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1、复变函数与积分变换教案 复变函数 第五 章29章节名称章节名称：第五章 留数 学时安排学时安排：6 学时 教学要求教学要求：理解孤立奇点的概念并掌握判别孤立奇点类别的方法；理解留数的 定义；熟练掌握计算留数的方法；理解留数基本定理，熟练掌握用留数理论计 算积分。 教学内容教学内容：1.理解孤立奇点的概念，掌握判别孤立奇点类别的方法；2了解解 析函数在其孤立奇点邻域内的性质。3理解留数的定义；4熟练掌握计算留 数的方法；5理解留数基本定理，熟练掌握用留数理论计算积分。 教学重点教学重点：留数的定义，留数的计算 教学难点教学难点：用留数理论计算积分 教学手段教学手段：课堂讲授 教学过程教学过程：第
2、五章第五章 留数留数 1、孤立奇点、孤立奇点 1.相关定义定义 1 设点为函数的奇点，若在点的某个去心邻域a)(zf)(zfa内解析，则称点为函数的孤立奇点Raz0a)(zf定义 2 设点为函数的孤立奇点：a)(zf若在点的罗朗级数的主要部分为零，则称点为的可去奇点；)(zfaa)(zf若在点的罗朗级数的主要部分有有限多项，设为)(zfa0,)()(1 1)1( mmmmmcazc azcazc则称点为的级（阶）极点；a)(zfm若在点的罗朗级数的主要部分有无限多项，则称点为的本)(zfaa)(zf性奇点例：依定义，点为的可去奇点，点为的二级极点，点0zzzsin0z2e zz为的本性奇点1z
3、zz 1sin2.函数在孤立奇点的去心邻域内的性质函数在可去奇点的去心邻域内的性质定理 1 若点为的孤立奇点，则下列三个条件是等价的：a)(zf复变函数与积分变换教案 复变函数 第五 章30点为的可去奇点；a)(zf；)()(lim czf az函数在点的某个去心邻域内有界)(zfa函数在极点的去心邻域内的性质定理 2 若点为的孤立奇点，则下列三个条件是等价的a)(zf点为的级极点；a)(zfm在点的某个去心邻域内可表示为)(zfaRaz0mazzhzf)()()(其中的在点的邻域 内解析，且；)(zhaRaz0)(ah点为的级零点（可去奇点视作解析点时） a)(1 zfm定理 3 点为函数的
4、极点的充分必要条件是a)(zf )(limzf az函数在本性奇点的去心邻域内的性质定理 4 点为函数的本性奇点的充分必要条件是不存在，即当a)(zf)(limzf az时，既不趋于有限值，也不趋于az )(zf定理 5 若点为的本性奇点，且在点的充分小的邻域内不为零，a)(zf)(zfa则点必为的本性奇点a)(1 zf例 设，试求在复平面上的奇点，并判定其类别1)e1 (5)(zzf)(zf解 首先，求的奇点的奇点出自方程)(zf)(zf0e1z的解解方程得) 1(Ln z复变函数与积分变换教案 复变函数 第五 章31,2, 1,0,i ) 12(kk若设，则易知为的孤立奇点另外，),2,
5、1,0(i ) 12(kkzkkz)(zf因0)e1 (,0)e1 (kkzzzzzz所以，由零点的定义知为的一级零点从而知均kzze1),2, 1,0(kzk为的一级极点)(zf2、留数、留数1 1，定义 3 设为函数的孤立奇点， 为圆周：，若)(a)(zfc az在上解析，则称)(zfaz0 czzf)d(i21为在点的留数（或残数） ，记作或，即)(zfa),(Resaf)(Res aczzfaf)d(i21),(Res2 2， 留数计算规则：规则 1 如果为的一级极点，那么.0z)(zf)()(lim),(Res00 0zfzzzf zz 规则 2 如果为的级极点，那么0z)(zfm.
