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1、200212002 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分，把答案填在题中横线上分，把答案填在题中横线上)(1) 2elndx xx(2) 已知函数由方程确定，则 .( )yy x2610yexyx (0)y(3) 微分方程满足初始条件的特解是 .20yyy11, 002yyxx(4) 已知实二次型经正交变换222 123123121 323( ,)()444f x x xa xxxx xx xx xxPy可化成标准型，则 .2 16fya (5) 设随机变量服
2、从正态分布且二次方程无实根的概X2( ,)(0),N 240yyX率为，则 1 2二、选择题二、选择题(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分，在每小题给出的四个选项中，只有一分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 考虑二元函数的下面 4 条性质：( , )f x y在点处连续， 在点处的两个偏导数连续，( , )f x y00(,)xy( , )f x y00(,)xy在点处可微， 在点处的两个偏导数存在.( , )f x y00(,)xy( , )f x
3、 y00(,)xy若用表示可由性质推出，则有 ( )“PQPQ(A) . (B). (C) . (D).(2) 设且则级数 ( )0(1,2,3,.),nunlim1, nnn u11111( 1)()nnnnuu (A) 发散. (B)绝对收敛. (C)条件收敛. (D)收敛性根据所给条件不能判定.(3) 设函数在内有界且可导，则 ( )( )yf x(0,)(A) 当时，必有. lim( )0 xf x lim( )0 xfx 20022(B)当存在时，必有.lim( ) xfx lim( )0 xfx (C) 当时，必有. 0lim( )0 xf x 0lim( )0 xfx(D)当存在
4、时，必有. 0lim( ) xfx0lim( )0 xfx(4) 设有三张不同平面的方程它们所组成的线性方程组的系123,1,2,3,iiiia xa ya zb i数矩阵与增广矩阵的秩都为 2，则这三张平面可能的位置关系为 ( )(5) 设和是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为和1X2X1( )f x，分布函数分别为和，则 ( )2( )fx1( )F x2( )F x(A)必为某一随机变量的概率密度. 12( )( )f xfx(B)必为某一随机变量的概率密度.12( )( )f x fx(C) 必为某一随机变量的分布函数. 12( )( )F xF x(D) 必为某一
5、随机变量的分布函数.12( )( )F x F x三、三、(本题满分本题满分 6 分分)设函数在的某邻域内具有一阶连续导数，且若( )f x0x (0)0,(0)0,ff在时是比高阶的无穷小，试确定的值.( )(2 )(0)af hbfhf0h h, a b四、四、(本题满分本题满分 7 分分)已知两曲线与在点处的切线相同，写出此切线方程，( )yf x2arctan0xtyedt(0,0)并求极限2lim( ). nnfn五、五、(本题满分本题满分 7 分分)20023计算二重积分其中.22max,xyDedxdy( , )|01,01Dx yxy六、六、(本题满分本题满分 8 分分)设函数
6、在内具有一阶连续导数，是上半平面内的有向分段( )f x(,) L(0)y 光滑曲线，其起点为，终点为.记( , )a b( , )c d22 211()() 1, LxIy f xy dxy f xydyyy(1)证明曲线积分与路径无关； (2)当时，求的值.ILabcdI七、七、(本题满分本题满分 7 分分)(1)验证函数满足微分方程3693 ( )13(3 )!nxxxxy xxn + （-）！6！9！;xyyye(2)利用(1)的结果求幂级数的和函数.30(3 )!nnx n八、八、(本题满分本题满分 7 分分) 设有一小山，取它的底面所在的平面为坐标面，其底部所占的区域为xoy，小山
7、的高度函数为.22( , )75Dx y xyxy22( , )75h x yxyxy(1)设为区域上的一点，问在该点沿平面上什么方向的方向导数00(,)M xyD( , )h x y最大？若记此反向导数的最大值为，试写出表达式.00(,)g xy00(,)g xy(2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点.也就是说，要在的边界线上找出使(1)中的达到最大值D2275xyxy( , )g x y的点.试确定攀登起点的位置.九、九、(本题满分本题满分 6 分分)已知 4 阶方阵均为 4 维列向量，其中线性1234(,),A 1234, 234, 无关，.
