数学最短路径结题报告_1

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1、数学最短路径结题报告数学最短路径结题报告篇一：八年级最短路径归纳小结八年级数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径算法具体的形式包括：确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题 确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径 全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径【问题原型】 “将军饮马” ， “造桥选址” ， “费马点” 【涉及知识】 “两点之间线段最短” ， “垂线段最

2、短” ， “三角形三边关系” ， “轴对称” ， “平移” 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等 【解题思路】找对称点实现“折”转“直” ，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查- 1 - 2 -【精品练习】1如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ）ADEBC3 DC2如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，ABC60，若将ACD 绕点 A 旋转，当 AC、AD分别与 BC、CD 交于点 E、F，则CEF 的周长的最小值为

3、（ ） A2 B23 D4 C2? 3四边形 ABCD 中，BD90，C70，在BC、CD 上分别找一点 M、N，使AMN 的周长最小时，- 3 -BNAMN+ANM 的度数为（ ）A120 B130 C110 D1404如图，在锐角ABC 中，AB4，BAC45，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是 5如图，RtABC 中，C90，B30，AB6，点 E 在 AB 边上，点 D 在 BC 边上（不与点 B、C 重合） ， 且 EDAE，则线段 AE 的取值范围是 ACDB6如图，AOB30，点 M、N 分别在边 OA、OB

4、上，且 OM1，ON3，点 P、Q 分别在边 OB、OA 上，则MPPQQN 的最小值是_ （注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即 RtABC中，C90，则有 AC2?BC2?AB2）7如图，三角形ABC 中，OABAOB15，点B 在 x 轴的正半轴，坐标为 B(63，0)OC 平分AOB，点 M 在 OC 的延长线上，点 N 为边 OA 上的点，则 MAMN 的最小值是_8已知 A（2，4） 、B（4，2） C 在 y 轴上，D 在 x轴上，则四边形 ABCD 的周长最小值为 - 4 -此时 C、D 两点的坐标分别为 9已知 A（1，1） 、B（4，2） （1）P

5、 为 x 轴上一动点，求 PA+PB 的最小值和此时 P点的坐标；（2）P 为 x 轴上一动点，求 PA?的值最大时 P 点的坐标；（3）CD 为 x 轴上一条动线段，D 在 C 点右边且CD1，求当 AC+CD+DB 的最小值和此时 C 点的坐标； 10点 C 为AOB 内一点 （1）在 OA 求作点 D，OB 上求作点 E，使CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若AOB30，OC10，求CDE 周长的最小值和此时DCE 的度数- 5 -篇二：初中数学最短路径问题典型题型及解题技巧初中数学最短路径问题典型题型及解题技巧最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直

6、线的对称点，或利用平移和展开图来处理。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。理论依据：“两点之间线段最短” ， “垂线段最短” ， “点关于线对称” ， “线段的平移” “立体图形展开图” 。教材中的例题“饮马问题” ，“造桥选址问题” “立体展开图” 。考的较多的还是“饮马问题” 。 知识点：“两点之间线段最短” ， “垂线段最短” ，“点关于线对称” ， “线段的平移” 。 “饮马问题” ， “造桥选址问题” 。考的较多的还是“饮马问题” ，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” ，近两年出现“三折线”

7、转“直”等变式问题考查。一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B 在直线 L 的两侧，在 L 上求一点 P，使得 PA+PB 最小。解：连接 AB,线段 AB 与直线 L 的交点 P ，就是所求。（根据：两点之间线段最短.）二、 两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从 A、B 到它的距离之和最短解：只有 A、C、B 在一直线上时，才能使 AC+BC 最小作点 A 关于直线“街道”的对称点 A，然后连接AB，交“街道”于点 C，则点 C 就是所求的点三、一点在两相交直线内部例：已知：如图 A 是锐角MON 内部任意一点，在

8、MON 的两边 OM，ON 上各取一点 B，C，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点 A 关于 OM，ON 的对称点 A，A；连接A，A，分别交 OM，ON 于点 B、点 C，则点 B、点 C 即为所求分析：当 AB、BC 和 AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥 MN，桥造在何 M处才能使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：1.将点 B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到 E， 2.连接 AE 交河对岸与点 M,则点 M 为建桥的位臵，MN 为所建的桥。证明

