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1、 BornBorn toto winwin12001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题一、填空题(1) 设生产函数为, 其中Q是产出量, L 是劳动投入量, K 是资本投入量,而QAL KA, , 均为大于零的参数,则当Q =1时K关于L的弹性为 (2) 某公司每年的工资总额比上一年增加20的基础上再追加2 百万.若以表示第t 年的tW工资总额(单位：百万元)，则满足的差分方程是_ tW(3) 设矩阵且秩(A)=3,则k = 111111,111111kkAkk (4) 设随机变量X,Y 的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.
2、5.则根据切比雪夫不等式 .-6P X Y (5) 设总体X服从正态分布而是来自总体X的简单随机样本，则2(0,0.2 ),N1215,XXX随机变量服从_分布，参数为_22 110 22 11152XXYXX 二、选择题二、选择题(1) 设函数f (x)的导数在x=a处连续,又则( )( )lim1, xafx xa (A) x = a 是f (x)的极小值点. (B) x = a 是f (x)的极大值点. (C) (a, f(a)是曲线y= f(x)的拐点. (D) x =a不是f (x)的极值点, (a, f(a)也不是曲线y=f(x)的拐点.(2) 设函数其中则g(x)在区间(0,2)
3、 内( ) 0( )( ),xg xf u du21(1),012( ),1(1),123xx f x xx (A)无界 (B)递减 (C) 不连续 (D) 连续BornBorn toto winwin2(3) 设11121314141312112122232424232221 1 313233343433323141424344444342410001 0100,0010 1000aaaaaaaa aaaaaaaaABPaaaaaaaa aaaaaaaa 其中A 可逆,则等于( )210000010,01000001P 1B(A) (B) (C) (D).1 12A PP1 12PA P1
4、12PP A1 21P A P(4) 设A 是n 阶矩阵，是n维列向量.若秩秩，则线性方程组( )0TA(A)AX =必有无穷多解 AX = 必有惟一解.(A)( )B仅有零解 必有非零解.( )C00TAX y ()D00TAX y (5) 将一枚硬币重复掷n 次,以X和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关 系数等于( )(A) -1 (B) 0 (C) (D) 11 2三三 、(本题满分本题满分5 分分)设u= f(x,y,z)有连续的一阶偏导数,又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式确定:和求2xyexy 0sin,x zxtedttdu dx四四 、(本题满分本
5、题满分6 分分)已知f (x)在(,+)内可导,且 求c的值.lim( ), xfxe lim()lim ( )(1),xxxxcf xf xxc 五五 、(本题满分本题满分6 分分)求二重积分的值,其中D 是由直线y=x, y= 1及x =1围成的平面221()21xyDyxedxdy区域 六、六、(本题满分本题满分7 分分)已知抛物线(其中p0)在第一象限与直线x+y=5相切，且此抛物线与2ypxqxx轴所围成的平面图形的面积为S. (1) 问p和q为何值时，S达到最大? (2)求出此最大值.BornBorn toto winwin3七、七、(本题满分本题满分6 分分)设f (x)在区间0
6、,1上连续,在(0,1)内可导,且满足1 13 0(1)( ),(1).xfkxef x dx k证明：存在(0,1), 使得1( ) 2(1) ( ).ff八、八、(本题满分本题满分7 分分)已知满足(n为正整数)且求函数项级数( )nfx1( )( )nx nnfxfxxe(1),nefn之和.1( )n ifx九、九、(本题满分本题满分9 分分)设矩阵已知线性方程组AX =有解但不唯一,试求:111 11 ,1. 112a Aa a (1) a的值;(2) 正交矩阵Q,使为对角矩阵.TQ AQ十、十、(本题满分本题满分8 分分)设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，是中元素的代数余子式(i
