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1、1高中数学常用公式及常用结论高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系 ,.UxAxC AUxC AxA2.德摩根公式 .();()UUUUUUCABC AC B CABC AC B3.包含关系 ABAABBUUABC BC AUAC B UC ABR4.容斥原理 ()()card ABcardAcardBcard AB ()()card ABCcardAcardBcardCcard AB.()()()()card ABcard BCcard CAcard ABC5集合的子集个数共有 个；真子集有1 个；非空子集有 1 个；非空的真子集有12 ,na aa2n2n2n2 个.2n 6.二
2、次函数的解析式的三种形式(1)一般式;2( )(0)f xaxbxc a(2)顶点式;2( )()(0)f xa xhk a(3)零点式.12( )()()(0)f xa xxxxa7.解连不等式常有以下转化形式( )Nf xM ( )Nf xM ( ) ( )0f xMf xN|( )|22MNMNf x( )0( )f xN Mf x.11 ( )f xNMN8.方程在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后者的一个必要而不是充0)(xf),(21kk0)()(21kfkf分条件.特别地, 方程有且只有一个实根在内,等价于,或)0(02acbxax),(21kk0)()(21kfkf且,或且
3、.0)(1kf2221 1kk abk0)(2kf221 22kabkk9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体)0()(2acbxaxxfqp,abx2如下：(1)当 a0 时，若，则；qpabx,2minmaxmax( )(),( )( ),( )2bf xff xf pf qa，.qpabx,2maxmax( )( ),( )f xf pf qminmin( )( ),( )f xf pf q(2)当 a0) （1），则的周期 T=a；)()(axfxf)(xf（2），0)()(axfxf或，)0)()(1)(xfxfaxf或,1()( )
4、f xaf x ( ( )0)f x 或,则的周期 T=2a；21( )( )(),( ( )0,1 )2f xfxf xaf x)(xf(3)，则的周期 T=3a；)0)()(11)(xfaxfxf)(xf(4)且，则的周期 T=4a；)()(1)()()(2121 21xfxfxfxfxxf1212( )1( ()()1,0 | 2 )f af xf xxxa)(xf(5)( )()(2 ) (3 )(4 )f xf xaf xa f xaf xa,则的周期 T=5a；( ) () (2 ) (3 ) (4 )f x f xa f xa f xa f xa)(xf(6)，则的周期 T=6a
5、.)()()(axfxfaxf)(xf 30.分数指数幂 (1)（，且）.1m n nma a0,am nN1n (2)（，且）.1m n m na a0,am nN1n 31根式的性质（1）.()nnaa（2）当为奇数时，；nnnaa5当为偶数时，.n,0|,0nna aaaa a 32有理指数幂的运算性质(1) .(0, ,)rsr saaaar sQ(2) .()(0, ,)rsrsaaar sQ(3).()(0,0,)rrraba b abrQ 注： 若 a0，p 是一个无理数，则 ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂 都适用. 33.指数式与对数式的互化式
6、.logb aNbaN(0,1,0)aaN 34.对数的换底公式 (,且,且, ).logloglogm a mNNa0a 1a 0m 1m 0N 推论 (,且,且, ).loglogmn aanbbm0a 1a ,0m n 1m 1n 0N 35对数的四则运算法则 若 a0，a1，M0，N0，则 (1);log ()loglogaaaMNMN(2) ;logloglogaaaMMNN(3).loglog()n aaMnM nR36.设函数,记.若的定义域为,则，且;)0)(log)(2acbxaxxfmacb42)(xfR0a0若的值域为,则，且.对于的情形,需要单独检验.)(xfR0a00
7、a 37. 对数换底不等式及其推广若,则函数0a 0b 0x 1xalog ()axybx(1)当时,在和上为增函数.ab1(0,)a1(,)alog ()axybx， (2)当时,在和上为减函数.ab1(0,)a1(,)alog ()axybx推论:设，且，则1nm0p 0a 1a （1）.log()logmpmnpn（2）.2logloglog2aaamnmn38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有.pxy(1)xyNp 39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系( 数列的前 n 项的和为).11,1,2n nnsnassnna12nnsaa
