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1、1 1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题一、填空题(本题共本题共5小题，每小题小题，每小题3分，满分分，满分15分。把答案填在题中横线上。分。把答案填在题中横线上。) (1) 设有一个原函数，则 ( )f x sin x x 2 ( )xfx dx (2) 1 1 1 2 n n n (3) 设，而为整数，则 101 020 101 A 2n 1 2 nn AA (4) 在天平上重复称量一重为的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布a .若以表示次称量结果的算术平均值，则为使， 2 ( ,0.2 )N a n Xn0.10.
2、95 n P Xa 的最小值应不小于自然数 n (5) 设随机变量独立同分布，则行列式,1,2, ;2 ij Xi jn nL2 ij EX 的数学期望 11121 21222 12 n n nnnn XXX XXX Y XXX L L MMM L EY 二、选择题二、选择题(本题共本题共5小题，每小题小题，每小题3分，满分分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是分。每小题给出得四个选项中，只有一个是 符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。) (1) 设是连续函数，是的原函数，则 ( )( )f x( )F x( )f x
3、 (A) 当是奇函数时，必是偶函数。( )f x( )F x (B) 当是偶函数时，必是奇函数。( )f x( )F x (C) 当是周期函数时，必是周期函数。( )f x( )F x (D) 当是单调增函数时，必是单调增函数。( )f x( )F x (2) 设连续，且，其中是由所( , )f x y( , )( , ) D f x yxyf u v dudvD 2 0,1yyxx 围成的区域，则等于 ( )( , )f x y 2 (A) (B) (C) (D)xy2xy 1 8 xy1xy (3) 设向量可由向量组线性表示，但不能由向量组()线性 12 , m L 121 , m L 表
4、示，记向量组()，则 ( ) 121 , m L (A) 不能由(I)线性表示，也不能由()线性表示。 m (B) 不能由(I)线性表示，但可由()线性表示。 m (C) 可由(I)线性表示，也可由()线性表示。 m (D) 可由(I)线性表示，但不可由()线性表示。 m (4) 设为阶矩阵，且与相似，为阶单位矩阵，则 ( ),A BnABEn (A) (B)与有相同的特征值和特征向量EAEBAB (C)与都相似于一个对角矩阵. (D)对任意常数 ，与相似.ABttEAtEB (5) 设随机变量，且满足，则 等于( ) 101 (1,2) 111 424 i Xi : 12 01P X X 1
5、2 P XX (A) 0. (B) . (C) . (D) 1. 1 4 1 2 三、三、(本题满分本题满分6分分) 曲线的切线与轴和轴围成一个图形，记切点的横坐标为，试求切线方 1 y x xya 程和这个图形的面积，当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变换趋势如何？ 四、四、(本题满分本题满分7分分) 计算二重积分，其中是由直线以及曲线 D ydxdy D2,0,2xyy 所围成的平面区域。 2 2xyy 五、五、(本题满分本题满分6分分) 设生产某种产品必须投入两种要素，和分别为两要素的投入量，为产出量；若 1 x 2 xQ 生产函数为，其中为正常数，且.假设两种要素的价格分别为 12 2
6、Qx x , 1 和，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？ 1 p 2 p 六、六、(本题满分本题满分 6 分分) 3 设有微分方程，其中 2yyx 2,1 0,1 x x x 试求: 在内的连续函数，使之在和内都满足所给, yy x,11, 方程，且满足条件. 00y 七、七、(本题满分本题满分 6 分分) 设函数连续，且.已知，求的值. f x 2 0 1 2arctan 2 x tfxt dtx 11f 2 1 f x dx 八、八、(本题满分本题满分 7 分分) 设函数在区间上连续，在内可导，且. f x0,10,1 1 010,1 2 fff 试证：(1)