9、：由平移的性质，得 BNEM 且 BN=EM, MN=CD, BDCE, BD=CE, 所以 A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位臵建在 CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则 AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,E 在ACE 中，AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN,即AC+CD+DB AM+MN+BN 所以桥的位臵建在 CD 处，AB 两地的路程最短。例：如图，A、B 是两个蓄水池，都在河流 a 的同侧，为了方便灌溉作物，?要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B 两地，问该站建在A BaC河边什么地方

10、，?可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。作法：作点 B 关于直线 a 的对称点点 C,连接 AC 交直线 a 于点 D，则点 D 为建抽水站的位臵。证明：在直线 a 上另外任取一点 E，连接AE.CE.BE.BD, 点 B.C 关于直线 a 对称,点 D.E 在直线 a 上，DB=DC,EB=EC, AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC在ACE 中，AE+ECAC, 即 AE+ECAD+DB所以抽水站应建在河边的点 D 处，例：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的 AO，BO)，AO 桌面上摆满了桔子，OB 桌面上摆满了糖果，坐在 C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回

11、到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？作法：1.作点 C 关于直线 OA 的对称点点 D, 2. 作点 C 关于直线 OB 的对称点点 E, 3.连接 DE 分别交直线OA.OB 于点 M.N， 则 CM+MN+CN 最短例：如图：C 为马厩，D 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马， 先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。作法：1.作点 C 关于直线 OA 的 对称点点 F, 2. 作点 D 关于直线 OB 的对称点点 E, 3.连接 EF 分别交直线OA.OB 于点 G.H，则 CG+GH+DH 最短四、求圆上点，使这点与圆外点的

12、距离最小的方案设计在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。例:一点到圆上的点的最大距离为 9，最短距离为1，则圆的半径为多少？ （5 或 4） 四、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程将圆柱侧面展成长方形，圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽可求出最短路程例：如图所示，是一个圆柱体，ABCD 是它的一个横截面，AB=一只蚂蚁，要从 A 点爬行到 C 点，那么，最近的路程长为（ ）A7 BCD5 ，BC=3，GE分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果解：将圆柱体展开，连接 A、C， =?=4，BC=3，根据两

13、点之间线段最短，AC=五、在长方体（正方体）中，求最短路程 1）将右侧面展开与下底面在同一平面内，求得其路程 2）将前表面展开与上表面在同一平面内，求得其路程 3）将上表面展开与左侧面在同一平面内，求得其路程了然后进行比较大小，即可得到最短路程.例：有一长、宽、高分别是 5cm，4cm，3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点 A 处沿长方体的表面爬到长方体上和 A 相对的顶点 B 处，则需要爬行的最短路径长为（ ）A5cm Bcm C4cm D3cm=5故选 D分析：把此长方体的一面展开，在平面内，两点之间线段最短利用勾股定理求点 A 和 B 点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距

14、离在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得 解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线 （1）展开前面、右面，由勾股定理得 AB2=（5+4）2+32=90； （2）展开前面、上面，由勾股定理得 AB2=（3+4）2+52=74； （3）展开左面、上面，由勾股定理得 AB2=（3+5）2+42=80；篇三：初中数学最短路径问题的讨论以及解决策略初中数学最短路径问题的讨论以及解决策略最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。这对于我们解决此类问

15、题有事半功倍的作用。理论依据：“两点之间线段最短” ， “垂线段最短” ， “点关于线对称” ， “线段的平移” “立体图形展开图” 。教材中的例题“饮马问题” ，“造桥选址问题” “立体展开图” 。考的较多的还是“饮马问题” 。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” ，利用平移把“折”转“直” ，利用平面展开图把“折”转“直” 。一、运用轴对称解决距离最短问题利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离。基本思路是运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点

16、到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同注意：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问1、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B 在直线 L 的两侧，在 L 上求一点 P，使得 PA+PB 最小。解：连接 AB,线段 AB 与直线 L 的交点 P ，就是所求。（根据：两点之间线段最短.）2、 两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从 A、B 到它的距离之和最短解：只有 A、C、B