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1、专题三：数 列第一讲第一讲 等差数列、等比数列等差数列、等比数列【备考策略备考策略】根据近几年高考命题特点和规律，复习本专题时要注意以下几方面：1弄清等差、等比数列的基本概念及性质，掌握等差、等比数列的通项公式、前 n 项和公式。2掌握特殊数列的求和方法。如：倒序相加、错位相减、裂项相消、分组求和等。3利用数列中与之间的关系，求能项公式及解决其他数列nanS问题。4利用数列的递推关系,求通项公式,结合 n 项和公式,解决数列应用题。5数列经常与函数、三角、不等式、解析几何等知识结合，综合考查等差、等比数列的性质、通项公式及前 n 项和公式的应用。6利用方程的思想、根据公式列方程（组） ，解决等
2、差数列、等比数列中的“知三求二”问题；利用函数的思想或根据函数的图象、单调性、值域等解决数列中项的最值及数列的前 n 项和的最nS值问题；利用等价转化的思想把非等差数列、等比数列问题转化为等差、等比数列问题来解决；利用分类讨论的思想解决等比数列的公比 q 是否为 1 等问题。7结合数学归纳法解决一类归纳猜想证明的题目。第一讲第一讲 等差数列、等比数列等差数列、等比数列【最新考纲透析最新考纲透析】1数列的概念和简单表示法（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式） 。（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数。2等差数列、等比数列（1）理解等差数列、等比数列的概念。（2）掌握等
3、差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式。【核心要点突破核心要点突破】要点考向要点考向 1 1：有关等差数列的基本问题：有关等差数列的基本问题考情聚焦：考情聚焦：1等差数列作为高考中数学的重点内容，在历年高考中都有所考查。2该类问题一般独立命题，考查等差数列的概念、性质、通项公式、前 n 项公式，有时与函数的单调性、不等式知识结合在一起命题。3多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题。考向链接：考向链接：1涉及等差数列的有关问题往往用等差数列的通项公式和求和公式“知三求二”解决问题；2等差数列前 n 项和的最值问题，经常转化为二次函数的最值问题；有时利用数列的单调性（d0,递增；d0，递
4、减） ；3证明数列为等差数列有如下方法：定义法；证明na（与 n 值无关的常数） ；等差中项法：证明1nnaad。112(2,)nnnaaannN 例例 1：（：（20102010浙江浙江高考文科高考文科1919）设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差数列an的前 n 项和为 Sn，满足56S S+15=0。（）若5S=5，求6S及 a1；（）求 d 的取值范围。【命题立意】本题主要考查等差数列概念、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力及分析问题解决问题的能力。【思路点拨】本题直接利用等差数列的通项公式和前 n 项和求解即可。【规范解答】()由题意知S6=5-15 S=-3
5、, 6a=S6-S5=-8。所以115105,58.adad 解得a1=7，所以S6= -3,a1=7()方法一：因为S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d2-8. 所以d28. 故d的取值范围为d-22或d22.方法二：因为S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.看成关于1a的一元二次方程，因为有根，所以222818(101)80ddd ，解得2 2d 或2 2d 。要点考向要点考向 2 2：有关等比数列的基本问题：有关
6、等比数列的基本问题考情聚焦：考情聚焦：1等比数列作为高中数学的重点内容，在历年高考中都有所考查。2该类问题有时单独命题，考查等比数列的概念、通项公式、前 n 项和公式；但更多的是与函数的单调性、不等式结合在一起，在知识交汇点处命题。3选择、填空及解答题中都有可能出现，属中、高档题。考向链接：考向链接：（1）证明数列为等比数列有如下方法：na定义法：证明。1()nnaqna与值无关的非零常数等比中项法：。2 11(2,)nnnaaannN A（2）求一般数列通项公式时常用构造数列法、待定系数法na等。例例 2：（：（20102010辽宁高考理科辽宁高考理科6 6）设an是有正数组成的等比数列，n
7、S为其前 n 项和。已知 a2a4=1, 37S ,则5S ( )（A）15 2(B)31 4(C)33 4(D)17 2【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式，等比数列的前 n 项和公式【思路点拨】列出关于a1 q 的方程组，解出a1 q 再利用前 n 项和公式求出5S【规范解答】选 B。根据题意可得：3 113115114,(1)27114(1 ( )5)312 1412a qa q aqaq qS 要点考向要点考向 3 3：等差、等比数列综合问题：等差、等比数列综合问题考情聚焦：考情聚焦：1 1等差、等比数列作为高中数学的重点内容，在历年高考中都有所体现。2 2单独考查等差数列或等比数
