离散型随机变量的分布列(1)

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1、1.1 离散型随机变量的分布列,1.1 离散型随机变量的分布列,1.1 离散型随机变量的分布列,1.1 离散型随机变量的分布列,1.1 离散型随机变量的分布列,1.1 离散型随机变量的分布列,1.1 离散型随机变量的分布列,例：（1）某人射击一次，可能出现哪些结果？,其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出现的结果(次品数)可以由0，1，2，3，4 这5个数表示,可能出现命中0环，命中1环， 命中10环等结果， 即可能出现的结果（环数）可以由 0，1，10这11个数表示；,（2）某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中 任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是多少件？,1.

2、离散型随机变量,1.如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的 变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母 、 等表示,2.对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出， 这样的随机变量叫做离散型随机变量,按一定次序一一列出,例如：上面射击的命中环数 是一个随机变量：,表示命中环，,10表示命中10环,表示命中环，,例如：上面产品检验所取4件产品中含有的次品数 也是一个 随机变量:,=0,表示含有0个次品;,=4,表示含有4个次品;,（1）从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，被取出的卡片的号数；,分析：可取1，2，10. 1，表示取出第1号卡片； 2，表示取出第2号卡；

3、10，表示取出第10号卡片；,练 习 一,解：可取1，2，10. i，表示取出第i号卡片；,1。写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果；,（2）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；,解： 可取 0，1，2 , 3. ，表示取出个白球； ，表示取出个白球； ，表示取出个白球； ，表示取出个白球；,练 习 一,（3）抛掷两个骰子，所得点数之和是；,练 习 一,解:可取2，3，4， ，12。,2，表示两个骰子点数之和是2； 3，表示两个骰子点数之和是3； 4，表示两个骰子点数之和是4； 12，表示两个骰子点数之和是12；,若以(i,j

4、)表示抛掷甲、乙骰子甲得 i 点且骰子乙得 j 点，则,（4）连续不断地射击，首次命中目标需要的射击次数,练 习 一,解： 可取1，2，n，,，表示第 i 次首次命中目标。,思考：某林场树木最高达30米，,则此林场树木的高度是一个随机变量。,它可以取（0，30内的一切值， 不可以按一定次序一一列出， 这样的随机变量叫连续型随机变量,注1. 随机变量分为离散型随机变量 和连续型随机变量。,在姚明的一次罚篮中，可能出现罚中、罚不中这两种情况。,例如：用变量来表示这个随机试验的结果： =0，表示没罚中； =1，表示罚中。,注2.某些随机试验的结果不具备数量性质， 但仍可以用数量来表示它。,又如：任掷

5、一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上。,0，表示正面向上；,1，表示反面向上,用变量来表示这个随机试验的结果：,抛掷一枚骰子，设得到的点数为，则可能取的值有：,此表从概率的角度指出了随机变量在随机试验中取值的分布情况，称为随机变量的概率分布.,2.离散型随机变量的分布列,1，2，3，4，5，6,取每一个（1，2，）的概率 P（），则称表：,为随机变量的概率分布，简称为的分布列.,离散型随机变量的分布列,一般地，设离散型随机变量可能取的值为： 1，2，,由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： （1）pi0，i=1,2,3,； （2）p1+p2+=1,例 题,某一射手射击

6、所得环数的分布列如下：,求此射手“射击一次命中环数7”的概率。,解：根据射手射击所得环数的分布列，有,P（7） P（8） P（9） P（10）,0.09 0.28 0.29 0.22,所求得概率为P（7）,0.09+0.28+0.29+0.22,某运动员射击一次所得环数X的分布列如下： 现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数 作为他的成绩，记为. ()求该运动员两次都命中7环的概率； ()求分布列.,例 题 ,袋中共有50个大小相同的球，其中记上0号的5个，记上n号的有n个（n=1，2，3，9）。现从袋中任取一球，求所取球的号数的分布列以及取出球的号数是偶数的概率,解：设所取球的号数为

7、，则 是随机变量， 其分布列为,取出球的号数是偶数的概率为,例 题3,如果在一次试验中，某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是多少？在这个试验中，随机变量是什么？,其中k=0,1,n.p=1-q.,于是得到随机变量的概率分布如下：,(2)二项分布,二项分布,（3）几何分布,于是得到随机变量的概率分布如下：,（k=0,1,2,q=1-p.）,称服从几何分布，并记g(k,p)=pqk-1,检验p1+p2+=1,在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作试验的次数也是一个取值为正整数的离散型随机变量。 “ =k”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生。如果把第k次

