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1、概率与统计解答题概率与统计解答题1、A、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由 4 只小白鼠组成，其中只小白鼠组成，其中 2 只服用只服用 A，另，另 2 只服用只服用 B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服，然后观察疗效。若在一个试验组中，服 用用 A 有效的小白鼠的只数比服用有效的小白鼠的只数比服用 B 有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A 有效的概率为有效的概率为,服用服用 B 有效的概率为有效的概率为.32 21（）求一个试验组为甲
2、类组的概率；）求一个试验组为甲类组的概率；（）观察）观察 3 3 个试验组，用个试验组，用表示这表示这 3 3 个试验组中甲类组的个数，求个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期的分布列和数学期望。望。（）解：设 A 表示事件“一个试验组中，服用 A 有效的小白鼠有 i 只” ，i=0，1，2；iB 表示事件“一个试验组中，服用 B 有效的小白鼠有 i 只” ，i=0，1，2 i依题意有 P(A )=2 = , P(A )= = , P(B )= = , P(B )=2 = ,11 32 34 922 32 34 901 21 21 411 21 21 2所求的概率为 p=P(B A )P(
3、B A )P(B A )= = 6 分0102121 44 91 44 91 24 94 9（） 的可能取值为 0，1，2，3，且 B(3, ), 4 9 P(=0)=( )3=, P(=1)=C ( )2=, P(=2)=C ( )2 =, 5 9125 729134 95 9100 243234 95 980 243P(=3)=( )3= 的分布列为4 964 7290123p125 729100 24380 24364 729数学期望 E=3 = 12 分4 94 32、设、设b和和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程表示方程
4、20xbxc实根的个数（重根按一个计）实根的个数（重根按一个计） （）求方程）求方程20xbxc有实根的概率；有实根的概率；（）求）求的分布列和数学期望；的分布列和数学期望；（）求在先后两次出现的点数中有）求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下，方程的条件下，方程20xbxc有实根的概率有实根的概率.解:（I）基本事件总数为6 636，若使方程有实根，则240bc ，即2bc。当1c 时，2,3,4,5,6b ； 当2c 时，3,4,5,6b ；当3c 时，4,5,6b ； 当4c 时，4,5,6b ； 当5c 时，5,6b ； 当6c 时，5,6b , 目标事件个数为54332219, 因
5、此方程20xbxc 有实根的概率为19.36(II)由题意知，0,1,2，则 17(0)36P，21(1),3618P17(2)36P，故的分布列为012P17 361 1817 36的数学期望171170121.361836E (III)记“先后两次出现的点数中有 5”为事件 M， “方程20axbxc 有实根” 为事件N，则11()36P M ，7()36P MN ， ()7()()11P MNP N MP M.3、如图是在竖直平面内的一个、如图是在竖直平面内的一个“通道游戏通道游戏”图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交 点处相遇，若竖直线段有第
6、一条的为第一层，有二条的为第二层，点处相遇，若竖直线段有第一条的为第一层，有二条的为第二层，依次类，依次类 推现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动记小弹子落入第推现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动记小弹子落入第n层第层第m个竖直通个竖直通道（从左至右）的概率为道（从左至右）的概率为( ,)P n m （已知在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入（已知在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道）每个通道）（）求）求(2,1), (3,2)PP的值，并猜想的值，并猜想( ,)P n m的表达式的表达式 （不必证明）（不必证明）（）设小弹子落入第）设小弹子落入第 6 层第层第m个竖直通道得
7、到分数为个竖直通道得到分数为，其中，其中4,13 3,46mm mm，试求，试求的分布列及数学期望的分布列及数学期望第 1 层 第 2 层 第 3 层 第 4 层 入口 解：（1）01 0 1111(2,1)222PC ，2 分11 1 2111(3,2)222PC 4 分1 1 1( ,)2m n nCP n m 6 分（2）01 55 5515(6,1)(6,6), (6,2)(6,5),232232CCPPPP2 5 510(6,3)(6,4)232CPP321P2 3210 3220 32 9 分 23 16E12 分4、2009 年年 10 月月 1 日，为庆祝中华人们共和国成立日，
