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1、2000 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题理工数学一试题 一、 填空题一、 填空题 (1) 1 2 0 2xx dx= . （2）曲面 222 2321xyz+=在点()1, 2,2的法线方程为 . （3）微分方程 30xyy+=的通解为 . （4）已知方程组 1 2 3 1211 2323 120 x ax ax += 无解，则a = . (5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为 1 , 9 A发生B不发生的概率与B发生A不 发生的概率相等，则P A= . 二、选择题二、选择题 （1） 设( )( ),f xg x是恒大于零得可导函数， 且(
2、) ( )( )( ) 0fx g xf x gx （B）( ) ( )( ) ( )f x g af a g x （C）( ) ( )( ) ( )f x g xf b g b （D）( ) ( )( ) ( )f x g xf a g a 【 】 （2）设() 2222 1 :0 ,S xyzazS+=为S在第一卦限中的部分，则有 （A） 1 4 SS xdSxdS= （B） 1 4 SS ydSxdS= （C） 1 4 SS zdSxdS= （D） 1 4 SS xyzdSxyzdS= 【 】 （3）设级数 1 n n u = 收敛，则必收敛的级数为 （A）() 1 1. n n n u
3、 n = （B） 2 1 n n u = （C）() 212 1 . nn n uu = (D) () 1 1 . nn n uu + = + 【 】 （4）设n维列向量组() 1, , m mn， 取逆时针方向. 六、六、设对于半空间0x 内任意的光滑有向封闭曲面,S都有 ( )( ) 2 0, x S xf x dydzxyf x dzdxe zdxdy= ? 其中函数( )f x在()0,+内具有连续的一阶导数，且( ) 0 lim1, x f x + =求( )f x. 七、七、求幂级数 ()1 1 32 n n n n x n =+ 的收敛区域，并讨论该区间断电处的收敛性. 八、八、
4、 设有一半径为R的球体， 0 P是此球的表面上的一个定点， 球体上任一点的密度与该点到 0 P 距离的平方成正比（比例常数0k ） ，求球体的重心位置. 九、九、设函数( )f x在0,上连续，且( )( ) 00 0,cos0,f x dxf xxdx = 试证：在()0,内 至少存在两个不同的点 12 , ，使( )() 12 0ff=. 十、 （本题满分十、 （本题满分 6 分）分） 设矩阵A的伴随矩阵 * 1000 0100 , 1010 0308 A = 且 11 3 ,ABABAE =+其中E为 4 阶单位矩阵， 求矩阵.B 十一、十一、某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工
5、得人数统计，然后将 1 6 熟练工支援 其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及之间实践至年 终考核有 2 5 成为熟练工.设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 n x和 n y， 记为向量 n n x y . （1） 求 1 1 n n x y + + 与 n n x y 的关系式并写成矩阵形式： 11 11 ; nn nn xx A yy + + = （2） 验证 12 41 , 11 = 是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； （3） 当 1 1 1 2 1 2 x y = 时，求 1 1 n n x y + + . 十二、十二、某
6、流水生产线上每一个产品不合格的概率为()01pp = 其中0为未知参数，又设 12 , n x xx?是X的一组样本观测值，求参数的最大似然估计 值. 2000 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析理工数学一试题详解及评析 一、 填空题一、 填空题 (1) 1 2 0 2xx dx= . 【答】 . 4 【详解】 () 11 2 22 2 000 2111sincos 4 xx dxxdxxttdt = = （2）曲面 222 2321xyz+=在点()1, 2,2的法线方程为 . 【答】 122 146 xyz+ = . 【详解】 令 () 22
7、2 , ,2321F x y zxyz=+， 则有 () () () () () () 1, 2,2 1, 2,2 1, 2,2 1, 2,222, 1, 2,248, 1, 2,2612. | | | x y z Fx Fy Fz = = = 因此所求法线方程为： 122 146 xyz+ = （3）微分方程 30xyy+=的通解为 . 【答】 2 1 2 C yC x =+. 【详解】 令 py=，则原方程化为 3 0,pp x += 其通解为 3. pCx= 因此， 32 2 112 2 , 22 CCC yCx dxCxCC x =+= （4）已知方程组 1 2 3 1211 2323