7、,j ijA ijn nAaija=1,2,n)，二次型12 11( ,).nnij nij ijAf x xxx xA(1) 记把写成矩阵形式，并证明二12( ,),nAx xx12 11( ,).nnij nij ijAf x xxx xA次型的矩阵为;()f X1A(2) 二次型与的规范形是否相同？说明理由.()Tg XX AX()f X十一、十一、(本题满分本题满分8 分分) 生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50 千克,标准差为5 千克.若用最大载重量为5 吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977. (2
8、)=0.977,其中(x) 是标准正态分布函数).十二、十二、(本题满分本题满分8 分分)设随机变量X 和Y 对联和分布是正方形G=(x,y)|1x3,1y3上的均匀分布，试BornBorn toto winwin4求随机变量U=XY 的概率密度( ).p u2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题一、填空题(1)【答案】 【使用概念】设在处可导，且，则函数关于的弹性在处的值 yf xx 0f x yxx为 EyxxyfxExyf x【详解】由，当时，即，有于是关于的QAL K1Q 1AL K1 ,KAL KL弹性为：EK ELL
9、KK11dAL L dLAL 111AL LAL (2)【答案】 11.22tW【详解】表示第t年的工资总额，则表示第年的工资总额，再根据每年的工资tW1tW1t 总额比上一年增加20的基础上再追加2百万，所以由差分的定义可得满足的差分方程tW是：11(120)21.22tttWWW(3)【答案】-3 【详解】 方法方法1：由初等变换(既可作初等行变换，也可作初等列变换).不改变矩阵的秩，故对进A 行初等变换BornBorn toto winwin5111 111111 111k kAk k 111 11001( 1)2,3,41010 1001k kkkk kk 行分别加到行3111 010
10、02,3,40010 0001k k k k 列分别加到1列可见只有当k =3时，r(A)=3.故k =3.方法方法2：由题设r(A)=3，故应有四阶矩阵行列式.由 0A 111111111111kkAkk111 11001( 1)2,3,41010 1001k kk kk kk 行分别加到行311101002,3,400100001kkkk列分别加到1列3(3)(1)0,kk解得 k =1或k = 3. 当k =1时，1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1A 1111 00001( 1)2 3 400000000 行分别加到，行可知，此时r(A)=1，不符合题意，因此一
11、定有k =3. (4)【答案】1 12【所用概念性质】切比雪夫不等式为：2()()D XP XE X期望和方差的性质：；()E XYEXEY()2cov(, )D XYDXX YDY【详解】 把看成是一个新的随机变量，则需要求出其期望和方差.XY故 ()220E XYEXEY 又相关系数的定义：cov(, )(, )X YX YDXDYBornBorn toto winwin6则 cov(, )(, )( 0.5)141X YX YDXDY ()2cov(, )12 ( 1)43D XYDXX YDY 所以由切比雪夫不等式： 2()316()663612D XYP XYP XYE XY(5)【
12、答案】；F(10,5)【所用概念】1. 分布的定义： 其中 F12XnFYn2 1()Xn2 2()Yn2. 分布的定义：若相互独立，且都服从标准正态分布，则21,nZZ(0,1)N221( )ni iZn3. 正态分布标准化的定义：若，则2( ,)ZN u(0,1)ZuN【详解】因为，将其标准化有，从而根2(0,2 )1,2,15iXNi :0(0,1)22iiXXN:据卡方分布的定义2222 221015111(10),(5),2222XXXX:由样本的独立性可知，与相互独立.22 101 22XX22 1511 22XX故，根据分布的定义F22 10122 110 2222 111515
13、1122 10(10,5).222 5XXXXYFXXXX:故服从第一个自由度为10，第二个自由度为5的分布.YF二、选择题二、选择题(1)【答案】 B 【详解】BornBorn toto winwin7方法方法1：由知( )lim1, xafx xa lim( ) xafx ( )lim xafxxaxa( )limlim xaxafxxaxa1 0 0又函数的导数在处连续，根据函数在某点连续的定义，左极限等于右( )f xxa极限等于函数在这一点的值，所以，于是有( )0fa( )( )( )“( )limlim1, xaxafxfafxfaxaxa 即，根据判定极值的第二充分条件：设函数在处( )0fa( )10fa ( )f x0x具有二阶导数且，当时，函数在处取得0()0fx0()0fx0()0fx( )f x0x极大值. 知是的极大值点，因此，正确选项为(B).xa( )f x方法方法2：由及极限保号性定理：如果，且(或)