8、列的问题较少，大部分题目是等差、等比数列在同一个题中出现，在两知识的交汇点处命题，同时考查其他数学知识、思想方法等。3 3多以解答题的形式出现，属中、高档题目。例例 3：（：（20102010陕西高考理科陕西高考理科6 6）已知 na是公差不为零的等差数列，11a 且139,a a a成等比数列（）求数列 na的通项公式， （）求数列 2na的前 n 项和nS【命题立意】本题主要考查等差、等比数列的通项公式和前项和公式的应用，考查考生的运算求解能力【思路点拨】已知关于 d 的方程dna2nanS【规范解答】（1）由题设知公差d0 1139a231 n12d1 81,112 1,0(1 (1)
9、1(2)2 ,2(1 2 )222222.1 2nnnnn nndaa a ad ddaannS 由成等比数列得解得舍去）故的通项由（1）知2【方法技巧】1.在解决等差数列或等比数列的相关问题时， “基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。2数列求通项的常见类型与方法：公式法、由递推公式求通项，由nS求通项，累加法、累乘法等3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法等。4解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题
10、策略【高考真题探究高考真题探究】1 （20102010福建高考理科福建高考理科3 3）设等差数列 na的前 n 项和为nS。若111a ，466aa ，则当nS取最小值时，n 等于（ ）A.6 B.7 C.8 D.9【命题立意】本题考查学生对等差数列公式、求和公式的掌握程度，以及一元二次方程最值问题的求解。【思路点拨】 dnnnaSdnaann2) 1(,) 1(11。【规范解答】选 A，由61199164aaaaa，得到59a，从而2d，所以nnnnnSn12) 1(112，因此当nS取得最小值时，6n.=33 32，又ab，故AB，从而00(0 ,60 )B,6cos3B .2 （2010
11、2010辽宁高考文科辽宁高考文科3 3）设ns为等比数列 na的前 n 项和，已知3432,sa2332sa,则公比 q = ( )(A)3(B)4(C)5(D)6【命题立意】本题主要考查等比数列的前 n 项和公式，考查等比数列的通项公式。【思路点拨】两式相减，即可得到相邻两项的关系，进而可求公比q。【规范解答】选 B，两式相减可得：343343,4aaaaa即,434aqa。故选 B。3 （20102010福建高考理科福建高考理科1111）在等比数列 na中，若公比q=4，且前 3 项之和等于 21，则该数列的通项公式na= 。【命题立意】本题主要考查等比数列的通项和前 n 项和公式。【思路
12、点拨】由前 3 项之和等于 21 求出 1a，进而求出通项na。【规范解答】选 A，321,4Sq,3 11 114,1,4.1 n naqaaq【方法技巧】另解：3111141621,1Saaaa，14.n na4 （20102010辽宁高考文科辽宁高考文科1414）设Sn为等差数列an的前n项和，若S3=3，S6 =24，则a9= .【命题立意】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前 n 项和公式【思路点拨】根据等差数列前 n 项和公式，列出关于首项a1和公差d 的方程组，求出a1和 d，再求出9a【规范解答】记首项a1公差 d,则有1113 23321,26 56242ad a
13、d ad 。91(9 1)1 8 215aad 。【答案】155 （20102010浙江高考文科浙江高考文科1414）在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么，位于下表中的第 n 行第 n+1 列的数是 。【命题立意】本题主要考察了等差数列的概念和通项公式，以及运用等差关系解决问题的能力，属中档题。【思路点拨】解决本题要先观察表格，找出表中各等差数列的特点。【规范解答】第 n 行第一列的数为 n，观察得，第 n 行的公差为 n，所以第 n0行的通项公式为001 nnnan，又因为为第 n+1 列，故可得答案为nn 2。【答案】nn 26 （2 2010010北京高考文科北京高考文科
14、6 6）已知na为等差数列，且36a ，60a 。（）求na的通项公式；（）若等比数列 nb满足18b ，2123baaa，求 nb的前 n 项123246369第 1 列 第 2 列 第 3列 第 1行第 2行第 3行和公式【命题立意】本题考查等差数列的通项公式等比数列的前 n 项和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。【思路点拨】 （1）由3,6a a可列方程解出1,a d，从而可求出通项公式；（2）求出2b，再求出公式。代入等比数列的前 n 项和公式即可。【规范解答】 （）设等差数列na的公差d。 因为366,0aa 所以112650adad 解得110,2ad ，所以10(1) 2212nann （）设等比数列 nb的公比为q因为2123124,8baaab 所以824q 即q=3所以 nb的前n项和公式为1(1)4(1 3 )1n n nbqSq【跟踪模拟训练跟踪模拟训练】一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 6 个小题，每小题个小题，每小题 6 6 分，总分分，总分 3636 分）分）1.已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a2=1，a3=3，则 S4=( )(A)12(B)10(C)8(D)62.设数列xn满足 log2xn+1=1+log2xn,且 x1+x2+x3+x10=10,则x11+x
