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1、第二部分 矩阵- 8 -线性代数考研辅导讲义 2第二部分 矩阵一一.矩阵矩阵矩阵的概念,阶矩阵,行矩阵(行向量),列矩阵(列向量),零矩阵,负矩阵,同型矩阵,矩阵的相等,单位矩nO阵二二.矩阵的基本运算及其性质矩阵的基本运算及其性质1.矩阵的加法与数乘设,则,.(),()ijm nijm nAaBb()ijijm nABab()ijm nkAka性质:(1) (2) ABBA()()ABCABC(3) (4) ()AAO AOA(5) (6) 1 AA()()()AAA (7) (8) ()AAA()ABAB(9) 或 (10) 0AOAO( 1) AA 2.矩阵的乘法与矩阵的幂设,则,其中(
2、),()ijm sijs nAaBb()ijm nCABc1,1,2,;1,2,sijikkj kca bim jnLL【注意注意】(1) 与可乘的条件是:左矩阵的列数等于右矩阵的行数;ABAB(2)积矩阵的行数等于左矩阵的行数,列数等于右矩阵的列数.CABAB性质:(1) (2) ()()AB CA BC()()()k ABkA BA kB(3) (),()AB CACBC C ABCACB(4) mm nm nnE AAEA【注意注意】(1) ,从而ABBA22233223()2,()33ABAABBABAA BABB223322()(),()()ABAB ABABAB AABBm若,则称
3、与可交换,此时,以上代数公式都成立.ABBAAB(2) 推不出或;但若且可逆,则.ABOAOBOABOABO第二部分 矩阵- 9 -(3) 推不出,当若且可逆,则.ABACBCABACABC设为阶矩阵,则.规定:时.An1,kkkAA AA AA kNL14 2 4 3 个0,0AE A性质:(1) (2) klk lAAA()klklAA设为阶矩阵,则An10( )m mxa xa xaL10( )m mAa Aa Aa EL1122211()kkkkkkk kkkAEACACACAEL3.矩阵的转置设,则.()ijm nAa()T jin mAa性质:(1) (2) ()TTAA()TTT
4、ABAB(3) (4) (5) ()TTkAkA()TTTABB A()()TkkTAA4.阶矩阵的行列式nA性质:(1) ;n nkAkA(2)设为阶矩阵,则,虽然;,A BnABABBAABBA(3) .TAA【注意注意】(1) (2) (3) ABABkAk AAA当时,称为非奇异矩阵;否则,称为奇异矩阵(即).0A AA0A 三三.逆矩阵与伴随矩阵逆矩阵与伴随矩阵设为阶矩阵,若,则称可逆,是的逆矩阵,记为.AnABBAEABA1BA阶矩阵的伴随矩阵n()ijn nAa1121112222*12()()nnT ijjinnnnAAA AAAAAAAAA L L MMM L其中是中元素的代
5、数余子式.( 1)ij ijijAM Aija第二部分 矩阵- 10 -性质:(1) (2) 11()AA111()kAAk(3) (4) 111()ABB A11()()TTAA(5) (6) 11AA1db abca abcd cd (7) 是惟一的;1A(8) 可逆,且;A0A1*1AAA(9) 可逆为非奇异矩阵;AA(10) 可逆阶矩阵,使得(或),此时.A nBABEBAE1AB伴随矩阵的性质:(1) ;显然可逆可逆;*AAA AA E*AA(2) ;*1*()n nkAkA(3)若,则;0A *1*11 *1,()()AA AAAAA(4) ;1*nAA(5) 若,则;0A 2*
6、*()nAAA(6) ;*()ABB A(7) ;*()()TTAA(8) .*,()()1,()10,()1nnnnR AnR AR AnR An 当当当四四.特殊矩阵特殊矩阵1.对角矩阵: .对角矩阵的和、差、积、逆仍是对角矩阵,即12(,)ndiag L设,则1212(,),( ,)nnAdiag a aaBdiag b bbLL(1) ;1122(,)nnABdiag ab ababL第二部分 矩阵- 11 -(2) ;1 122(,)nnABdiag ab a ba bL(3) ;12(,),kkkk nAdiag aaakNL(4) 全不为零.1111 1212(,),nnAdia