8、 120 x ax ax += 无解，则a = . 【答】 -1. 【详解】 化增广矩阵为阶梯形，有 ()() 121112111211 2323011011 120023100313 aaa aaaaa + + ? ? ? 可见。当1a = 时，系数矩阵的秩为 2，而增广矩阵的秩为 3，因此方程组无解. 注意，当3a =时，系数矩阵和增光矩阵的秩均为 2，方程组有无穷多解. (5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为 1 , 9 A发生B不发生的概率与B发生A不 发生的概率相等，则( )P A= . 【答】 2 . 3 【详解】 由题设。有 ()()() 1 , 9 P ABP ABP
9、 AB= 因为A和B相互独立，所以A与B，A与B也相互独立。于是由 ()() P ABP AB=， 有 ( ) ( )( )( ) P A P BP A P B= 即有 ( )( )( )( )11,P AP BP AP B= 可得 ( )P A=( )P B 从而 ()( ) ( )( ) 21 1, 9 P ABP A P BP A= 解得 ( )P A= 2 . 3 二、选择题二、选择题 （1） 设( )( ),f xg x是恒大于零得可导函数， 且( ) ( )( )( ) 0fx g xf x gx （B）( ) ( )( ) ( )f x g af a g x （C）( ) ( )
10、( ) ( )f x g xf b g b （D）( ) ( )( ) ( )f x g xf a g a 【 】 【答】 应选（A）. 【详解】 由题设知 ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 2 0, f xfx g xf x gx g xgx = 即 ( ) ( )( ) ( )f x g bf b g x， 可见（A）为正确选项. （2）设() 2222 1 :0 ,S xyzazS+=为S在第一卦限中的部分，则有 （A） 1 4 SS xdSxdS= （B） 1 4 SS ydSxdS= （C） 1 4 SS zdSxdS= （D） 1 4 SS xyzdSxyzdS=
11、 【 】 【答】 应选（C）. 【详解】 显然， 待选答案的四个右端均大于零， 而S关于平面0x =和0y=对称， 因此 （A） 、 （B） 、 （D）三项中的左端项均能为零，可见（C）一定为正确选项.事实上,有 11 44 SSS zdSzdSxdS= （3）设级数 1 n n u = 收敛，则必收敛的级数为 （A）() 1 1. n n n u n = （B） 2 1 n n u = （C）() 212 1 . nn n uu = (D) () 1 1 . nn n uu + = + 【 】 【答】 应选（D）. 【详解】 利用级数的性质即知， （D）为正确选项，事实上， （A） 、 （B
12、） 、 （C）三个选项可举 反例说明是不正确的.例如： () 2 1 1 ln n n n = 收敛，但() 22 1 1 ln n n nn u nnn = = 发散，可排除（A） ； () 1 1 1 n nn = 收敛，但 2 11 1 n nn u n = = 发散，可排除（B） ； () 1 1 1 1 n n n = 收敛，但() 212 111 111 212 nn nnn uu nnn = =+ 发散，可排除（c）. （4）设n维列向量组() 1, , m mn， 取逆时针方向. 【详解】 2222 , 44 yx PQ xyxy = + 则有 () ()() 22 2 22
13、4 ,0,0 4 PyxQ x y xy xy = + 作足够小的椭圆： cos :2 sin xt C yt = = （0,2,tC取逆时针方向） ，于是由格林公式有 22 0. 4 L C xdyydx xy + = + ? 从而有 2 2 22222 0 1 2 44 LC xdyydxxdyydx IIdt xyxy = + ? 六、六、设对于半空间0x 内任意的光滑有向封闭曲面,S都有 ( )( ) 2 0, x S xf x dydzxyf x dzdxe zdxdy= ? 其中函数( )f x在()0,+内具有连续的一阶导数，且( ) 0 lim1, x f x + =求( )f
14、 x. 【详解】 由题设和高斯公式得 ( )( ) ( )( )( ) 2 2 0 , x S x xf x dydzxyf x dzdxe zdxdy xfxf xxf xedV = = + ? 其中为S围成的有界闭区域，号对应曲面取外侧或内侧，由S的任意性，知 ( )( )( )() 2 0,0 x xfxf xxf xex+= 即 ( )( )() 2 11 1,0 x fxf xex xx += 这是一阶线性非齐次微分方程，其通解为 ( )() x x e f xeC x =+ 由于( ) 2 00 limlim1, xx xx eCe f x x + + = 故必有 () 2 0 lim0, xx