8、为庆祝中华人们共和国成立 60 周年，来自北京大学和清华大学的周年，来自北京大学和清华大学的 共计共计 6 名大学生志愿服务者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、清扫卫生、维名大学生志愿服务者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、清扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名北京大学志愿者的概率是持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名北京大学志愿者的概率是3 5。（1）求）求 6 名志愿者中来自北京大学、清华大学的各几人；名志愿者中来自北京大学、清华大学的各几人；（2）求清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学人各一人的概率；）求清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学人各一人的
9、概率；（3）设随机变量）设随机变量 为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求 分布列及期分布列及期 望。望。 解：（1）记“至少一名北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件 A，则 A 的对立事 件为“没有北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”，设有北京大学志愿者 x 个，1x6， 那么 P（A）=2 6 2 6315xC C ，解得 x=2，即来自北京大学的志愿者有 2 人，来自清华大学志愿者 4 人； -3 分 （2）记清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各有一人为事件 E，那么 P（E）=11 24 2 6C C C=8 15，所以
10、清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各一人的概率是8 15；-6 分（3） 的所有可能值为 0，1，2，P（=0）=2 4 2 6C C=2 5，P（=1）=11 24 2 6C C C8 15， P（=2）=2 2 2 6C C=1 15，-8 分所以 的分布列为-11 分2812012515153E -12 分命题意图：本题考查了排列、组合、概率、数学期望等知识，考查了含有“至多、至 少、恰好”等有关字眼问题中概率的求法以及同学们利用所学知识综合解决问题的能 力。 5、小白鼠被注射某种药物后，只会表现为以下小白鼠被注射某种药物后，只会表现为以下三种三种症状中的一种：兴奋、无变化（药症状
11、中的一种：兴奋、无变化（药物没有发生作用）物没有发生作用） 、迟钝若出现三种症状的概率依次为、迟钝若出现三种症状的概率依次为现对三只小白鼠注射这现对三只小白鼠注射这1 1 1,2 3 6、种药物种药物 （I I）求这）求这三只小白鼠表现症状互不相同的概率；三只小白鼠表现症状互不相同的概率；（IIII）用）用表示三只小白鼠共表现症状的种数，求表示三只小白鼠共表现症状的种数，求的颁布列及数学期望的颁布列及数学期望解：（）用表示第一只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟(12,3)iA i ，钝，用表示第二只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝，(12,3)iB i ，用表示第三只
12、小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝.(12,3)iC i ，三只小白鼠反应互不相同的概率为3 分3 3123()PA P AB C5 分111162366（）可能的取值为321 ，.,3331112223331111(1)()2366PP ABCA B CA B C，8 分61)3(P或32 61 611)3() 1(1)2(PPP.10 分2 311211322122333133222 2 32222(2)()1111(2326111111112)363262633PCP ABCABCA B CA B CA B CA B CC所以，的分布列是123P61 32 61所以，12 分
13、2213322611E6、某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽、某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽 取该流水线上的取该流水线上的 4040 件产品作为样本称出它们的重量（单位：件产品作为样本称出它们的重量（单位： 克）克） ，重量的分组区间为，重量的分组区间为，500,495，. . . . . . ，495,490. .由此得到样本的频率分布直方图，如图所示由此得到样本的频率分布直方图，如图所示515,510 （）根据频率分布直方图，求重量超过）根据频率分布直方图，求重量超过 505505 克的产品数量；克的产品数量；（）在上述抽取的在上述抽取的 4040
14、件产品中任取件产品中任取 2 2 件，设件，设为重量超过为重量超过505505 克的产品数量，求克的产品数量，求的分布列；的分布列； （）从流水线上任取）从流水线上任取 5 5 件产品，估计其中恰有件产品，估计其中恰有 2 2 件产品的重量超过件产品的重量超过 505505 克的概率克的概率. . 解：（）重量超过 505 克的产品数量是件 -2 分12)501. 0505. 0(40（）的所有可能取值为 0,1,2 （只有当下述没做或都做错时，此步写对给 1 分） , 2 28 2 4063(0)130CPC11 1228 2 4056(1)130C CPC2 12 2 4011(2)130CPC（以上（）中的过程可省略，此过程都对但没列下表的扣 1 分） 的分布列为-9 分（每个 2 分，表 1 分）（）由（）的统计数据知，抽取的 40 件产品中有 12 件产品的重量超过 505 克， 其频率为，可见从流水线上任取一件产品，其重量