8、实验时事件A发生记为Ak，事件A不发生记为 ， p（ Ak ）=p， ，那么,某人每次射击击中目标的概率是0.2，射击中每 次射击的结果是相互独立的，求他在10次射击中击中 目标的次数不超过5次的概率（精确到0.01）.,P(5)=P(=0)+P(=1)+P(=5),答：他在10次射击中击中目标的次数不超过5次的 概率为0.99,例 题,设他首次投篮投中时投篮次数为 , 则,他在5次内投中的概率是,答：他在5次内投中的概率是0.41.,服从几何分布,其中p=0.1， 的分布 列为,0.1,0.09,0.081,解：,某人每次投篮投中的概率为0.1，各次投篮的结果是相互独立的，求他首次投篮投中时

9、投篮次数的分布列，以及他在5次内投中的概率（精确到 0.01）,例 题,一个口袋里有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取出3只,以表示取出的3个球中的最小号码,试写出的分布列.,解: 随机变量的可取值为 1,2,3.,当=1时,即取出的三只球中的最小号码为1,则其它两只球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任取两只,故有P(=1)= =3/5;,同理可得P(=2)=3/10;P(=3)=1/10.,因此,的分布列如下表所示,练习二：,1名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有5个交通岗,假设他在交通岗遇到红灯的事件是独立的,并且概率都是1/3.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数的

10、分布列.(2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.,解:(1)B(5,1/3),的分布列为 P(=k)= ,k=0,1,2,3,4,5.,练习三：,(2)所求的概率:P(1)=1-P(=0)=1-32/243 =211/243.,抛掷两个骰子，取其中一个的点数为点P的横坐标， 另一个的点数为P的纵坐标，求连续抛掷这两个骰子 三次，点P在圆 内次数 的概率分布,解：,练习四：,(1,1),(1,2),(1,3), (2,1),(2,2),(2,3), (3,1),(3,2),小结：本节学习的主要内容及学习目标要求：,1、理解离散型随机变量的分布列的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列；

11、 2、掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用它来解决一些简单问题； 3、理解二项分布和几何分布的概念。,求离散型随机变量的概率分布的方法步骤：,1、找出随机变量的所有可能的取值,2、求出各取值的概率,3、列成表格。,如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量,1. 随机变量,课堂小结,2.离散型随机变量,对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量,随机变量的线性组合=a+b(其中a、b是常数) 也是随机变量,3.离散型随机变量的分布列,1.1 离散型随机变量的分布列,作 业,.从编号为1,2,3,，20的20个大小完全

12、相同的球中 任取一个球，求所取球的号数的分布列。 2.某射手射击击中目标的概率为0.9，求从开始射击到 击中目标所需要的射击次数 的概率分布。 3.连续抛掷两个骰子，求所得的两个骰子的点数之和的 概率分布。,4.已知随机变量 所有可能取的值是1,2,3,，n,且取 这些值的概率依次是k,2k,，nk，求常数k的值。 5.某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地 连续取出5件，求其中次品数 的分布列。,练习：（2000年高考题）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数的概率分布,解：依题意，随机变量B(2，5%)所以，,因此，次品数的概率分布是

13、,问题2,中有3个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯,上学途中恰好遇到2次红灯的概率及遇到红灯,某学生骑自行车上学，从他家到学校途,的事件是独立的，并且概率都是 0.2 ，求他,解：,P =,=0.096,P,次数的分布列。,4、在一袋中装有一只红球和九只白球。每次从袋中任取一球取后放回，直到取得红球为止，求取球次数的分布列。,分析：袋中虽然只有10个球，由于每次任取一球，取后又放回，因此应注意以下几点： (1)一次取球两个结果：取红球A或取白球，且P(A)=0.1； (2)取球次数可能取1，2，； (3)由于取后放回。因此，各次取球相互独立。,从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地

14、抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相同，在下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取的次数 的分布列,解：,表示只取一次就取到合格品,表示第一次取到次品，第二次取到合格品,表示第一、二次都取到次品，第三次取到合格品,随机变量,的分布列为：,的所有取值为：1、2、3、4,每次取出的产品都不放回此批产品中；,返回,某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9如果命中了就停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数 的分布 如果命中2次就停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数 的分布列,解：,的所有取值为：1、2、3、4、5,表示第一次就射中，它的概率为：,表示第一次没射中，第二

15、次射中，,同理 ，,表示前四次都没射中，,返回,某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9如果命中了就停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数 的分布列如果命中2次就停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数 的分布列,解：,的所有取值为：2、3、4、5,表示前二次都射中，它的概率为：,表示前二次恰有一次射中，第三次射中，,表示前四次中恰有一次射中，或前四次全部没射中 ,同理,例3：将一枚骰子掷2次,求下列随机变量的概率分布. (1)两次掷出的最大点数;(2)两次掷出的最小点数; (3)第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差.,解:(1)=k包含两种情况,两次均为k点,或一个k点,另一个小于k点,故P(=k)= ,k=1,2,3,4,5,6.,(3)的取值范围是-5,-4,，4，5.=-5,即第一次是1点，第二次是6点；，从而可得的分布列是：,(2)=k包含两种情况,两次均为k点,或一个k点,另一个大于k点,故P(=k)= ,k=1,2,3,4,5,6.,