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1、 BornBorn toto winwin19941994 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1) _. 011limcot ()sinxxxx(2) 曲面在点(1,2,0)处的切平面方程为_.23zzexy(3) 设,则在点处的值为_.sinxxuey2ux y 1(2,)(4) 设区域为,则_.D222xyR2222()Dxydxdyab(5) 已知,设,其中是的转置,则_.1 1(1,2,3),(1, )2 3TA
2、TnA 二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1) 设,42 2 2sincos1xMxdxx3422(sincos)Nxx dx23422(sincos)Pxxx dx则 ( )(A) (B) NPMMPN (C) (D) NMPPMN(2) 二元函数在点处两个偏导数、存在是( , )f x y00(,)xy00(,)xfxy00(,)yfxy在该点连续的 ( , )f x y( )(A) 充分条件但非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (
3、3) 设常数,且级数收敛,则级数 ( )021n na21|( 1)nnnan (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与有关(4) ,其中,则必有 ( )20tan(1 cos )lim2 ln(1 2 )(1)xxaxbxcxde 220ac(A) (B) 4bd4bd (C) (D) 4ac4ac (5) 已知向量组线性无关,则向量组 ( )1234、BornBorn toto winwin(A) 、线性无关 12233441(B) 、线性无关 12233441(C) 、线性无关 12233441(D) 、线性无关 12233441三、三、( (本题共本题共 3
4、3 小题小题, , 每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1) 设 求、在的值.2221cos( ),1cos( )cos,2txtyttuduu dy dx22d y dx2t(2) 将函数展开成的幂级数.111( )lnarctan412xf xxxxx(3) 求.sin22sindx xx四、四、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )计算曲面积分,其中是由曲面及两平面2222 Sxdydzz dxdy xyz S222xyR,zR所围成立体表面的外侧.(0)zR R 五、五、( (本题满分本题满分 9 9 分分) )设具有二阶连续导数,且( )f x(0)
5、0,(0)1ff 为一全微分方程,求及此全微分方程的2()( ) ( )0xy xyf x y dxfxx y dy( )f x通解.六、六、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )设在点的某一领域内具有二阶连续导数,且,证明级数( )f x0x 0( )lim0 xf x x绝对收敛.11( )nfn七、七、( (本题满分本题满分 6 6 分分) ) 已知点与的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段绕轴旋转一周所围成ABABz的旋转曲面为.求由及两平面所围成的立体体积.SS0,1zzBornBorn toto winwin八、八、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )设四元
6、线性齐次方程组为 又已知某线性齐次方程组的通解为( ) 12240,0,xxxx ( ).12(0,1,10)( 1,2,2,1)kk(1) 求线性方程组的基础解系；( ) (2) 问线性方程组和是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解.若没( ) ( )有,则说明理由.九、九、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )设为阶非零方阵,是的伴随矩阵,是的转置矩阵,当时,证明An*AATAA*TAA.| 0A 十、填空题十、填空题( (本题共本题共 2 2 小题小题, , 每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 6 6 分分.).)(1) 已知、两个事件满足条件,且,则_.AB()()P
7、 ABP AB( )P Ap( )P B (2) 设相互独立的两个随机变量、具有同一分布律,且的分布律为XYXX 01P1 21 2则随机变量的分布律为_.max,ZX Y十一、十一、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )已知随机变量服从二维正态分布,且和分别服从正态分布和(, )X YXY2(1,3 )N,与的相关系数,设,2(0,4 )NXY1 2XY 32XYZ (1) 求的数学期望和方差；Z( )E Z( )D Z(2) 求与的相关系数；XZXZ(3) 问与是否相互独立？为什么？XZBornBorn toto winwin19941994 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
8、年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1)【答案】1 6【解析】原式变形后为“”型的极限未定式,又分子分母在点处导数都存在,所以连0 00续应用两次洛必达法则,有原式20cos (sin )limsinxx xx xx300sinlimcoslim xxxxxx. (由重要极限)2001 cossin1limlim366xxxx xx 0sinlim1 xx x(2)【答案】240xy【解析】所求平面的法向量为平行于所给曲面在点处法线方向的方向向量 ,n(1,
9、2,0)l取,又平面过已知点.nl(1,2,0)M已知平面的法向量和过已知点可唯一确定这个平面：( , ,)A B C000(,)xyz.000()()()0A xxB yyC zz因点在曲面上.曲面方程.(1,2,0)( , , )0F x y z ( , , )23zF x y zzexy曲面在该点的法向量, (1,2,0) (1,2,0),2 ,2 ,14,2,02 2,1,0zFFFnyxexyz 故切平面方程为 , 即 .2(1)(2)0xy240xy(3)【答案】22e【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以本题可以先求,再求.u y u xy ,2co
10、sxuxxeyyy BornBorn toto winwin22 2 1 112(2,)(2,)2cosxyxxuuuxexx yy xxyx .2 2 22(1)cos)0x xexxe (可边代值边计算,这样可以简化运算量.)【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数都在点具( , ),( , )ux y vx y( , )x y有对及对的偏导数,函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数xy( , )zf u v( , )u v在点的两个偏导数存在,且有( ( , ),( , )zfx yx y( , )x y；12zzuzvuvffxuxv xxx .12zzuzvuvffyuyv yy
11、y (4)【答案】4 2211()4Rab【解析】很显然,根据此题的特征用极坐标变换来计算：原式.22222223 22220000cossincossinRRdrrdrdr drabab注意： ,222200cossindd 则 原式.44 222211111 44RRabab(5)【答案】111123 23213 3312n 【解析】由矩阵乘法有结合律,注意 是一个数,11 11,232 33T BornBorn toto winwin而 ,(是一个三阶矩阵)1112311 1221,212 3333312TA 于是, ()()()()nTTTTTTTTA .1111123 233213
12、3312nTn 二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).) (1)【答案】(D)【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为 0,故,且0M 由定积分的性质,如果在区间上,被积函数,则., a b( )0f x ( )0 ()baf x dxab所以 , .42 02cos0Nxdx 42 02cos0PxdxN 因而 ,应选(D).PMN(2)【答案】(D)【解析】在点连续不能保证在点存在偏导数( , )f x y00(,)xy( , )f x y00(,)xy00(,),xfxy.反之,在点存在这两个偏导数也不能保00(,)yfxy( , )f x y00(,)xy00(,),xfxy00(,)yfxy证在点连续,因此应选(D).( , )f x y00(,)xy二元函数在点
