巧用数学美激发学生学习兴趣的研究

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1、巧用数学美激发学生学习兴趣的研究数学课程是中等职业学校学生必修的一门公共课程。本课程的任务是：使学生掌握必 要的数学基础知识，具备必需的相关技能和能力，为学习专业知识、掌握职业技能、继续 学习和终身发展奠定基础。从学生状况来看，来中职学校读书的学生，有的数学基础薄弱， 又没有良好的学习习惯。随着教学难度的逐步增加，不懂的内容越积越多，久而久之，对 数学的兴趣也越来越淡，形成了恶性循环。另一方面，有些学生产生数学无用论的思想。 这种思想导致许多学生不用心学数学或根本不学数学。作为中职学校的一名数学教师，我 一直在思考：爱美之心人皆有之，特别是处于青春期的中职学生，要是能对他们适时进行 美育，使学

2、生在学习数学的过程中不断获得美的享受，就会大大激发学习数学的兴趣，促 进中职生早日成才。数学有什么美呢？“到处都是美，对于我们的眼睛，不是缺乏美，而是缺少发现。 ”面 对 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个阿拉伯数字时，也许不会产生任何美感。但若联 想到，正是这几个简单数字不同的排列组合，展示小到微生物大到天体宇宙的时候，我们 胸中也许会充满一种与天地并立的浩然正气，这不正是数学中简单与伟大之美吗？直线的 刚劲平稳，曲线的对称柔和，波浪起伏的正弦图像，目不暇接的极坐标方程，蝴蝶定理， 黄金分割等等，无不给人一种数学美。数学美即蕴藏了数学所特有的抽象概念、公式符号、 命题模型、结构系

3、统、推理论证、思维方法的简单、和谐、严谨、奇异等形式的美。一、数学中的黄金分割美美妙的黄金分割。古希腊学者发现了“黄金”长方形，即长方形的长和宽之比为最佳， 这个比叫作黄金分割比。的倒数的近似值即为，这个数被称为黄金分割数。这个比例值于 1854 年由德国美学家蔡辛正式定为“黄金分割律”。这个美妙的比例，实质上是将一条单位 长的线段分成两段，使=，这就是众所周知的分线段比为中外比。设大线段长为 x，则小线段长为 1-x，于是有=，解得 x=，取其正值。中外比的作 图并不难，如图，只需取一个直角三角形，它的两条直角边分别为 1 与，则斜边为，再将 它减去的直角边，得 AD，然后在 AC 上取 A

4、E=AD，则点 E 分线段 AC 为中外比。将黄金数表示为连分数。由线段的黄金比=，有 x2=1-x，x=1，得 x=。对等式右边 分母中的 x 又以代替，可得 x=；依次类推，可得连分数：x=。这样一个简洁的连分数给人 以有序而无穷的印象，具有美感。黄金数与连分数之间竟有如此迷人的联系，怎不让人惊 叹！人体也有黄金分割点。意大利数学家菲波那契曾注意到数学界不屑一顾的“冷门” 人体黄金分割。他说，一般人人体肚脐上下的长度比值为或者与此相近，这是人体上 下结构的最优数字。此外，他发现，人体结构还有三个黄金分割点，上肢的分割点在肘关 节，肚脐以下部分的分割点在膝盖，肚脐以上的部分在咽喉。这一发现，

5、为评价体形提供 了一定依据。二、数学中优美而巧妙的等式巧妙而正确的等式。有一些运算，在恒等变换时，看似“奇怪”而“荒谬”，但结果却 是正确的。请看以下几个不同寻常的演算。可“约去”指数的等式。如果有学生在做数学演算时，作出以下的演算： =、=、=，粗心的老师可能说是错的。而学生说是对的。老师不相信，自己做了几遍， 发现学生做的这个等式是正确的。如果是“碰巧”，怎会几个等式都会这样呢？如果观察式 子的特点，可以作出如下猜想：= ，看看是否能证明呢？= = =。事实上，只需将 a、b 代 入不同的实数都可以得出以上类似的结果。而这个运算，好像是把等式左边分子、分母上 的指数约掉了一样。可“约去”对

6、数符号的等式。如果说=，=，你相信吗？事实上，等式是对的。这是因为，恒等式=是对的。证明如下：左式=，右式=-1=。当 m=1、2 时，便是上面的两个 等式。它们好像是将分子、分母中的对数符号约去了一样。两数积等于两数和的等式。我们说8=+8、11=+11，这不是很神奇吗？事实上， 等式=+是成立的。因为左式=，右式=，所以当等于 7、10 时，便是以上的两个等式了。可把带分数的整数部分提到根号外的等式。请看等式=5，=7，=10，这不是把带 分数的整数部分提到根号外了吗？等式是否成立呢？这要看下面等式是否成立：=a。因为 左边=a=右边，说明等式成立。因此，只需令 a=5、7、10，便可得到

