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1、郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1995 年数学试题参考解答及评分标准 1995 年 第 1 页 1995 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准数学试题参考解答及评分标准 数数 学（试卷一）学（试卷一） 一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 0lim xxxsin2 )31 ( =6e. (2) dxddtxtx02 2cos = 20224cos2cos xt dtxx. (3) 设 2)(cba, 则 )()()(accbba = 4 . (4) 幂级数 121)3(
2、2nnnnxn的收敛半径R 3. (5) 设三阶方阵AB、 满足关系式16A BAABA， 且A 1 / 3000 1 / 4000 1 / 7 ， 则B3 0 00 2 00 0 1 . 二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 有直线L： 031020123 zyxzyx及平面：0224zyx， 则直线L (C) (A) 平行于. (B) 在上 (C) 垂直于. (D) 与斜交 (2) 设在 10 ，上0)( xf， 则)0(f 、) 1 (f 、)0() 1 (ff和) 1 ()0(ff的大小顺序是 (B) (A)
3、)0() 1 ()0() 1 (ffff. (B) )0()0() 1 () 1 (ffff. (C) )0() 1 ()0() 1 (ffff. (D) )0() 1 ()0() 1 (ffff. (3) 设( )f x可导，( )( )(1sin )F xf xx， 则( 0 ) 0f是( )F x在0x 处可导的 (A) (A) 充分必要条件 (B) 充分条件但非必要条件 (C) 必要条件但非充分条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (4) 设)11ln() 1(nun n，则级数 (C) (A) 1nnu与12nnu都收敛. (B) 1nnu与12nnu都发散 (C) 1nnu收敛而
4、12nnu发散. (D) 1nnu发散而12nnu收敛. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1995 年数学试题参考解答及评分标准 1995 年 第 2 页 (5) 设 A= 333231232221131211aaaaaaaaa ，B= 133312321131131211232221aaaaaaaaaaaa ，P1= 100001010 ，P2= 101010001 ，则必有 (C) (A) A P1P2 = B (B) A P2P1 = B (C) P1P2A = B (D) P2P1A = B. 三、三、(本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 10 分分) (
5、1) 设( , , )uf x y z,2(, )0,sinyx e zyx,其中, f都具有一阶连续偏导数， 且z0，求dxdu. 解：解：,dufz dyf dz dxxy dxz dx2 分 1231cos ,(2cos)ydydzxxexdxdx , 4 分 故sin 1231cos(2cos)xdufzfxxexdxxyz . 5 分 (2) 设( )f x在区间1, 0上连续，并设10( )f x dxA，求110( ) ( ) xdxf x f y dy. 解：解：更换积分次序，可得 111100000( ) ( )( ) ( )( ) ( )yxxdxf x f y dydyf
6、 x f y dxdxf x f y dy, 2 分 于是1111100002( ) ( )( ) ( )( ) ( )xxxdxf x f y dydxf x f y dydxf x f y dy11200( ) ( )dxf x f y dyA4 分 所以11201( ) ( )2xdxf x f y dyA. 5 分 四、四、(本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 6 分，满分分，满分 12 分分) (1) 计算曲面积分zdS ，其中为锥面22zxy在柱体222xyx内的部分. 解：解：在xoy平面上的投影区域为22D2xyx：，221 ()()2zzdSddxy. 于是222 D
