高考志愿填报数学模型

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1、1高考志愿填报方法摘 要本文是研究高考填报志愿时如何选择理想的大学，为考生提供参考。对问题一，综合考虑本科生培养和研究生培养，自然科学研究和社会科学研究作为反映大学综合实力的指标，利用层次分析法确定权重，得到每一年一本大学的综合实力排名。由于每一年的大学排名具有波动性，引入带有权重的Borda 函数法，得到具有稳定特征的一本大学排名；引入进步系数，得到具有趋势特征一本大学排名。对问题二，以大学排名、专业实力、高考成绩和地理位置作为影响考生高考志愿填报的主要因素，利用模糊层次分析法，结合考生自身情况得到各因素的权重，初选目标学校，并建立高校录取分数预测模型，计算出考生被目标高校录取的概率，综合得

2、到考生理想学校排名，为考生提供最理想的高考志愿填报方法。对问题三，考虑到小王有意报考法学专业，利用模糊 AHP 方法，得到四个因素的权重。根据高校法学专业往年在湖北省的录取分数，预测被录取的概率。从 100%录取的学校中挑出综合实力和专业实力都较好的学校，根据待选学校的各项指标值，得到最理想学校排名。并利用灰色关联法检验第一志愿是否为最满意学校。由此给出建议：若小王是理科生，建议报考吉林大学-中国政法大学-华中科技大学-中南财经政法大学-湖南大学；若小王是文科生，建议报考武汉大学-中国人民大学-南京大学-中山大学-吉林大学。关键词：Borda 函数 进步系数 模糊层次分析法 录取概率 灰色关联

3、法 2一、问题重述高考之后，很多学生开始考虑填报志愿了，而填报志愿的一个重要依据就是大学排名。根据国际研究显示，优秀学生认为大学排名前茅，有益于协助他们获得更好的工作机会、更优厚的薪资结构和社会地位。各国排名居前的名牌大学和具有特色的新兴大学常获得政府巨额的教育补助和优秀学生的青睐。定位不明确并排名居末的大学，其学生来源和优秀学生比例则可能逐年下降。大学排名是根据各项科学研究和教学等标准，以英文发表研究报告和学术论文，针对相关大学在数据、报告、成就、声望等方面进行数量化评鉴，再通过加权后形成的排序。世界很多教育机构都有针对国内外大学、商学院或 MBA的排名，由此产生了一系列的社会和商业影响。其

4、中，国内大学排名中，影响力较大的是武书连版中国大学排行榜，校友会版中国大学排行榜和网大版中国大学生源排行榜。当前几大主流世界大学排名分别为上海交通大学世界大学学术排名（ARWU） 、QS 世界大学排名、英国泰晤士高等教育杂志 THE 世界大学排名、荷兰莱顿大学世界大学排名。排名对大学科研教学水平提升、形象推广与其在与国际合作对象的行销上，有着深远的影响。1、 请综合教学、科研等标准建立模型，给出我国一本院校的大学排名，并与现有排行榜做比较。2、 学生填报高考志愿，除了要考虑大学排名之外，还要参考专业、高考成绩、地理位置等因素。请建立模型帮助学生填报志愿。3、 假设湖北考生小王 2015 年高考

5、 600 分，有意报考法律专业，请利用你的模型给他一些建议。二、问题分析高考志愿填报的合理性对于考生来说相当重要。当考生在填报志愿的时候，一般综合考虑学校、专业、成绩等多种因素，权衡各个因素的重要程度，由此来选择自己满意的大学。3对问题一，由于大学的主要任务是教学和科研，所以这两方面因素能够体现出大学的综合实力。大学的教学主要由本科生培养和研究生培养组成，科研主要由自然科学研究和社会科学研究组成。但是，对于大学来说，教学和科研占据的比重是不同的，所以需要给出合理的权重设置。根据各个大学的教学和科研数据，得到各个大学的总得分，对大学的综合实力进行排名。但是，这种方法得到的只是每一年新的排名。由于

