《数列的通项与求和经典教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列的通项与求和经典教案（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数列等差数列等比数列定义数列an的后一项与前一项的差 anan1为常数 d数列an的后一项与前一项的比1nn aa为常数 q（q0）专有名词d 为公差q 为公比通项公式an=a1+（n1）dan=a1qn1前 n 项和 Sn= 22) 1(1 1naadnnnan Sn= qqan 111通项公式通项公式一、一、 利用公式求通项公式 已知一个数列是特殊的数列，只要求出首项和公差或公比代入公式即可求出通项例例 1 等差数列的前n项和记为nS，已知10203050aa，求通项na解：解： 101930aad， 2011950aad， ，得10202dd，代入，得112a 210nan例例 3 3等
2、差数列 na是递增数列，前 n 项和为nS，且931,aaa成等比数列，2 55aS 求数列 na的通项公式.解：设数列 na公差为)0(dd931,aaa成等比数列，912 3aaa ，即)8()2(112 1daadadad120d， da 12 55aS 2 11)4(2455dada 由得：53 1a ，53dnnan53 53) 1(53二、二、 由由 na的前的前n项和项和nS与与na间的关系，求通项间的关系，求通项利用 11(1)(2).n nnSnaSSn， 此处应注意1nnnaSS并非对所有的nN都成立，而只对当2n且为正整数时成立，因此由nS求na时必须分1n 和2n两种情
3、况进行讨论例例 1设数列 na的前n项和23()nSnn nNA，求数列 na的通项公式解：解：当1n 时，2 113 112aS ；当2n时，22 133(1)164nnnaSSnnnnn 此式对1n 也适用64()nannN例例 2 2 （1） 1322nnSn； 12 n nS.求数列 na的通项公式【解析】当1n时，4113122 11 Sa，当2n时，1) 1( 3) 1(2) 132(22 1nnnnSSannn14 n.而1n时，15114a， )2( 14) 1(4nnnan .当1n时，31211 Sa，当2n时，11 12) 12() 12( nnn nnnSSa.而1n时
4、，11112a， )2(2) 1( 31nnann .（3）.已知nS为数列 na的前n项和，11a，nnanS2 ，求数列 na的通项公式 （4）已知nS为数列 na的前n项和， )2,(23nNnaSnn，求数列 na的通 项公式.（5） 已知数列 na的前n项和nS满足1,) 1(2naSn nn求数列 na的通项公式。（0808 全国全国卷理卷理节选）节选）设数列 na的前n项和为nS，已知 )(3,11NnSaaan nn，设n nnSb3，求数列 nb的通项公式【解析】依题意，n nnnnSSSa311，即n nnSS321，由此得)3(231 1n nn nSS ， .2)3(3
5、1nn nnaSb点评：点评：利用数列的前n项和nS求数列的通项公式na时，要注意1a是否也满足1(2)nnnaSSn得出的表达式，若不满足，数列的通项公式就要用分段形式写出三、三、 利用递推关系，求通项公式利用递推关系，求通项公式 根据题目中所给的递推关系，可构造等差数列或采取叠加，叠乘的方法，消去中间项求通 项公式例例. 数列 na中，212 33(2)nnaaan，；求数列的通项公式()na nN1.1. 叠加法叠加法例 1：数列 na中，1113nnaaan，求数列的通项公式()na nN解：解：因为13nnaan ，所以213 1aa ，3232aa ，433 3aa ，13(1)n
6、naan 将上面1n 个式子叠加，得2 1(1)33(1231)3()22nnnaannn ，所以223331()1222nannnn 【例 2】已知数列 na中，)2( 12, 211nnaaann，求数列 na的通项公式；2.2. 叠乘法叠乘法例 1. （1） 数列 na中，1111n nnaaaan，求数列的通项公式()na nN解：解：由11n nnaaan，变形为12 1nnan an，213 2a a ，32141 3nnaan aan， 将上面的式子叠乘，得11 2nan a 1(1)2nan（2） 、已知数列 na中，)(0) 1()2( , 211Nnananann，求数列
7、na的通 项公式.【解析】由0) 1()2(1nnanan得，211 nn aann1 122332211aaa aa aa aa aaannnnnn n 14232 43 121 1nnn nn nn .（3） .已知数列 na中，,求数列 na的通项公式.（4）已知数列 na满足321a ，nnanna11，求na。【反思归纳】迭加法适用于求递推关系形如“)(1nfaann” ； 迭乘法适用于求递推关系形如“)(1nfaann“；迭加法、迭乘法公式： 11232211)()()()(aaaaaaaaaannnnnnn 1 122332211aaa aa aa aa aaannnnnn n
