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1、 BornBorn toto winwin19921992 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分, ,把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.).)(1) 设函数由方程确定,则_.( )yy xcos()0x yexydy dx(2) 函数在点处的梯度_.222ln()uxyz(1,2, 2)MMgradu(3) 设则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于21, 0,xxxf xex 31(2)f xdx四、四、( (本题满分本题满分
2、6 6 分分.).)求微分方程的通解.323xyyye五、五、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )计算曲面积分,其中为上半球323232()()()xazdydzyaxdzdxzaydxdy面的上侧.222zaxy六、六、( (本题满分本题满分 7 7 分分) )设,证明对任何,有.( )0fx(0)0f120,0xx1212()()()f xxf xf x七、七、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )在变力的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面Fyzzxxyijk上第一卦限的点,问当取何值时,力所做的功最2222221xyz abc( , , )M , , FW大?并求出的最大值.
3、WBornBorn toto winwin八、八、( (本题满分本题满分 7 7 分分) )设向量组线性相关,向量组线性无关,问：123、234、(1) 能否由线性表出？证明你的结论.123、(2) 能否由线性表出？证明你的结论.4123、九、九、( (本题满分本题满分 7 7 分分) )设 3 阶矩阵的特征值为,对应的特征向量依次为A1231,2,3,又向量,123111 1 ,2 ,3 149 1 2 3 (1) 将用线性表出.123, (2) 求(为自然数).nAn十、填空题十、填空题( (本题满分本题满分 6 6 分分, ,每小题每小题 3 3 分分.).)(1) 已知,则事件、1(
4、)( )( )4P AP BP C()0P AB 1()()16P ACP BCA、B全不发生的概率为_.C(2) 设随机变量服从参数为 1 的指数分布,则数学期望_.X2()XE Xe十一、十一、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )设随机变量与独立,服从正态分布,服从上的均匀分布,试XYX2( ,)N Y, 求的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数表示,其中ZXY( )x).221( )2txxedtBornBorn toto winwin19921992 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5
5、 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1)【答案】sin() sin()x yx yeyxy exxy【解析】函数是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式.( )yy x方程两边对求导,将看做的函数,得.解出,即xyx(1)sin()()0x yeyxy xyyy.sin() sin()x yx ydyeyxyydxexxy 【相关知识点】1.复合函数求导法则：如果在点可导,而在点可导,则复合函数( )ug xx( )yf x( )ug x在点可导,且其导数为( )yf g xx或 .( )( )dyf ug xdxdydy d
6、u dxdu dx2.两函数乘积的求导公式：.( )( )( )( )( )( )f xg xfxg xf xg x(2)【答案】21,2, 29【解析】对函数求各个分量的偏导数,有u；.2222ux xxyz2222uy yxyz2222uz zxyz由函数的梯度(向量)的定义,有,2221,2 ,2 ,2uuugraduxyzxyzxyz所以 .222122,4, 41,2, 212( 2)9Mgradu 【相关知识点】复合函数求导法则：如果在点可导,而在点可导,则复合函数( )ug xx( )yf x( )ug x在点可导,且其导数为( )yf g xxBornBorn toto win
7、win或 .( )( )dyf ug xdxdydy du dxdu dx(3)【答案】21 2【解析】是区间的端点,由收敛性定理狄利克雷充分条件知,该傅氏级数在x, 处收敛于x.22111 (0)(0) 1 1222ff 【相关知识点】收敛性定理狄利克雷充分条件：函数在区间上满足：(i) 连续,或只有有限个第一类间断点；() 只有有( )f x, l l限个极值点.则在上的傅里叶级数收敛,而且( )f x, l l01(cossin)2nn nannaxbxll( ), (, )( ) 1(0)(0) , (, )( )2 1(0)(0) , .2f xxl lf xf xf xxl lf