6、)()(lim)!1(1),(Res0110 0zfzzzd mzfm mmzz规则 3 设及在解析，如果，,)()()(zQzPzf)(zP)(zQ0z0)(0zP0)(0zQ，那么为的一级极点，而0)(0zQ0z)(zf)()(),(Res00 0zQzPzf例 1 设，求) 1(25)(zzzzf)0,(Res f解法 1 由定义复变函数与积分变换教案 复变函数 第五 章3241d) 1(25 i21)0,(Reszzzzzf41dz125i21zzzz0)125(zzz2注意：这里的积分路径的半径并非只能取，只须使半径小于 1 即可满足41定义的条件解法 2 因点 为的孤立奇点，所以，
7、在内有0z)(zf310: )31,0(* zNzzzzf1) 1(25)(0)52(nnzz032nnzz由此得，依（7.2）式得21c2)0,(Resf解法 3 因点为的一级极点，则按规则 10z)(zf) 1(25lim)0,(Res 0 zzzzf z2解法 4 因点为的一级极点，则按规则 30z) 1(25)(zzzzf0 ) 1( 25)0,(Reszzzzf23，定义 4 设为函数的孤立奇点， 为圆周：，若在z)(zfcz)(zf内解析，则称 zR)(R复变函数与积分变换教案 复变函数 第五 章33 czzf)d(i21为函数在点的留数（或残数） ，记作或，即)(zfz),(Re
8、sf)(Res czzff)d(i21),(Res规则 4 0,1)1(Res, )(Res2zzfzf例 2 设，求zzzfe)1 ()(2),(Resf解 取圆周，由（7.6）式得2:zc czzzfde1 i21),(Res2czzzde1 i21204，定理 6 设区域是由围线 的内部构成（如图） ，若函数在内除含Gc)(zfG有限个奇点外解析，且在上除点外连续，naaa,21cGGnaaa,21则 njj cafzzf1),(Resi2)d(5，定理 7 如果函数在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那么在所)(zf)(zf有各奇点（包括点）的留数的总和必等于零。例 3 计算积分1,d1
9、2i212 azazzz解 首先，弄清被积函数在积分路径内部有无奇点由求出被122 azza1 c1a2 c2a3 c3an cnGc 复变函数与积分变换教案 复变函数 第五 章34积函数的奇点有与 12 1aaz12 2aaz因，所以，又因，故，即在积分路径内部只有被1a12z121 zz11z积函数的一个奇点1z其次，经检验，得),12i2(Resi2d12i212 12zazzzazzz )(i2)(limi2211 1zzzzzz zz 122 a3、留数在定积分计算上的应用、留数在定积分计算上的应用1. 形如形如的积分的积分20d)sin,(cosR通过一定的转化，可得 120)(d
10、)sin,(cosR zdzzf例 计算) 10(d2pcos-1cos2202ppI2. 形如形如的积分的积分xR(x)d通过一定的转化，可得 njjzzQzPxzQzPx1),)()(Resi2d)()(R(x)d例 4 计算积分xxxxd1242解 经验证，此积分可用公式一计算首先，求出在上半平面的全部奇点令1)()(242zzz zQzP0124 zz即22424) 12(1zzzzz222) 1(zz复变函数与积分变换教案 复变函数 第五 章35) 1)(1(22zzzz0于是，在上半平面的全部奇点只有两个：)()( zQzP与 i23 21i23 21且知道，与均为的一级极点)()
11、( zQzP其次，算留数，有)()()()(lim),)()(Res2 zzzzzzzQzPzi34i31)()()()(lim),)()(Res2 zzzzzzzQzPzi34i31最后，将所得留数代入公式得),)()(Res),)()(Res i2d1242 zQzP zQzPxxxx33.3. 形如形如的积分的积分)()()(, 0(d(x)eaixQxPxRaxRx njjzkxkzzQzPxxQxP1ii),e)()(Resi2de)()(例 5 计算积分0,de22i axaxx解 经验证，该积分可用公式二计算首先，求出辅助函数在上半平面的全部奇点22ie)(azzfz复变函数与积
12、分变换教案 复变函数 第五 章36由解得与为的奇点，而，所以，在022 aziaz iaz)(zf0a)(zf上半平面只有一个奇点 ， 且为的一级极点iaia)(zf其次，计算留数有) i)(i( e) i(lim) i,e(Resii22iazazazaazzazzi2e aa 最后，由公式得) i,e(Resi2de22i22i aazxaxzxaae于是容易得到与 aaxaxx edcos220dsin22xaxx练习练习：P.185 ，13（6）教学小结：教学小结： 1.理解孤立奇点的概念，掌握判别孤立奇点类别的方法；熟练掌握将函数在孤 立奇点（无穷远点除外）展成罗朗级数的方法； 2.了解解析函数在其孤立奇点邻域内的性质； 3理解留数（也叫残数）的定义； 4熟练掌握计算留数的方法； 5理解留数基本定理，熟练掌握用留数理论计算积分。作业布置：作业布置： 第五章习题（P.183）1（3） ； 8（1，3，5） ；13（1，3，5） 预习： 第一章 FOURIER 变换