8、. 3.3. 构造等比数列求通项（构造法）构造等比数列求通项（构造法）【例 1】已知数列 na中，32, 111nnaaa，求数列 na的通项公式.【解析】321nnaa，)3(231nnaa3na是以2为公比的等比数列，其首项为431a. 3224311n nn naa例例 2设数列 na：)2( , 123, 411nnaaann，求na(2006.重庆.14）在数列 na中，若111,23(1)nnaaan，则该数列的通项na 头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 【例 3】已知数列 na中，n nnaaa3
9、2, 111，求数列 na的通项公式.【解析】n nnaa321，n nn nnaa)23(2211 ，令nnnba12则 n nnbb)23(1， 112211)()()(bbbbbbbbnnnnn123)23()23()23()23(2321nnn2)23(2nnn na23 【反思归纳】递推关系形如“qpaann1” 适用于待定系数法或特征根法：令)(1nnapa； 在qpaann1中令pqxxaann11，)(1xapxann；由qpaann1得qpaann1，)(11nnnnaapaa.4.4.倒数法倒数法例例 1. 数列 na中，)(22, 111Nnaaaann n ，则 na的
10、通项na.【解析解析】122 nan由nn naaa221 ，得21111nnaa例例 2：1,131 11aaaann n ，求数列的通项公式na. 数列求和数列求和1、公式法：、公式法： 如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列， 我们可以运用等差、等比数列的前 n 项和的公式来求.等差数列求和公式：1 11 22n nn aan nSnad等比数列求和公式： 11111111n nnna qSaqaa qqqq 例例 1 1. 已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b10=145. 求数列bn的通项 bn； 2、倒序相加法：、倒序相加法：类似于等差数列的前
11、 n 项和的公式的推导方法。如果一个数列 na，与首 末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个 和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.例例 1、 已知函数 2 22xxf x （1）证明： 11f xfx；（2）求1289 10101010ffff 的值. 解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知， 1928551101010101010ffffff1289 10101010Sffff令9821 10101010Sffff则两式相加得：192991010Sff 所以9 2S . 小
12、结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法 求和.例例 2、求值：22222222222212310 1102938101S 3、 、错错位相减法：位相减法：类似于等比数列的前 n 项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差 数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差比”数列，则采用 错位相减法.若nnnabc，其中 nb是等差数列， nc是公比为q等比数列，令1 12211nnnnnSbcb cbcb c则nqS 1 22 311nnnnbcb cbcb c两式相减并整理即得 【例例 1 1】 求数列 1，3x，5x2,(2n-1)xn-1前 n 项的和解 设 Sn=1+3+5x2+(2n-1)xn-1 (2)x=0 时，Sn=1 (3)当 x0 且 x1 时，在式两边同乘以 x 得 xSn=x+3x2+5x3+(2n-1)xn， -，得 (1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2n-1)xn例例 2、 （2008 年全国第 19 题第（2）小题，满分 6 分）已知 12nnan，求数列an的前 n 项和 Sn.解：01211 22 2(1) 22nn nSnnAAAA 12121 22 2(1) 22nn nSnnAAAA 得01
