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1、1,数 值 分 析 Numerical Analysis,2,课程介绍,课程名：数值分析 英文名：Numerical Analysis 性 质：学位课 学 时：56 （理论：36，实验：20） 考核办法：理论考试（70%）+实验报告（20%）+考勤（10%） 基础知识：微积分，线性代数，常微分方程，Matlab程序设计,3,教材 (Text Book)数值分析 李庆扬 王能超 易大义 编 （清华大学出版社）,参考书目 (Reference) Numerical Analysis (Seventh Edition)数值分析 （第七版 影印版） Richard L. Burden & J. Dou
2、glas Faires （高等教育出版社） Numerical Analysis 数值分析Rainer Kress （Springer-Verlag 世界图书出版公司） 数值分析 李红 （华中科技大学出版社） 计算方法简明教程 王能超 （高等教育出版社） MATLAB数值分析 周品 （机械工业出版社）,4,课程基本内容,数值逼近插值法函数逼近与曲线拟合数值积分与数值微分 数值代数线性代数问题(方程组和特征值) 非线性方程(组)数值解法 微分方程数值解法,5,为什么还要学习数值分析？, 解决工程计算问题,6,提问：数值分析是做什么用的？,7,数值分析的研究内容,数值分析（或计算方法）： 用计算机
3、求解数学问题的数值计算方法和理论与软件实现 实际问题数学模型计算方法算法程序算法（数值分析的根本任务）： 由基本运算及运算顺序所构成的完整的解决问题的步骤,8,科学计算,计算数学 计算物理学 计算力学 计算化学 计算生物学 计算经济学,9,中国古代数学-算术,中国古代将数学称为“算术” “凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵；千十相望，万百相当。” 孙子算经 “算法之术，是用智矣。” 周髀算经,10,现代数值分析,数值逼近 数值微分 数值积分 数值代数 非线性方程的数值解 微分方程数值解,11,研究方法,理论分析 算法分析 误差分析 稳定性分析 收敛性分析,好的算法：面向计算机有可靠的理论分
4、析有好的计算复杂性有数值实验验证,12,第一章 数值分析与科学计算引论 /* Chapter 1 Introduction */,13,误差分析,从实际问题中抽象出数学模型 模型误差 /* Modeling Error */,通过测量得到模型中参数的值 观测误差 /* Measurement Error */,求近似解方法误差 (截断误差 /* Truncation Error */ ),计算机字长有限 舍入误差 /* Roundoff Error */,1. 误差来源与分类 /* Source & Classification */,14,大家一起想？,1,1 / e,解法之一：将 作Tay
5、lor展开后再积分,| 舍入误差 /* Roundoff Error */ |,= 0.747 ,由截去部分 /* excluded terms */ 引起,由留下部分 /* included terms */ 引起,积分不等式,15,2. 误差的传播与积累 /* Spread & Accumulation */,例：蝴蝶效应 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的桂林就下起狂风暴雨了？！,NY,GL,以上是一个病态问题 /* ill-posed problem*/ 病态：自变量的微小变化就可能引起函数值的巨大变化的情况；反之称良态。,16,例：计算,公式一：,注意此公式精确成立,?,?,? !,
6、! !,What happened?!,17,考察第n步的误差, 公式二,注意此公式与公式一 在理论上等价。,方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n N )。,可取,18,取,19,考察反推一步的误差：,以此类推，对 n 10，就认为是病态的，越大病态越严重； 病态问题不是计算方法引起的，是数值问题自身固有的，首先必须分清问题是否病态。,23,多元函数计算时误差的传播,对多元函数A =f (x1,x2,xn),设x1*,x2*,xn*是x1,x2,xn的近似值,则A* =f (x1*,x2*,xn*) 是结果的近似值。,其中,略去高阶无穷小项后,24,四则运算中误差的传播,对二元函数
7、,四则运算可视为二元函数运算,按上式有:,25,5. 误差与有效数字 /* Error and Significant Digits */, 绝对误差 /* absolute error */,其中x为精确值，x*为x的近似值。,注：e* 理论上讲是唯一确定的，可能取正，也可能取负。e* 0 不唯一，当然 e* 越小越具有参考价值。,I can tell that distance between two planets is 1 million light year 1 light year.,Of course mine is more accurate ! The accuracy re
8、lates to not only the absolute error, but also to the size of the exact value.,I can tell that this parts diameter is 20cm1cm.,26, 相对误差 /* relative error */,x 的相对误差限 /* relative accuracy */ 定义为,注：从 的定义可见， 实际上被偷换成了 ，而后才考察其上限。那么这样的偷换是否合法？严格的说法是， 与 是否反映了同一数量级的误差？,27,有效数字 /* significant digits */,用计数法，记
9、 （其中 ）。若 （即 的截取按四舍五入规则），则称为有n 位有效数字，精确到 。,4,3,注：0.2300有4位有效数字，而00023只有2位有效。12300如果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。数字末尾的0不可随意省去！,有效数字定义2,28,有效数字与相对误差的关系, 有效数字 相对误差限,已知 x* 有 n 位有效数字，则其相对误差限为, 相对误差限 有效数字,29,例：为使 的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？,解：假设 * 取到 n 位有效数字，则其相对误差上限为,要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足,已知 a1 = 3，则从以上不等式可解
10、得 n 6 log6，即 n 6，应取 * = 3.14159。,30,(1). 避免相近二数相减,例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有5位有效数字。而 a2 a1 = 0.00001，只剩下1位有效数字。, 几种经验性避免方法：,当 | x | 1 时：,6. 减少误差的措施及注意事项 /* Remarks */,31,(2). 避免小分母 : 分母小会造成浮点溢出 /* over flow */,(3). 避免大数吃小数,例：用单精度计算 的根。,精确解为, 算法1：由求根公式,在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时，两加数的指数先向大指
11、数对齐，再将浮点部分相加。即1 的指数部分须变为1010，则：1 = 0.0000000001 1010，取单精度时就成为： 109+1=0.100000001010+0.00000000 1010=0.10000000 1010,大数吃小数,32,算法2：先解出再利用,注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。,例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算 1 + 2 + 3 + + 40 + 109,(4). 先化简再计算，减少步骤，避免误差积累。,一般来说，计算机处理下列运算的速度为,(5). 选用稳定的算法。,33,7. 数值计算中算法设计的技术,例：计算 的值。,算法一 逐个相乘要用254次乘法。 算法二 14次乘法。,34,算法一,算法二（秦九韶法）,例 求多项式 的值.,35,秦九韶法原理,Tn=an,36,算法一 所需乘法次数为 n(n+1)/2,加法次数为n。 算法二 所需乘法次数为n，加法次数也为n。 两种算法所占内存空间基本相同。算法二是1247年我国数学家秦九韶首次提出的。,