6、大学的实力处于波动状态，若要得到体现大学实力的稳定排名值，可对综合多年的排名数据；若要得到体现具有趋势的排名，可加入排名变化系数。对问题二，学生填报高考志愿时，一般考虑到大学排名、专业（包括兴趣） 、高考成绩和地理位置。对于这四个因素，需要知道它们之间的权重大小，从而根据不同考生的不同情况，综合所有因素，得到大学的综合理想排名值。对于大学排名和专业，可根据网上的数据得到排名。对于地理位置，可根据所处地区的发展情况和有意愿大学所在位置的发展情况，来给予不同的值。对于高考成绩，考生需要知道被录取的概率大小。为此，需要预测出今年的录取分数，并计算录取概率，为考生提供志愿填报建议。对问题三，考生小王处

7、于湖北省，2015 年高考 600 分，有意报考法学专业，因此，相对于其它因素，他更注重于专业。根据问题二，得到四个因素指标的权重大小。由于他想被法学专业录取，因此录取概率基本为 100%，从而大学的录取概率同样为 100%。因此，可以由被录取概率缩小有意愿的学校。从挑选出的学校中，根据大学综合排名、法学排名、地理位置和分数线差，综合得到挑选学校的综合理想值。由于第一志愿对于小王来说很重要，因此需要验证第一志愿是否是他的最满意学校。三、模型假设1、 假设近 4 年来各高校的相对录取分数没有受到录取比例、招生政策的影响；2、 假设近 4 年来各高校对考生的吸引力没有发生较大变化；3、 假设通过网

8、络获取的高校信息真实可靠；4、 假设考生不考虑提前批次，且考生所在省市高考志愿采取知分填写及平行志愿政策。4四、符号说明符号说明1kB第大学的人才培养得分k2kB第大学科学研究得分k1人才培养权重系数2科学研究权重系数kA第大学总得分k()jkB S第年第大学排名前面的个数jkkS( )ia k第大学的第 年的排名ki( )ja k第大学第年的排名kj( )ijak第 年到第年的变化率ijs考生实际分数k高考今年省控一本线1id第 年的最低录取差额分数i2id第 年的平均录取差额分数iik所在省的最低一本线KiT第 大学的因素向量值i( )ijk第 和大学的关联度系数ij（注：其它未提及的符号

9、在文中说明）五、模型建立与求解51 问题一的求解5.1.1 大学综合实力总得分的计算作为一所大学，主要的任务应该是人才培养和科学研究。而人才培养中可5分为对本科生的培养和对研究生的培养；科学研究可分为自然科学研究和社会科学研究。由此，我们可以建立中国大学评价的层次结构图，以中国大学评价为目标、以人才培养和科学研究为一级指标、以本科生培养、研究生培养、自然科学研究和社会科学研究二级指标，得到如下层次结构图：大学实力教学科研本科生培养研究生培养自然科学研究社会科学研究图 1 中国大学评价层次图根据某个大学人才培养得分占据所有大学人才培养总分的比例和各个大学科学研究得分占据所有大学科学研究得分的比例

10、，引入两个比例的权重系数，然后再乘以被评价的大学教学和科研两方面的得分，即可得到这个大学的总得分，如下：12 1212 11()1,2,.,kk kj nj njj jjBBAWkn BB （1）121（2）通过网上查找数据，得到各个大学的本科生培养、研究生培养、自然科学研究和社会科学研究得分，根据专家建议取：4205. 0,5795. 0216利用式（1）和（2） ，得到每一年全国所有高校的大学排名。但是，这种排名只考虑了当年的大学综合排名，只由这一年人才培养和科学研究的质量决定，是当年的一个固定的值。考虑到大学的排名具有波动性，仅一年的排名并不能体现大学真正的实力，而且对于不同的人，可能考

11、虑大学总体实力的稳定状态和实力的变化趋势对大学排名的重要性。因此，我们引入两种不同的改进方案。5.1.2 反映大学稳定实力的排名模型首先，大学的实力是一个变化的过程，但是总体实力的积淀对于一个大学的知名度有着重要的作用。若某一大学在之前排名靠前，虽然今年由于某些因素造成排名下降，但是学校的整体实力还是靠前的，这将造成大学综合实力的排名不准确。例如，对于复旦大学，五年内的排名如下：201020112012201320142015201634567年份/y综合排名图 2 复旦大学五年的排名由上图，可以看到，复旦大学五年内的排名十分稳定，无波动情况。因此，2015 年的大学排名能够反映出它的综合实力