7、存在，使； 1 ,1 2 f (2)对任意实数，必存在，使得.0, 1ff 九、九、(本题满分本题满分 9 分分) 设矩阵，且.又设的伴随矩阵有特征值，属于 1 53 10 ac Ab ca 1A A * A 0 的特征向量为，求及的值. 0 1, 1,1 T , ,a b c 0 十、十、(本题满分本题满分 7 分分) 设为实矩阵，为阶单位矩阵.已知矩阵，试证：当Am nEn T BEA A 时，矩阵为正定矩阵.0B 十一、十一、(本题满分本题满分 9 分分) 假设二维随机变量在矩形上服从均匀分布.记,X Y ,02,01Gx yxy ， 0, 1, XY U XY 0,2 1,2 XY V
8、 XY (1) 求和的联合分布； (2) 求和的相关系数.UVUVr 十二、十二、(本题满分本题满分 7 分分) 设是来自正态总体的简单随机样本， 129 ,XXXKX 1126 1 6 YXXXK ，证明统计量服从 2789 1 3 YXXX 9 2 2 2 7 1 2 i i SXY 12 2 YY Z S Z 4 自由度为 2 的 分布.t 1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题一、填空题 (1)【答案】 4 1 【详解】由题设可知.由分部积分法，得 2 sincossin ( )() xxxx f x xx 2 222
9、 ( )( )( )( )xfx dxxdf xxf xf x dx 22 cossinsin224 11 xxxx xx (2)【答案】4 【详解】考虑幂级数，由可知，该幂级数的收敛半径为1，收敛区 1 1 n n nx 1 lim1 n n n 间为，则.记，两边从到积分，得( 1,1) 1 ( 1,1) 2 x 1 1 ( ) n n S xnx 0x 11 000 111 ( )(),( 1,1) 1 xxx nnn nnn x S x dxnxdxnxdxxx x 所以 2 1 ( )(),( 1,1) 1(1) x S xx xx 所以 1 2 1 111 ( )( )4 1 22
10、 (1) 2 n n Sn (3) 【答案】O 【详解】，根据矩阵的乘法，以及数与矩阵相乘，矩阵的每一个元素都要 101 020 101 A 乘以该数，有 2 101101202101 0200200402 0202 101101202101 AA 5 故有 122 2(2 ) nnn AAAAAO 或由，式子左右两端同右乘，得，即， 2 2AA 2n A 222 2 nn AAA A 1 2 nn AA 得 1 2 nn AAO 或由，式子左右两端同右乘，得 2 2AAA ，式子左右两端再同乘，得 2322 (2 )22(2 )2AAAA AAAAA ，依次类推，得 342323 (2 )2
11、2 22AAAAAAAA 121 2,2, nnnn AA AA 所以 11211 222 222 nnnnnn AAAAAAO (4)【答案】 16 【概念和性质】(1) 独立正态随机变量的性质：服从正态分布的独立随机变量的线性组合 仍服从正态分布； (2) 期望的性质：， (其中为常数)；()E aXbYaEXbEYEcc, ,a b c (3) 方差的性质: ；若独立，则 2 ()()D cXc D XXY和()D XYDXDY (4) 正态分布标准化：若，则 2 ( ,)ZN u(0,1) Zu N 【详解】由题知：，且相互独 2 12 ,( ,0.2 ) n XXXN aL: 1 1
12、 n ni i XX n 12 , n XXXL 立，故，其中 ， 2 1 1 ( ,) n ni i XXN n n EX 2 n DX 所以 11 11 nn nii ii na EXEXEXa nnn 22 2 222 111 1110.20.2 nnn niii iii n DXDXDXDX nnnnn 所以 ，标准化得 2 1 10.2 ( ,) n n i i XXN a nn (0,1) 0.2/ n Xa UN n 则只需将中大括号里的不等式两端同除以标准差，即有：0.10.95 n P Xa 0.1 0.950.95 20.2/0.2/ n Xa n PP U nn 6 因
13、，查标准正态分布表知 (0,1) 0.2/ n Xa UN n 1.960.95P U 所以，解得. 因为整数，所以最小为16.1.96 2 n 15.3664n nn (5)【答案】 0EY 【概念和性质】(1) ；(2)若独立，则有E XYEXEYX和YEXYEXEY 【详解】由行列式的定义知，行列式是由个元素的乘积组成的项和式，每一项都 2 n ij X!n 是个元素的乘积，这个元素取自行列式中不同行和不同列，在这全部n 12 12 n jjnj XXXLn 项中每项都带有正号或负号.!n 由于随机变量独立，所以有,1,2, ;2 ij Xi jn nL 1212 1212 () nn jjnjjjnj E XXXEXEXEXLL 所以前面无论取正号或者负号，对和式的期望等于各项期望之和. 即有 11121 21222 12 n n nnnn EXEXEX EXEXEX EY EXEXEX L L MMM L 而同分布，且,1,2, ;2 i