8、a40.等差数列的通项公式；* 11(1)()naanddnad nN6其前 n 项和公式为1() 2n nn aas1(1) 2n nnad.2 11()22dnad n41.等比数列的通项公式；1*1 1()nn naaa qqnNq其前 n 项的和公式为11(1),11 ,1nnaqqsqna q 或.11,11 ,1nnaa qqqs na q 42.等比差数列:的通项公式为 na11,(0)nnaqad ab q；1(1) ,1(),11nn nbnd q abqdb qdqq 其前 n 项和公式为.(1) ,(1)1(),(1)111n nnbn ndq sdqdbn qqqq 4
9、3.分期付款(按揭贷款) 每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为).(1) (1)1nnabbxbanb44常见三角不等式（1）若，则.(0,)2xsintanxxx(2) 若，则.(0,)2x1sincos2xx(3) .|sin|cos| 1xx 45.同角三角函数的基本关系式 ，=，.22sincos1tan cossintan1cot46.正弦、余弦的诱导公式21 2( 1) sin ,sin()2( 1)s ,nnnco 21 2( 1)s ,s()2( 1)sin,nnconco 47.和角与差角公式(n 为偶数)(n 为奇数)(n 为偶数)(n 为奇数)7;sin()sincos
10、cossin;cos()coscossinsin.tantantan()1tantan(平方正弦公式);22sin()sin()sinsin.22cos()cos()cossin=(辅助角所在象限由点的象限决定, ).sincosab22sin()ab( , )a btanb a48.二倍角公式 .sin2sincos.2222cos2cossin2cos11 2sin .22tantan21tan 49. 三倍角公式 .3sin33sin4sin4sinsin()sin()33.3cos34cos3cos4coscos()cos()33.323tantantan3tantan()tan()1
11、 3tan3350.三角函数的周期公式 函数，xR 及函数，xR(A,为常数，且 A0，0)的周期sin()yxcos()yx；函数，(A,为常数，且 A0，0)的周期.2T tan()yx,2xkkZT 51.正弦定理 .2sinsinsinabcRABC52.余弦定理;2222cosabcbcA;2222cosbcacaB.2222coscababC 53.面积定理（1）（分别表示 a、b、c 边上的高）.111 222abcSahbhchabchhh、（2）.111sinsinsin222SabCbcAcaB(3).221(| |)()2OABSOAOBOA OB 54.三角形内角和定理
12、 在ABC 中，有()ABCCAB.222CAB222()CAB55. 简单的三角方程的通解.sin( 1) arcsin (,| 1)kxaxka kZa .s2arccos (,| 1)co xaxka kZa8.tanarctan (,)xaxka kZ aR 特别地,有.sinsin( 1)()kkkZ .scos2()cokkZ.tantan()kkZ 56.最简单的三角不等式及其解集.sin(| 1)(2arcsin ,2arcsin ),xa axkaka kZ.sin(| 1)(2arcsin ,2arcsin ),xa axkaka kZ.cos(| 1)(2arccos ,
13、2arccos ),xa axkaka kZ.cos(| 1)(2arccos ,22arccos ),xa axkaka kZ.tan()(arctan ,),2xa aRxka kkZ.tan()(,arctan ),2xa aRxkka kZ57.实数与向量的积的运算律 设 、 为实数，那么 (1) 结合律：(a a)=()a a; (2)第一分配律：(+)a a=a a+a;a; (3)第二分配律：(a a+b b)=a a+b b. 58.向量的数量积的运算律： (1) a ab=b= b ba a （交换律）; (2)（a a）b=b= （a ab b）= =a ab b= a a（b b）; (3)（a a+b+b）c=c= a a c c +b+bc.c. 59.平面向量基本定理 如果 e e1 1、e e 2 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 1、2，使得 a=a=1e e1+ +2e e2 不共线的向量 e e1、e e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底基底 60向量平行的坐标表示 设 a a=,b b=，且 b b0 0，则 a a b(bb(b0)0).11( ,