7、g aaaa aaLL2.数量矩阵(纯量矩阵): .在矩阵的运算中与数的运算完全相同.( , , )kEdiag k kkL3.三角矩阵:包括上、下三角矩阵.上(下)三角矩阵的和、差、积仍是上(下)三角矩阵.4.对称矩阵: .有TAA, ,1,2, .T ijjiAAaai jnL若为实对称矩阵,则都是对称矩阵.但,A B1*,TAB kA AAA为对称矩阵.ABABBA5.反对称矩阵: ,有从而若为反对称矩阵,TAA , ,1,2, .T ijjiAAaai jn LA则任何一个矩阵可以表示为对称矩阵与反对称矩阵之和,即0,1,2, .iiainL.22TTAAAAA6.正交矩阵: .1TT
8、TAAA AEAA(1) ;1A (2)若为阶正交矩阵,则也是正交矩阵,但不是正交矩阵;ABn1,TAAAB(1)kA k (3) 为正交矩阵的行(或列)向量组为两两正交且单位化的向量组.AA五五.矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的初等变换与初等矩阵1.矩阵的初等行(列)变换行阶梯形矩阵、行最简形矩阵.任一矩阵总可以经过有限次初等行变换变成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.第二部分 矩阵- 12 -典型例题一一.行矩阵（向量）与列矩阵（向量）的乘积行矩阵（向量）与列矩阵（向量）的乘积例例 1 设,求与.1212,T nnAaaaBbbbLLABBA解解 .1 112121222112,nn n ii i
9、nnnnbababa b ab ab aABabBAb ab ab a L L LLLL L二二.求求的方法的方法kA1.用用的归纳定义计算的归纳定义计算:.kA1kkAA A例例 2 设,则 .101 020 101A 12nnAA解解 方法一方法一:.23222112 ,22,22nnnnAA AA AAAAAAAOL方法二方法二:,则.22AA1222(2 )nnnAAAAAO2.由由计算计算0()k kiik i k iABC A B要求:A 与 B 可交换(即),且容易计算而.ABBAiA()jBO jk=例例 3 设,求.101 010 001A nA解解 方法一方法一: .231
10、0210310 010 ,010 ,010 001001001nn AAA L方法二方法二:注意 A 是初等矩阵,即将 E 的第三行加到第一行,所以.10 010 001nnn AA EAAAE L第二部分 矩阵- 13 -方法三方法三: ,则001 000000AEEB 011222()nnnnn nnnAEBC EC EBC EBL又,所以.2BO10 010 001nn AEnB 3.或或 A 能分解成此形状能分解成此形状,其中其中为为维列向量维列向量TA, n()()()()()kTkTTTTAL.11()()()()()()TTTTTkTTkA L例例 4 设,求.1 1121212
11、2212nnnnnnbababa b ab ab aAb ab ab a L L LLLL LkA解解 ,则.12 12T nnb bAaaab LM11()n kk ii iAabA4.设设或或或或 A 能对角化能对角化,则则.APPB1P APB11()kkAPBPPB P例例 5 设,其中,求 A 及.APPB100 (1,0, 1),210 211BdiagP 5A解解 ,11100100 200, (210 ) 611411APBPP .5A511PB PPBPA例例 6 设求.100 200, 611A kA第二部分 矩阵- 14 -解解 方法一方法一:所以.23100 200 ,
12、211AAA 2122,kkAA AA方法二方法二: ,则 A 的特征值,则 A 能对角化,且(1)(1)AE1230,1,1 ,1(0,1, 1)P APdiag 其中.由,则,(其中010 120 121P 1AP P1101( 1)kkkAPPPP ).1210 100 411P 5.若若,则则.12sAO AAOA O12kk kk sAO AAOA O例例 7 设,求.100 0100 0000 0010A kA解解 ,其中,则.12AOAOA12100,0110AA12k k kAOAOA,则.12100,(2)0100kkkAAk100010000000000kkA 三三.求求及解矩阵方程及解矩阵方程1A1. 求求1A(1) ; (2) ;* 1AAA1(|)(|)r A EE A(3)如果可逆,且;( )0() ( )f AAkE g AEAkE1()( )AkEg A(4)分块求逆:第二部分 矩阵- 15 -若,则;12sAO AAOA O1 1 1 121 sAO AAOA O若,则.12sOA AAAO N11 111 1ssOAAAAO
