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1、平面应力问题与平面应变问题 平面问题的平衡微分方程 平面问题中的一点应力状态分析 平面问题的几何方程与刚体位移 平面问题的物理方程 平面问题的边界条件 圣维南原理及应用 按位移法求解平面问题 按应力求解平面问题及相容方程 常体力情况下的简化与应力函数,主要内容,广义胡克定律,广义胡克定律,2.5 平面问题的物理方程,物理方程：考虑平面问题的物理学条件而得出的应力与应变的关系，又称本构方程和广义胡克定律。,E 为拉压弹性模量-杨氏模量 G 为剪切弹性模量 m 为横向变形系数泊松比,对于理想弹性体，有,平面应力问题的物理方程,将平面应力问题的条件sz=tzx=tzy=0代入物理方程，可得,平面应变
2、问题的物理方程,将平面应变问题的条件 ez=gzx=gzy=0 和w=0 代入左式，可得,并有 sz=m(sx+ sy) 和 tzx=tzy=0,两类平面问题的物理方程比较,平面应变问题的物理方程,平面应力问题的物理方程,将平面应力问题物理方程中的 E 和 m 作如下替换，可得平面应变问题的物理方程,平面问题的基本方程,从平面问题的三套基本方程可见，对于两类平面问题，除了物理方程中的有关系数要进行相应的变换外，其它的平衡微分方程和几何方程完全相同。,平面问题的基本方程共有8个：（2个平衡微分方程、3个几何方程、3个物理方程）。这8个基本方程包含8个未知函数（坐标的未知函数）：3个应力分量、3个
3、应变分量、2个位移分量。要想求解这些未知函数，还必须考虑弹性体边界上的条件。,平面应力问题与平面应变问题 平面问题的平衡微分方程 平面问题中的一点应力状态分析 平面问题的几何方程与刚体位移 平面问题的物理方程 平面问题的边界条件 圣维南原理及应用 按位移法求解平面问题 按应力求解平面问题及相容方程 常体力情况下的简化与应力函数,主要内容,2.6 平面问题的边界条件,边界条件：表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式，又分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。,1、位移边界条件：若给定了部分边界上的约束位移分量，则边界上每一点的位移函数应满足如下条件,其中等式左边是位移的边界值，而等
4、式右边则是边界上的约束位移分量，是边界上坐标的已知函数。对于完全固定的边界，其约束位移分量均为0。,平面问题的边界条件,2、应力边界条件：若给定了部分边界上面力分量，则由边界上任意点的静力平衡条件，导出边界上每一点的应力与面力的关系式：,其中等式左边是应力分量的边界值，而等式右边则是边界上的面力分量，是边界上坐标的已知函数。 l 和 m 为该点处边界面外法线的方向余弦。,平面问题的边界条件,对于应力边界条件，必须很好地理解和掌握，应注意以下几点：,1、应力边界条件表示边界上任一点的应力和面力之间的关系， 它是函数方程，在边界上每一点都应满足； 2、公式（2-3）表示的是区域内任一点的斜面上的应
5、力分量与坐标面上的应力分量之间的关系，适用于平面区域内任一点，而边界条件（2-15）只能应用于边界上。因此，必须将边界S的方程代入（2-15）的应力表达式中；,平面问题的边界条件,3、注意式（2-15）中的面力和应力具有不同的正负号规定，且分别作用于通过边界点的不同面上。外法线方向余弦则按三角公式确定正负号。 4、平面问题中应力边界条件都是两个，分别表示x和y两个方向的条件，它是边界上微分体的平衡条件，也属于静力学条件。,平面问题的边界条件,对于边界面为坐标面的情形，应力边界条件(2-15)可进行简化如下：,由于面力和应力具有不同的正负号规定，因此，在正负坐标面上，表达式中的符号是不相同的。在
6、正坐标面上，应力分量与面力分量同号；在负坐标面上，应力分量与面力分量异号。,若x=a为正x面，,若x=b为负x面，,平面问题的边界条件,由上可知，应力边界条件可采用两种表达形式：,1、在边界上取出一个微分体，考虑其平衡条件，便可得出应力边界条件（2-15）或其简化式； 2、在同一边界面上，应力分量应等于对应的面力分量（数值相同，方向一致）。由于面力的数值和方向是给定的，因此，在同一边界面上，应力的数值应等于对应的面力的数值，而面力的方向就是应力的方向。例如：,在斜面上，,在正负坐标面上，如同前述简化式。,平面问题的边界条件,混合边界条件：一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件，如式（2-
