sinbar, 1 , 0 , 0tr。所以切平面方程为：0 1000cossinsincos batzbyax，即x bcos + y asin a b = 0此方程与t无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平 面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线， 此曲面只有一个切平面 。5证明曲面,3uvavur 的切平面和三个坐标平面所构成的 四面体的体积是常数。 证 , 0 , 123vuaru ，,

4、 1 , 023uvarv 。切平面方程为：33zauv vy ux。与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,uva23 )。于 是，四面体的体积为：3329 |3|3|361auvavuV是常数。 曲面的第一基本形式1.求双曲抛物面ra（u+v）, b（u-v）,2uv的第一 基本形式. 解 ,4,2 ,2 ,2222vbarEubarvbaruvu2222224,4ubarGuvbarrFvvu, I = 2222)4(duvba2222222)4()4(dvubadudvuvba。求正螺面r= uvcos,u vsin, bv 的第一基本形式，并证明坐标曲线互

5、相垂直。解 ,cos,sin,0 ,sin,cosbvuvurvvrvu，12urE，0vurrF， 222burGv， I =2222)(dvbudu，坐标曲线 互相垂直。在第一基本形式为I =222sinh udvdu的曲面上，求方 程为u = v的曲线的弧长。解 由条件2ds222sinh udvdu,沿曲线u = v有du=dv ，将其 代入2ds得2ds222sinh udvdu=22cosh vdv，ds = coshvdv , 在曲线u = v上，从1v到2v的弧长为|sinhsinh|cosh|1221vvvdvvv。4设曲面的第一基本形式为I = 2222)(dvaudu，求

6、它上 面两条曲线u + v = 0 ,uv = 0的交角。分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不 变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知 道曲线的方程。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量1E， 0vF，22auG，曲线u + v = 0与u v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为1E，0vF，2aG 。曲线u + v = 0的方向为du = -dv , u v = 0的方向为u=v , 设 两曲线的夹角为，则有cos=22222211 aavGuEGdvEduuGdvuEdu 。 5求曲面z = axy上坐标曲线x = x0 ,

7、y =0y的交角. 解 曲面的向量表示为r=x,y,axy, 坐标曲线x = x0的 向量表示为r= x0,y,ax0y ，其切向量yr =0，1，ax0；坐 标曲线y =0y的向量表示为r=x , 0y,ax0y，其切向量xr=1，0，a0y，设两曲线x = x0与y =0y的夹角为，则有cos = 2 022 0200211|yaxayxa rrrryxyx 6. 求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.解 对于u-曲线dv = 0,设其正交轨线的方向为u:v ,则 有Eduu + F(duv + dvu)+ G d vv = 0,将dv =0代入并消去 du得u-曲线的正交轨线的微分方程为

8、Eu + Fv = 0 .同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为Fu + Gv = 0 .7. 在曲面上一点,含du ,dv的二次方程P2du+ 2Q dudv + R2dv，确定两个切方向（du ：dv）和（u ：v） ，证明 这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ + GP=0.证明 因为du,dv不同时为零，假定dv0，则所给二次方程可写成为P2)(dvdu + 2Qdvdu + R=0 ,设其二根dvdu ,vu , 则dvdu vu =PR ，dvdu +vu =PQ2又根据二方向垂直的条件知Edvdu vu + F(dvdu +vu )+ G = 0 将代入则得 ER - 2FQ

9、+ GP = 0 .9.证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为E2du=G2dv.证 用分别用、d表示沿u曲线，v曲线及其二 等分角线的微分符号，即沿u曲线u，v，沿v 曲线u，v沿二等分角轨线方向为du:dv ,根据 题设条件,又交角公式得222222)()( dsvGvGdvvFdu dsuEuFdvvEdu ，即GGdvFdu EFdvEdu22)()( 。 展开并化简得E(EG-2F)2du=G(EG-2F)2dv,而EG-2F0，消去EG-2F得坐标曲线的二等分角线的微分方程为E2du=G2dv.9设曲面的第一基本形式为I = 2222)(dvaudu，求曲面 上三条曲线u =

10、av, v =1相交所成的三角形的面积。解 三曲线在平面上的图形（如图）所示。曲线围城的三 角形的面积是S=102201 22auaa audvduaudvduau=21022aua dvduau=2duauaua 022)1 (=aauuaauuaua02222223 22|)ln()(32=)21ln(3222a。10求球面r=sin,sincos,sincosaaa的面积。 解 r=cos,sinsin,cossinaaa，r =0 ,coscos,sincosaaE =2 r=2a,F=r r = 0 , G = 2 r=22cosa.球面的面积为：S = 22222222024224

11、|sin2cos2cosaadadad .11.证明螺面r=ucosv,usinv,u+v和旋转曲面r=tcos,tsin,12t(t1, 0 0 ,G 0 ,所以LN a 0 , b+acos 0,所以LN -2M的符号与cos的符号一致,当00 ,曲面上的点为椭圆点，即圆环面外侧的点为椭圆点；当-223 ，曲面上的点为双曲点, 即圆环面内侧的点为双曲点；当=2或 23 时，LN -2M=0，为抛物点，即 圆环面上、下两纬圆上的点为抛物点。25若曲面的第一基本形式表示为)(,(222dvduvuI的形式， 则称这个曲面的坐标曲线为等温网。试证：旋转曲面 )(,sin)(,cos)(tftgt

12、gr上存在等温网。证 旋转曲面)(,sin)(,cos)(tftgtgr的第一基本形式为)(22 22 2 2ddtgfgtgI，做参数变换dtgfgu2 2 ，v=,则 在新参数下，),)(222dvduutgI为等温网。26两个曲面1S、2S交于一条曲线（C） ，而且（C）是1S的 一条曲率线，则（C）也是2S的一条曲率线的充要条件为1S、2S沿着（C）相交成固定角。证 两个曲面1S、2S交于曲线（C） ，1n、2n分别为1S、2S的法向量，则沿交线（C） ，1n与2n成固定角的充要条件 为1n2n=常数，这等价于d(1n2n)=0,即d1n2n+1nd2n=0 ,而（C）是1S的一条曲率

13、线，因此d1n与 （C）的切向量dr共线，则与2n正交，即d1n2n=0，于 是1nd2n=0，又d2n2n，所以1n d2n= d1n2n=0的充要条 件为d2n/ dr，即（C）是2S的曲率线。27证明在曲面(S)上的一个双曲点P处，若两条渐近线都 不是直线，则它们之中，一条在点P的挠率是K,另一条在点 P的挠率是-K，其中K是(S)在P点的高斯曲率。证 曲面在双曲点P处，有两条渐近线过点P，沿渐近线有 n=，且II=0，于是有dn=d.则KIKIHIIIIIdnd222， 即,22Kdsd或Kdsd2)(，所以有KK,)(22 。 28证明如果曲面上没有抛物点，则它上面的点和球面上 的点是一一对应的。证 设给出的曲面(S): r=r(u,v)上的点r(u,v)与(u,v)D 内的点一一对应，其球面像上的点为n=n(u,v),由于 )(vuvurrknn,所以|vuvurrknn=22|FEGMLN，当曲面(S)上没有抛物点时，LN-M20,则vunn 0。说明球面像上的点n(u,v)与区域D内的点一一对应，因此曲面 (S) 上的点与球面像上的点一一对应。