12、。但是，对于很对大学，排名情况并不是很理想的一成不变。下图为中国地质大学（北京）五年内的排名：72010201120122013201420152016859095100105110115120125年份/y综合排名图 3 中国地质大学（北京）五年的排名从表格中可以看出，从 2011 年到 2013 年时，中国地质大学（北京）前四年的排名比较稳定，均在九十多名。然而，在 2015 年，由于某些原因，排名落后。但是，从总体上来看，中国地质大学（北京）的实力排名不低，所以如果从历史积淀和实力稳定性的角度来看，2015 年的排名并不能准确地反映中国地质大学（北京）的实力。为此，为了反映大学稳定情况下

13、的总体实力，考虑最近 4 年内的大学排名，引入 Borda 函数。由于排名年份的不同，对于当前排名的参考价值不同。年份距离 2015 年越近，综合排名的参考价值越大。所以，赋予不同年份的 Borda 值一个权重，综合得到具有稳定性的各个大学的排名。被评价对象的 Borda 数为：kS1234()0.2()0.2()0.3()0.3()kkkkkB SBSB SB SB S（3）5.1.3 稳定排名的求解利用式（3） ，统计各个年份的排名数据，得到整体的 Borda 值。利用 Borda值的大小，对所有大学进行排名并与之前的排名进行对比：8表 1 排名稳定的学校排名学校变化123456789北京

14、大学浙江大学清华大学上海交通大学复旦大学南京大学武汉大学四川大学中山大学000000000表 2 排名波动较大的学校排名学校变化106116129143153156166171173187199中国地质大学（北京）四川农业大学沈阳药科大学成都理工大学南京邮电大学中央民族大学辽宁科技大学湖南科技大学哈尔滨师范大学陕西科技大学温州大学14-111821-23-172117-27-14-165.1.4 结果分析从表 1 中，我们可以看到对于排名靠前的学校综合实力比较稳定，因而由Borda 函数值得到排名整体基本不变，说明这类大学的教学和科研水平上一直9处于平稳发展状态。从表 2 中，我们可以看到排名

15、相对靠后的学校的综合实力波动性较大，因而由 Borda 函数值得到的排名与每一年相比差距较大。所以 Borda 函数得到的排名能够反映出整体比较稳定的排名。5.1.5 反映大学发展趋势的排名模型对于某些大学，虽然之前和现在的每一年的排名不高，但是学校的总体实力排名是在不断上升的，发展趋势良好。对于这种大学，综合实力排名中应体现到它每一年排名上升对于它整体实力的预见作用。若当前的大学具有一定的提升趋势，四年后的排名应该提升许多，这利于学生选取具有长远性发展的大学。为此，引入排名进步系数，加入到原有的排名之中，得到反映大学实力发展趋势的综合实力排名。例如，对于江苏大学，其四年内的排名为：20112

16、0122013201420152016505560657075年份/y综合排名图 4 江苏大学四年的排名从上图中，可以看到，在这四年内，江苏大学的排名一直在上升，表明它的实力正处于一个不断上升的阶段，具有比较好的发展前景，在排名上应该有所体现。若采用稳定的排名模型，体现不出江苏大学日益进步的趋势。而对于西北师范大学，其四年内的排名情况如下：10201120122013201420152016100105110115120125年份/y综合排名图 5 西北师范大学四年的排名从上图中，我们可以看出，连续四年内，西北师范大学的排名一直在下降，表明大学的实力发展处于下滑状态。而 2015 年的大学排名中并不能体现这一特点。为了在综合排名中体现大学发展趋势的影响，引入大学排名的变化率，得到综合排名方法，( )( )( ),1,2,3,4( )ji ij ia ka ka ki ja k（4）根据 2012 年到 2015 年的排名变化，得到三个变化率，对此三个变化率取平均值，31( ) ( )3ij iak a k