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1、一、赵爽弦图 二、勾股定理证明异趣 三、出入相补原理 四、体积计算东西谈 五、希尔伯特第三问题,从赵爽弦图说起,一、赵爽弦图,赵爽，东汉末至三国时代人，其生平已无从详考。他在周髀算经序言中说自己根据周髀算经的文字内容画了一组图“勾股圆方图”，其中第一幅即“弦图”。,弦图证明勾股定理,“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦。”如果用a表示“勾”，b表示“股”，c表示“弦”这句话就相当于说:,“案弦图，又可以勾股相乘 为朱实二，倍之为朱实四，以 勾股之差自相乘，为中黄实， 加差实亦成弦实。”,b-a,中央黄色小正方形的面积,四个红色三角形围成的大正方形的面积,ab,商高答周公,周公问：没有梯子可
2、供我们上天，又没有一把合适的尺子可供我们量地那么，怎样确定天有多高、地有多厚呢？,商高答：办法是有的，那就是利用勾、股、弦之间的关系，即勾三、股四、弦五。又说：“既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三、四、五。两矩共长二十有五，是为积矩。”,这段话引发了许多讨论，赵爽弦图给出的勾股定理的证明，很有可能是对商高这段文字的诠释。,陈子与勾股定理一般形式,陈子论述中最关键之处：“勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”这与前面提到的赵爽“勾股圆方图说”中的叙述一致，是一般的勾股定理，只不过在这里是以从天文测量总结出来的普遍规律的形式出现而已。,根据周髀算经，影周公测日方法大致是这样的：先后两次测量同一圭
3、表在不同处的日影长然后用公式：日高=（表高表距）/影长+表高,周 公 测 影 台,勾股定理与量天测地,比赵爽稍晚一些的魏晋 数学家刘徽写了一部海岛 算经，应用勾股定理解决 各种测量问题，其中第一个 问题是测量海岛的高度。海岛公式：岛高=（表高表距）/表目距的差+表高显然，将周髀算经中的日高公式改日高为岛高，就是海岛公式。,海 岛 公 式,毕达哥拉斯,二、勾股定理证明异趣,勾股定理可以说是人类最早发现、最基本的同时也是应用最广的一条数学定理。前面已经提到古代中国周髀算经中关于勾股定理的记载。古埃及人没有留下这样明显的记录，但他们建造了蔚为奇观的金字塔。古巴比伦则不乏有关勾股定理的记载，巴比伦泥版
4、文书中甚至出现有系列的“勾股数”，即 ： a2+b2=c2 。,从毕达哥拉斯到欧几里得,在古希腊，传说毕达哥拉斯本人对他发现的定理曾给出过证明。尽管没有任何文字记载，人们仍然对毕达哥拉斯 证明勾股定理的方法作了种种猜测，其中最广为流传的是约公元2世纪罗马学者普鲁塔克的猜测。普鲁塔克的证法相当于面积剖分法，如图最后可以得到第一个图形中以斜边c为边的正方形面积等于第二个图形中以直角边a和b为边的正方形面积之和，这就是勾股定理。,希腊数学史上有明确的记载，首先是出现在欧几里得原本之中。如图：首先证 ： ABDFBC(边角边)矩形BL=2ABD（等高等底）同理 ： 正方形GB=2FBC,所以： 矩形B
5、L=正方形GB.同理可得：矩形GL=正方形AK.故有： 矩形BL+矩形CL= 正方形GB+正方形AK另一方面: 矩形BL+矩形CL=正方形CD，最后可得: 正方形GB+正方形AK=正方形CD.,上述证明只不过是原本中几百条定理的证明之一，它代表了欧几里得的风格。希腊数学史上，欧几里得具有承前启后的作用。,欧几里得,从刘徽到关孝和,刘徽提出了勾股定理的一种图证法，他九章算术写到：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也。合成弦方之幂，开方除之，即弦也。”“出入相补，各从其类”，这就是刘徽概括并明确表述的原则，就称之为“出入相补原理”。直到17世纪，被尊为日本“算圣”的