8、如果，求线性方程组的通解.12321234Ax十、十、(本题满分本题满分 8 分分)设为同阶方阵，,A B20024(1)如果相似，试证的特征多项式相等.,A B,A B(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立.,A B十一、十一、(本题满分本题满分 8 分分)设随机变量的概率密度为X1cos0( )22 0,xxf x 其他对独立地重复观察 4 次，用表示观察值大于的次数，求的数学期望.XY32Y十二、十二、(本题满分本题满分 8 分分) 设总体的概率分布为X X0123P221-（）21-2（）其中是未知参数，利用总体的如下样本值
9、10 )2（X3,1,3,0,3,1,2,3,求的矩阵估计值和最大似然函数估计值.200252002 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题一、填空题(1)【答案】 1 【详解】先将其转化为普通定积分，求其极限即得广义积分.222eeeln11limlimlimlim11lnlnlnlnlnbbbbbbbdxdxdx exxxxxxb(2)【答案】 -2 【详解】是由确定的的函数，两边对求导，y2610yexyx xx6620,ye yxyyx所以 两边再对求导，得62,6yyxyex x2(6 ) 62(62 )(6),(6 )yyye
10、xyyx e yyex （）-把代入，得，代入，得.0x (0)0y(0)0yy(0)2y (3)【答案】1yx【详解】方法方法 1：这是属于缺的类型. 命.x( ,)yf y y,dpdp dydpyp ypdxdy dxdy原方程化为，得20yyy20dpyppdy或0p 0dpypdy，即，不满足初始条件，弃之；所以0p 0dy dx102yx0p 所以，分离变量得，解之得 即0dpypdydydp yp 1.Cpy1.Cdy dxy由初始条件，可将先定出来：. 于是得11, 002yyxx1C1 111,212CC200261 2dy dxy解之得，.以代入，得，所以应取“+”号2 2
11、2,yxCyxC 01xy21C 且. 于是特解是.21C 1yx方法方法 2：将改写为，从而得. 以初始条件20yyy()0yy 1yyC 代入，有，所以得. 即，改写为1(0)1,(0)2yy1112C1 2yy 21yy . 解得.再以初值代入，所以应取且2()1y 2,yxC2yxC 21C “ “. 于是特解.21C 1yx(4)【答案】2【详解】方法方法 1：二次型的对应矩阵，经正交变换，可化成标准f22 22 22a Aa a xPy型，故为正交矩阵，有，且对实对称矩阵，有2 16fyP1TPPA，故，即600TP AP 1600TP APP AP 600 000 000A :因
12、为矩阵的个特征值之和等于它的主对角元素之和，相似矩阵n33113iii iiaa具有相同的特征值，故有，得.316006i i36a 2a 方法方法 2：二次型的对应矩阵，经正交变换，可化成标准型f22 22 22a Aa a xPy，故为正交矩阵，有，且对实对称矩阵，有2 16fyP1TPPA20027，即1600TP APP AP 600 000 000A :相似矩阵具有相同的特征值，知 0 是的特征值，根据特征值的定义，有A00EAA22 22 22a Aa a422 2 3142 42a aa aa 把第，列加到第列1221(4)12 12aa a提取第列的公因子12221(4) 02
13、031002aa a行行行行，2(4)(2)0aa得 或， (1)4a 2a 又 6 是的特征值，根据特征值的定义，有，由 A60EA(对应元素相减)622622 6622262 622226aa EAaa aa 两边取行列式，622 6262 226a EAa a 222 2 31262 226a aa aa 把第，列加到第列1221(2)162 126aa a 提取第列的公因子12221(2) 08031008aa a行行行行2(2)(8)0aa得 或 (2)2a 8a 因为(1)，(2)需同时成立，取它们的公共部分，得.2a 20028方法方法 3：的对应矩阵为，经正交变换，可化成标准型，f22 2222a Aaa xPy2 16fy故为正交矩阵，有，且对实对称矩阵，有，P1TPPA1600TP APP AP 即600 000000A :相似矩阵具有相同的特征值，知的特征值，其中一个单根是 6，一个二重根应A 是 0，直接求的特征值，即由A(对应元素相减)222222222222aaEAaaaa
