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1、1,第二章 控制系统的数学模型,2.1 傅里叶变换与拉普拉斯变换 2.2 控制系统的时域数学模型 2.3 控制系统的复域数学模型 2.4 控制系统的结构图信号流图,2,控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式，它是在系统分析和设计中首先要做的工作。建立控制系统数学模型的方法有两种：机理分析法和实验辨识法。,引 言,3,依据描述系统运动规律的定律并通过理论推导来得到数学模型的方法 。,机理分析法,实验辨识法,给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性。这种方法也称为系统辨识。,数学模型有多种形式，常用的有：微分方程（连续系统）、差
2、分方程（离散系统）及状态方程等。 本章主要研究：微分方程、传递函数、方框图和信号流图。,4,1.电容 2 .电感 3弹簧弹性力 4 阻尼器 5 牛顿定律 6 电机 7 二阶方程的通解,2-0 预备知识牢记一些典型时域数学模型,5,2.1 傅里叶变换与拉普拉斯变换,傅里叶 变换 自学,6,拉氏变换及其性质1.定义记 X(s) = Lx(t) 2.性质和定理1)线性性质 L ax1(t) + bx2(t) = aX1(s) + bX2(s),7,2)微分定理,若 ,则,8,若x1(0)= x2(0) = = 0，x(t)各重积分在t=0的值为0时，,3)积分定律,X（-1）(0)是x(t)dt 在
3、t=0的值。同理,9,5)初值定理如果x(t)及其一阶导数是可拉氏变换的，并且,4)终值定理若x(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，lim x(t)存在，并且sX(s)除原点为单极点外，在j轴上及其右半平面内应没有其它极点，则函数x(t)的终值为：,存在，则,10,6)延迟定理 L x(t )1(t ) = esX(s)Leat x(t) = X(s + a) 7)时标变换,8)卷积定理,11,4.举例例2-3 求单位阶跃函数 x(t)=1(t)的拉氏变换。解：,例2-4 求单位斜坡函数x(t)=t的拉氏变换。解：,12,例2-5 求正弦函数x(t) = sint 的拉氏变换。 解：,以上几个
4、函数是比较常用的，还有一些常用函数的拉氏变换可查表求得。,13,例2-6 求函数x(t)的拉氏变换。,+,解： x(t) = x1(t) + x2(t) =A1(t) A1(t t0 ),14,例2-7 求e at 的拉氏变换。 解:,例2-8 求e 0.2 t 的拉氏变换。解：,15,，求x(0)， x()。 解：,例2-9 若,二.复习拉氏反变换1.定义 由象函数X(s)求原函数x(t),2.求拉氏反变换的方法 根据定义，用留数定理计算上式的积分值 查表法,16,部分分式法 一般，象函数X(s)是复变量s的有理代数公式，即,通常m =m。这是因为实际物理系统均有惯性或储能元件；（3）方程式
5、两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。,32,相似系统的定义：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形式。在方程中，占据相同位置的量，相似量。上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。,比如,比如,令uc=q/C,模拟技术：当分析一个机械系统或不易进行试验的系统时，可以建造一个与它相似的电模拟系统，来代替对它的研究。,33,用微分方程求解，需确定积分常数，阶次高时麻烦；当参数或结构变化时，需重新列方程求解，不利于分析系统参数变化对性能的影响。用拉氏变换求解微分方程的一般步骤：1)对微分方程两边进行拉氏变换。2)求解代数方程，得到微分方程在s 域的解。3)求s 域解的拉氏反
6、变换，即得微分方程的解。,2.2.5 线性常系数微分方程的求解,34,例2-13 求解微分方程：,解：两边取拉氏变换 s2Y(s) sy(0) y(0) + 3sY(s) 3y(0) +2Y(s)=5/s,y(t) = 5/2 5 et + 3/2 e2t,初始条件：y(0)= 1, y(0) =2,35,例2-14 图示的RC电路，当开关K突然接通后，试求出电容电压uc(t)的变化规律。,解：设输入量为ur (t)，输出量为uc (t)。由KVL写出电路方程,电容初始电压为uc(0)，对方程两端取拉氏变换,36,当输入为阶跃电压ur (t) = u0 1(t)时， 得,式中右端第一项是由输入
7、电压ur (t)决定的分量，是当电容初始状态uc(0) =0 时的响应，故称零状态响应；,第二项是由电容初始电压uc(0)决定的分量，是当输入电压ur (t)=0时的响应，故称零输入响应。,37,37,例2.15：用拉氏变换解微分方程,38,38,39,用拉氏变换求解的优点： 1）复杂的微分方程变换成简单的代数方程 2）求得的解是完整的，初始条件已包含在拉氏变换中,不用另行确定积分常数 3）若所有的初值为0，拉氏变换式可直接用s 代替 , 得到。当然，阶次高时，求拉氏反变换也不太容易，幸运的是，往往并不需要求出解，可用图解法预测系统的性能，可用相关性质得到解的特征，初值、终值等，满足工程需要。
8、,40,重点 建立微分方程要掌握所涉及系统的关键公式 例如：牛顿第二定律、基尔霍夫定律、质量守恒定律，刚体旋转定律等 建立的微分方程的标准形式特点： 方法直观，但是微分方程的求解麻烦，尤其是高阶系统。,41,小偏差线性化：用台劳级数展开，略去二阶以上导数项。一、假设：x,y在平衡点（x0,y0)附近变化，即x=x0+x, y=y0+y,二、近似处理,略去高阶无穷小项,严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性，而非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一定的工作范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化。,三、数学方法,2. 2. 6 非线性微分方程的线性化,4
9、2,取一次近似，且令,即有,解：在工作点(x0, y0)处展开台劳级数,例：已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。,43,2.3.1 传递函数的定义和实际意义,微分方程是时域中的数学模型，传递函数是采用L 法求解微分方程时引申出来的复频域中的数学模型，它不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构和参数变化时对系统性能的影响，是经典控制理论中最重要的模型。,1 定义在线性定常系统中，当初始条件为零时，系统输出拉氏变换与输入拉氏变换的比，称为传递函数，用G(S)表示。,2-3 控制系统的复数域数学模型,44,即,可见，输入与输出之间的关系仅取决于电路的结构形式及其参数（固有
10、特性）,与输入的具体形式无关，无论输入如何，系统都以相同的传递作用输出信息或能量，因此称之为传递函数。传递函数是代数式，其传递作用还经常用方框图直观的表示：,Uc(s) = G(s) Ur(s),45,一般的，设线性定常系统的微分方程式为,式中，r(t)是输入量，c(t)是输出量。 在零初始条件下，对上式两端进行拉氏变换得,(a0sn + a1sn1 + + an1s + an )C(s)=(b0sm + b1sm1 + + am1s + am )R(s) 按定义，其传递函数为,46,G(s)是由微分方程经线性拉氏变换得到，故等价，只是把时域变换到复频域而已，但它是一个函数，便于计算和采用方框图表示，广泛应用。其分母多项式就是微分方程的特征多项式，决定系统的动态性能。从描述系统的完整性来说，它只能反应零状态响应部分。但在工程实际当中： 1）都是零初始条件的，即系统在输入作用前是相对静止的，即输出量及其各阶导数在t =0的值为零。 2）输入在t =0以后才作用于系统，即输入及其各阶导数在t =0的值为零； 对于非0初始条件时，可采用叠加原理。,