8、xflf lxl 若为的连续点,若为的第一类间断点,若(4)【答案】为任意常数coscos ,yxxCx C【解析】这是标准形式的一阶线性非齐次方程,由于,方程两边同乘tan1 |cos|xdxex,得1 cosx.111coscosyyxCxx 积分故通解为为任意常数.coscos ,yxxCx C(5)【答案】1【解析】因为矩阵中任何两行都成比例(第 行与第行的比为),所以中的二阶Aijija aA子式全为 0,又因,知道,中有一阶子式非零.故.0,0iiab1 10ab A( )1r A BornBorn toto winwin【相关知识点】矩阵秩的定义：如果矩阵中存在阶子式不为零,而所
9、有的阶子式全r1r 为零时,则此矩阵的秩为.r二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1)【答案】(D)【解析】对于函数在给定点的极限是否存在需要判定左极限和右极限0x0xx是否存在且相等,若相等,则函数在点的极限是存在的.0xx0x, ,112 11111limlim(1)01xxxxxexex112 11111limlim(1)1xxxxxexex ,故当时函数没有极限,也不是.故应选(D).0 1x (2)【答案】(C)【解析】对原级数的通项取绝对值后,再利用等价无穷小,2111 cos()2nn
10、n :,22( 1) (1 cos)1 cos()2nnnnn :又因为级数：当时收敛；当时发散.p11p nn1p 1p 所以有 收敛.22 11 2nn收敛.所以原级数绝对收敛.应选(C).1( 1) (1 cos)nnn注：注：对于正项级数,确定无穷小关于的阶(即与级数作比较)是判断它的敛散1n nana1 np性的一个常用方法.该题用的就是这个方法.(3)【答案】B【解析】先求出切线的方向向量,再利用方向向量与平面的法向量的数量积为 0 得切点对应的 值.t求曲线上的点,使该点处的切向量与平面的法向量垂直,24xyz1,2,1n 即可以让切线与平面平行.曲线在任意点处的切向量,即2(
11、),( ),( )1, 2 ,3x ty tz ttt0nn BornBorn toto winwin,解得 .(对应于曲线上的点均不在给定的平面上)31 430tt11,3tt因此,只有两条这种切线,应选(B).(4)【答案】(C)【解析】因处处任意阶可导,只需考查,它是分段函数,是连接点.33x2|( )xxx:0x 所以,写成分段函数的形式,有33,0,( ), 0,xxxxx对分段函数在对应区间上求微分,223,0,( )3, 0,xxxxx 再考查在连接点处的导数是否存在,需要根据左导数和右导数的定义进行讨论.( )x0x ,3 0(0)()0xx3 0(0)()0(0)0xx 即
12、223,0,( )3, 0.xxxxx 同理可得 ,即 .6 ,0,( )6 , 0,x xxxx(0)06 ,0( )6|6 , 0x xxxxx对于有yx(0)1,(0)1.yy 所以在不可导,不存在,应选(C).yx0x (0)(5)【答案】(A)【解析】,向量对应的分量不成比例,所以,是两个线性无关的解,故12120Ax .由知.( )2nr A3n ( )1r A 再看(A)选项秩为 1；(B)和(C)选项秩为 2；而(D)选项秩为 3.故本题选(A).【相关知识点】对齐次线性方程组,有定理如下:0Ax 对矩阵按列分块,有,则的向量形式为A12nA, 0Ax 11220nnxxx.那
13、么, 有非零解 线性相关0Ax 12n, 12nr,n r An.BornBorn toto winwin三、三、( (本题共本题共 3 3 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1)【解析】由等价无穷小有时,0x 2221111()22xxx:原式=, 20021 sin1 sinlimlim111 2xxxxexexxx 上式为“”型的极限未定式,又分子分母在点处导数都存在,所以连续应用两次洛必达0 00法则,有 原式. 00cossinlimlim1xxxxexex x洛必达洛必达1 011(2)【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如 何复合的.由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求,再求.z x ()z yx 由复合函数求导法则得,22 1212(sin )()sin2xxzfeyfxyfeyfxxxx212(sin2 )xzf eyfxx yy 111212122(cos2 )sincos(cos2 )2xxxxf eyfy eyf eyf eyfyx.2 1112221sincos2( sincos )4cosxxxfeyyfeyyxyfxyfey