6、关孝和，在他的专著中解见题之法中的图证，仍沿用出入相补，其证法与刘徽所注勾股术所作注图不谋而合。,总统的证明及其他,有意思的是，美国的第二十任总统加菲尔德曾在新英伦数学学报上发表过一个勾股定理的简单证法。如图：若直角三角形勾、股、弦分别为a， b，c时，就在图中的等腰直角三角形两侧作两直角三角形，构成以a，b为上下底，以a+b为高的梯形，从等式,得证,三、出入相补原理,前面介绍了赵爽和刘徽作为证明勾股定理基础的出入相补原理一个平面（立体）几何图形被分割成若干部分后，面积（体积）的综合保持不变。事实上赵爽“勾股圆方图说”，可以说是一篇运用个出入相补原理的杰作，借助出入相补原理证明了数十条命题或公
7、式，举例说，其中有一个已知长方形长宽之和及其面积求该长方形的长和宽的问题。假设长方形的宽和长分别为x、y。已知x+y=2c，面积xy=a2，即x（2c-x）=a2，根据图21，赵爽首先推出长宽差值平方为：,解得：这相当于给出了二次方程：的以公式：表示两个根。,图21,阿拉伯数学家花拉子米也是通过面积出入相补来推证二次方程求根公式的。他生于花拉子Khwarizm，位于阿姆河下游，花拉子米著作甚丰， 许多已经失传，代数学只是幸存下来的十部著作之一。这部具有浓郁东方特色的数学著作在12世纪被译成拉丁文，。它事实上引导了16世纪意大利代数学的重要成就三、四 次代数方程的根式求解。,花拉子米,花拉子米与
8、出入相补原理,四、体积计算东西谈,古代的数学家刘徽、祖冲之、阿基米德、欧几里得等，他们在计算立体图形的体积时，绕越障碍，各出奇招，做出令人惊叹的贡献。刘徽的“阳马术”与欧几里得的“魔鬼阶梯”所谓“阳马”是中国古代学者对底面为长方形且有一条棱与底面垂直的椎体的称呼。在出入相补无法解决这个证明的情况下，刘徽于是转而求助于极限方法，用极限过程对他的命题Y:B=2:1，给出一般的证明，他的方法记载在九章算术阳马术注中。刘徽的极限方法即使在今天看来也很精彩。,刘徽九章算术,刘徽的数学成就大致为： 清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。这方面集中体现在九章算术注注，虽说是注，却包含了刘徽本人的许多创造
9、，如体积理论、计算圆周率的“割圆术”、“求微数法”等，都是意义深刻的成果，其中蕴含着无穷小方法的萌芽。,刘徽,“割圆术”,“割圆术”，则是以“圆内接正多边形的周长”，来无限逼近“圆周长”。刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。 即通过圆内接正多边形细割圆周，并使正多边形的周长无限接近圆周长，进而来求得较为精确的圆周率。,欧几里得原本的最后三卷，是关于立体几何的内容，其中就涉及棱柱、棱锥、圆柱、圆锥等立体图形的几何定理。在第12卷中我们恰恰找到了这样一个命题：“任何棱锥等于和它同底同高的棱柱的三分之一”。这就相当于棱锥的体积公式：棱锥的体积
10、公式等于高与底的乘积的三分之一，这一结论在原本中是作为同一卷命题7的推论出现的，命题7是说：“任何一个以三角形为底的棱柱可以被分成以三角形为底的三个彼此相等的棱锥”。欧几里得对次命题作出了证明。在该命题的证明中用了“穷竭法”，就是无穷逼近，因此跟刘徽一样，在棱锥体积的推证中，欧几里得也借助了无穷小法，有人称欧几里得无线分割的棱锥为：“魔鬼的阶梯”,欧几里得原本,球体积阿基米德与祖冲之,大家都知道球体体积公式 古代数学家怎么会知道球体体积这个精确的公式？阿基米德是用“平衡法”的方法来推算球体积的公式。阿基米德把一个半径为R的球的两极沿水平线放置，使极N与原点重合。画出2R*R的矩形NABS和三角
11、形NCS绕x轴旋转得到圆柱和圆锥。先从这三个立体中割出与N距离为x、厚度为 x的三个竖直薄片，这些薄片的体积分别近似于：,取由球和圆锥割出的两个薄片将他们的重心吊在点T，使TN=2R,这两个薄片绕N的合成力矩为 故得到球体体积=,五、希尔伯特第三问题,两个等底等高四面体的体积相等问题，即是存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等称之为希尔伯特第三问题，因该问题在希尔伯特问题中排序第三而命名。,被称为数学王子的高斯对这个问题也不甚了了，他曾抱怨说他不明白为什么自古以来数学家们在处理一些立体体积公式时总要依赖穷揭发之类的无限过程。这说明多面体体积问题中必有症结