7、14）；另一部分边界具有已知面力，因而具有应力边界条件，如式（2-15）；另外，在同一部分边界上还可能出现混合边界条件，即两个边界条件中，一个是位移边界条件，而另一个是应力边界条件。,例 题,例2.6.1：如图，为左侧受静水压力、下边固定的水坝，试写出其应力边界条件（固定边不写）。,右侧面：,左侧面：,例 题,例2.6.2：如图，为上、下边分别受均布力作用的三角形悬臂梁，试写出其应力边界条件（固定边不写）。,上边界：,下边界：,思考题,思考题：如图所示，薄板条在y方向受均匀拉力作用（视为平面应力问题），试证明在板中间突出部分的尖端A处无应力存在(注：Ox是角平分线)。,平面应力问题与平面应变问
8、题 平面问题的平衡微分方程 平面问题中的一点应力状态分析 平面问题的几何方程与刚体位移 平面问题的物理方程 平面问题的边界条件 圣维南原理及应用 按位移法求解平面问题 按应力求解平面问题及相容方程 常体力情况下的简化与应力函数,主要内容,2.7 圣维南原理及应用,弹性力学问题的求解是在给定的边界条件下求解三套基本方程。弹性力学的解必然要求物体表面的外力或者位移满足边界条件。对于工程实际问题，构件表面面力或者位移是很难完全满足这个要求。这使得弹性力学解的应用将受到极大的限制。为了扩大弹性力学解的适用范围，放宽这种限制，圣维南提出了局部影响原理。,圣维南原理主要内容：如果把物体表面一小部分边界上作
9、用的外力力系，变换为分布不同但静力等效的力系（主失量相同，对同一点的主矩也相同），那么只在作用边界近处的应力有显著的改变，而在距离外力作用点较远处，其影响可以忽略不计。,圣维南原理及应用,1、变换的外力必须与原外力是静力等效的：主失量相同，对同一点的主矩也相同 2、只能在局部边界上（小边界）进行静力等效变换。 3、根据圣维南局部影响原理，假如我们用一静力等效力系取代弹性体上作用的原外力，则其影响仅在力的作用区域附近。离此区域较远处，几乎不受影响。,应用圣维南原理时必须注意：,圣维南原理及应用,例2.7.1：用一个钳子夹住铁杆，钳子对铁杆的作用相当于一组平衡力系。实验证明，无论作用力多大，在距离
10、力的作用区域比较远处，几乎没有应力产生。,圣维南原理及应用,例2.7.2：以矩形薄板受单向拉伸力作用为例分析,圣维南原理及应用,通过圣维南原理的使用，可以将一些难以处理的边界条件转化为基本方程所能够满足的边界条件，使得弹性力学问题得到解答。,圣维南原理的推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主失量和主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。这是因为主失量和主矩都等于零的面力，与无面力状态是静力等效的，只能在近处产生显著的应力。,圣维南原理及应用,下面讨论在局部边界上具体如何应用圣维南原理,如图所示，单位厚度的梁，其左右两端作用有一般分布的面力。
11、试分析其边界条件。,圣维南原理及应用,按照严格的应力边界条件（2-15）式，应力分量在左右边界上应满足条件：,它要求在边界上不同点（所有y值处），应力分量必须处处与面力分量对等。这种严格的边界条件是较难满足的。 但是当lh时，左右两端边界是小边界，这时可应用圣维南原理，用如下静力等效条件来代替上述条件：在这一局部边界上，使应力的主失量和主矩分别等于对应的面力的主失量和主矩。（绝对值相等，方向相同）,圣维南原理及应用,应用圣维南原理后的积分边界条件具体表达式为：,上式表明： （1）等式左右两边的数值是相等的、方向是一致的。 （2）等式左边的符号可以按照应力的符号规定来确定：应力的正方向就是应力失
12、量的正方向；正的应力乘以正的矩臂就是应力主矩的正方向。,圣维南原理及应用,如果给出的不是面力的分布，而是单位宽度上面力的主失量和主矩，则具体表达式为：,圣维南原理及应用,将小边界上的精确边界条件(2-15)与近似的积分边界条件进行比较，可以得出：,1、式（2-15）等号两边均是单位面积上的力，而积分边界条件两边是力或力矩； 2、式（2-15）是精确的，而积分边界条件是近似的； 3、式（2-15）有两个条件，一般为两个函数方程，而积分边界条件有三个积分条件，均为代数方程。 4、在求解时，式（2-15）难以满足，而积分边界条件易于满足。当小边界上的条件难于满足时，便可以用积分积分边界条件来代替。,