7、前面的三个等式。 事实上，对上面的等式还可进一步推广。优美的算式与优美的答案。请看算式：=111111111111111111=12345678987654321。这个算式整齐、匀称、和谐、平衡， 给人以美的感受。这个答案显然具备分式的特点，使人感到惊奇。事实上，只需在上述算 式中改变一个数字，就会有类似结果：=1111111111111111=123456787654321.你如果 认真进行观察、归纳，是不难写出它们的一般形式的：=123n321.所有这些，都体现了等式巧妙结构本身所具有的对称、和谐和奇异的内在美。恒等 变换是一种平淡、枯燥的运算，只要认真钻研，你会感到趣味无穷，说不定你还会

8、发现一 些奇异的等式呢。三、数学中出人意料的结论给人以美在教学过程中，一些出人意料的结论也给人以美的享受。 学生学习集合时 都知道：集合是指由一些事物组成的整体，而这些事物中的每一个称为这个集合的一个元 素。比如小明的家里有五个人，像这种只含有限个元素的集合，叫做有限集。自然数有无 穷多个，像自然数集这种含有无穷多个元素的集合，叫做无限集。而要比较两个集合的大 小，也就是看这两个集合中的元素哪个多。我们知道，全体整数有无穷多个，全体正整数 也有无穷多个。那么，试问“全体整数和全体正整数都有无穷多个，它们是不是一样多呢？ ”或者我们又会想到，全体正整数是全体整数的一部分，难道一部分和全体一样多吗

9、？对有限个元素组成的集合比较大小，只需要看看两个集合间的元素是否有一一对应 关系。在比较两个由无穷个元素组成的集合大小时，要看这两个无限集的元素间能否建立 起某种“一一对应”关系，如果可以，这两个集合是相等的。请看下面的图示：0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 从这个图示我们看出，可以在全体整数集和全体正整数集之间建立“一一对应”关系， 也就知道它们之间的元素是一样多的，也就得出一个出人意料的结论：全体整数集和全体 正整数集是相等的。这时，一种轻松兴奋的感觉油然而生，让人感觉数学有无穷的美让人 来享受。学判断命题真假的时候，偶尔在课间听见两个学生在打

10、闹时说：“我什么都可以做 到。 ”于是，上课时我给学生出这样一个命题：“甲说他什么都可以做到。 ”让学生判断真假。 学生有的说是真命题，有的说是假命题，争论不休，课堂气氛很活跃。我适时引导他们思 考：甲能否制造出一个可以打败他的对手？学生陷入沉思。随后我引导学生进行分析。这 个命题及其否定均可用逻辑上等效的推理加以证明，而其推导又无法明确指出错误，这种 矛盾称为悖论，我们以后在大学会学到的。虽然学生似懂非懂的，但他们被神奇而美妙的 数学吸引了，个个脸上露着微笑。悖论是一个涉及数学、哲学、逻辑学等的非常广泛的论 题，在“荒诞”中蕴含着哲理，给人以启迪，给人以奇异的美感。四、数学在名言中的比喻所蕴

11、含的美数学有着自己独一无二的语言体系，它的文化魅力已经渗透到各个知识领域。比如， 不少名家学者喜欢用数学语言来喻事论理。成功的秘诀：大科学家爱因斯坦以 “A=X+Y+Z”的数学公式来揭示成功的秘诀。他说：“A 代表成功，X 代表艰苦的劳动，Y 代表正确的方法，Z 代表少说空话。 ”天才公式：大发明家爱迪生说：“天才=1%的灵感 +99%的汗水。 ”人生分数：大文豪托尔斯泰说：“一个人好比分数，他的实际才能好比分 子，而他对自己的估价好比分母，分母越大，则分数的值就越小。 ”大圆与小圆：古希腊 哲学家芝诺对学生说：“如果用小圆代表你们所掌握的知识，用大圆代表我所掌握的知识， 那么，大圆的面积是多一点，也就是说，我的知识比你们多一些。但两圆之外的空白，都 是我们的无知面，圆越大，其圆周接触的无知面就越多。 ”数学巧妙和谐的体系，严密而无懈可击的说服力，以及它在解决实际问题时所表现 出来的神奇力量，使得数学能够贯穿整个人类文化。在教学过程中，要引导学生用欣赏的 眼光看待数学，巧妙运用教材中的内在美，唤起学生的审美体验，用数学美来唤起学生的 求知欲望，激发他们的学习兴趣，从而促进中职生早日成才。