12、，最终由希尔伯特所谓的“第三问题”的提出和解决。,高斯的抱怨,现在我们来看古代中国数学家又是怎样发现和计算球体体积的。在九章算术刘徽创造了一个称之为“牟和方盖”的立体图形，但是“牟和方盖”的体积的计算未能解决。经过了两百多年，祖冲之和他的儿子继承了刘徽的思路，他们把眼光转向立方体切除“牟和方盖”之后的那部分的体积。提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”。意思是说两个立体如果在等高处的截、面积保持相等，那么它们的体积一定相等。这相当于西方文献中的“卡瓦列利原理”。,希尔伯特,大卫希尔伯特(1862-1943)，20世纪上半叶国际数学界的一位领袖人物。他于1900年在巴黎第二界匡际数学家代表大会
13、上提出的23个数学问题(史称希尔伯特问题)，激发了整个数学界的想象力。此后，这些问题几乎成为检阅数学重大成就的指标。这位创造了20世纪数学史奇迹的数学家和数学思想家，就像数学世界的亚历山大，在整个数学史上留下了他显赫的名字，他被称为“数学界的无冕之王”。,希尔伯特的猜测,之前的出入相补原理足以建立多边形面积理论。按现代几何术语出入相补原理相当于剖分相等或拼补相等。剖分相等 若有两平面图形F与H，若将F适当剖分有限块，它们重新组合后可以得到图形H，就是说F与H剖分相等，记作FH。波尔约特定理:两多边形面积相等的充分必要条件是他们必须剖分相等。拼补相等 两个平面图形F和H,若各添补有限个全等的图形
14、后得到两个新的全等的图形，则称F和H拼补相等。,但是这些只是在平面几何当中讨论的，如果转到三维空间情形就不这么简单了，关键的问题是两体积相等的图形是否能剖分成有限对全等的部分？即是否一定剖分相等或拼补相等？由此希尔伯特就提出了他的猜想即希尔伯特第三问题，两个等底等高四面体的体积相等问题，即是存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。,希尔伯特的猜测,德恩反例,希尔伯特第三问题被他学生德恩（M.Dehn）解决了，他找到了一个反例即存在两个等边等高的四面体，它们不可被剖分为有限个全等的四面体，也不可能由与其它四面体的拼合而成两个本身能剖分成全等四面体的多边形。
15、,德恩定理 任一正四面体R与体积相等的正方体不剖分相等。 德恩不变量 设A是一多面体，a1 , a2 ,ap 是A的各二面角（弧 度制），l1,l2, ,lp是相应的边长，若f是定义在包含所有数a1 , a2 ,ap 为元素的集合M上的可加函数，则称和 为多面体的德恩不变量，记作f(A).,德恩反例,利用德恩不变量，数学家们找到了越来越多的与正方体不剖分的相等的四面体。如图（a）四面体K其三边ab,bc，bd互相垂直且长度相等。可以证明对某个满足f()=0的可加函数f有f（K）不等于0，这就说明四面体K与体积相等的正方体不剖分相等。另外如图（b）上述三边除垂直外并且它们的长度都为（l）,这称希
16、尔四面体。,德恩反例,希尔四面体通过德恩不变量计算可以证明它与正方体剖分相等的，当初希尔则是通过具体剖分的来实施证明H与正方体剖分相等如图（c）。易知图H与之前的图K等底等高，但一个是与正方体剖分相等，一个不是，因此它们不剖分相等。这就是希尔伯特第三问题所要的例子。,(c),从古代出入相补原理到现代体积理论，我们讲述了一个夸文化、跨时代的故事，我们看到了不同民族、不同时代的数学家对同一些问题的关注和锲而不舍的探索以及富有启迪的智慧；看到了中国古代数学知识的多种文化来源；看到了中国古代数学家对这些问题的卓越贡献。我们以西尔伯特说过的话来结束这个故事： “对于数学来说，整个文明世界就是一个国家！” “我们必须知道，我们必将知道！”,谢谢观赏！,