7、zdSxyd 3 分 2cos22 022dr dr 32 016322cos239d . 6 分 (2) 将函数( )1(02)f xxx展成周期为 4 的余弦级数. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1995 年数学试题参考解答及评分标准 1995 年 第 3 页 解：解：2002(1)0,2axdx1 分 222000222(1)cos(1) sinsin2222nn xn xn xaxdxxddxnn 224( 1)1n n 4 分 2202 (1,2,)821(21)nk knkk. 22 181(21)( )cos,0,2(21)2kkxf xxk . 6 分 注：展开式也可写作22
8、 14( 1)1( )cos,0,22nnn xf xxn . 五、五、(本题满分本题满分 7 分分) 设曲线 L 位于xoy平面的第一象限内，L 上任一点 M 处的切线与y轴总相交，交点记为 A.已知MA = OA，且 L 过点)23,23(，求 L 的方程. 解：解：设点 M 的坐标为( , )x y，则切线MA的方程为()Yyy Xx. 令0X ，则Yyxy，故点 A 的坐标为(0,)yxy. 2 分 由MAOA，有22(0)()yxyxyyxy. 即212yyyxx . 4 分 令2zy，得dzzxdxx . 解得11 ()()dxdxxxzexedxcxxc ，即22yxcx 6 分
9、 由于所求曲线在第一象限内,故2.ycxx 再以条件33( )22y代入得3c ，于是 L 的方程为23.(03)yxxx 7 分 注：注：不写(03)x不扣分. 六、六、(本题满分本题满分 8 分分) 设函数),(yxQ在xoy平面上具有一阶连续偏导数， 曲线积分 LdyyxQxydx),(2与路径无关，并且对任意t恒有dyyxQxydxdyyxQxydxtt, 10, 01 ,0, 0),(2),(2，求),(yxQ. 解：解：由曲线积分与路径无关的条件知(2)2Qxyxxy. 2 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1995 年数学试题参考解答及评分标准 1995 年 第 4 页 于是，
10、2Q( , )( )x yxc y，其中( )c y为待定函数. 3 分 又( ,1)1122(0,0)002( , )( )( ),txydxQ x y dytc y dytc y dy(1, )2(0,0)002( , )1( )( )tttxydxQ x y dyc y dytc y dy . 6 分 故由题设知1200( )( )ttc y dytc y dy .两边对t求导得21( ),( )21tc tc tt 从而( )21c yy，所以2( , )21Q x yxy. 8 分 七、七、(本题满分本题满分 8 分分) 假设函数)(xf和( )g x在 , a b上存在二阶导数，并
11、且( )0gx， ( )( )( )( )0f af bg ag b，试证： (1) 在开区间( , )a b内( )0g x ； (2) 在开区间( , )a b内至少存在一点，使( )( ) ( )( )ff gg . 证证：(1) 用反证法. 若存在点( , )ca b，使( )0g c ，则对( )g x , a c和 , c b上分别 应用罗尔定理，知存在1( , )a c和2( , )c b，使12( )()0gg. 2 分 再对( )g x在12, 在上应用罗尔定理，知存在3123( ,),( )0g 使， 这与题设( )0gx 矛盾，故在( , )a b内( )0g x . 4
12、 分 (2) 令( )( ) ( )( ) ( )xf x g xfx g x， 6 分 易见( )( )0ab，对( )x在 , a b上应用罗尔定理，知存在( , )a b，使( )0 . 即( ) ( )-( ) ( )0fgfg.因( )0,( )0gg，故得( )( ) ( )( )ff gg . 8 分 八、八、(本题满分本题满分 7 分分) 设三阶实对称阵A的特征值为1231,1，对应于1的特征向量为1(0,1,1)T，求A. 解：解：对应于231有两个线性无关的特征向量23, ，它们都与1正交， 故可取23(1,0,0) ,(0,1, 1)TT，. 3 分 令0101/201/
13、21/201/2P ， 5 分 则1TPP，于是 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1995 年数学试题参考解答及评分标准 1995 年 第 5 页 10101000 1/21/21001/201/20101000010010101/201/20 1/21/2APAP. 7 分 九、九、(本题满分本题满分 6 分分) 设A是n阶矩阵，满足AAI（I是n阶单位阵，A是A的转置矩阵） ，0A ，求IA. 解：解：因| | |AIAAAA IA 2 分 |() | |AIAA IA， 4 分 所以(1 |)| 0AIA.由因1 | 0A，故| 0IA. 6 分 十、十、(本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 6 分分) (1) 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为 0.4 ，则2X的 数学期望 )(2XE 18.4 . (2) 设 X 和 Y 为
