管理统计学11时间序列和指数

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1、对时间序列的分析方法有哪几种？它们分别有什么优点和缺点？ 如何进行时间序列的预测？ 什么是指数？它有何作用？ 现实中指数是怎样的？,11.1 时间序列的成分,一个时间序列中往往由几种成分组成，通常假定是四种独立的成分趋势、循环、季节和不规则。下面我们仔细研究其中的每一种成分。,11.1.1 趋势成分,在一段较长的时间内，时间序列往往呈现逐渐增加或减少的总体趋势。时间序列逐渐转变的性态称为时间序列的趋势。趋势通常是长期因素影响的结果，如人口总量的变化、方法的变化等等,趋势成分,时间序列的 长期动向,长期 影响因素,11.1.2 循环成分,时间序列常常呈现环绕趋势线上、下的波动。任何时间间隔超过一

2、年的，环绕趋势线的上、下波动，都可归结为时间序列的循环成分。,循环成分,围绕长期趋势线 的上下波动,11.1.3 季节成分,许多时间序列往往显示出在一年内有规则的运动，这通常由季节因素引起，因此称为季节成分。,季节成分,季节因素引起的一年内 有规则的运动,11.1.3 季节成分,例如，一个游泳池制造商在秋季和冬季各月有较低的销售活动，而在春季和夏季各月有较高的销售量 。 铲雪设备和防寒衣物的制造商的销售却正好相反。,11.1.3 季节成分,季节成分也可用来描述任何持续时间小于一年的、有规则的、重复的运动。例如，每天的交通流量资料显示在一天内的“季节”情况，在上、下班拥挤时刻出现高峰，在一天的休

3、息时刻和傍晚出现中等流量，在午夜到清晨出现小流量。,季节成分的扩展,11.1.4 不规则成分,时间序列的不规则成分是剩余的因素，它用来说明在分离了趋势、循环和季节成分后，时间序列值的偏差。不规则成分是由那些影响时间序列的短期的、不可预期的和不重复出现的因素引起的。它是随机的、无法预测的。,不规则成分,短期的，不可预期和 不重复出现的因素引 起的随机变动,11.1.4 不规则成分,时 间 序 列,不 规 则 成 分,分离出趋势成分,分离出循环成分,分离出季节成分,11.2 利用平滑法进行预测,本节我们讨论三种预测方法：移动平均法、加权移动平均法和指数平滑法。因为每一种方法的都是要“消除”由时间序

4、列的不规则成分所引起的随机波动，所以它们被称为平滑方法。,三 种 平 滑 方 法,移动平均法,加权移动平均法,指数平滑法,11.2 利用平滑法进行预测,平滑方法对稳定的时间序列即没有明显的趋势、循环和季节影响的时间序列是合适的，这时平滑方法很适应时间序列的水平变化。但当有明显的趋势、循环和季节变差时，平滑方法将不能很好地起作用,平滑方法很容易使用，而且对近距离的预测，如下一个时期的预测，可提供较高的精度水平。,预测方法之一的指数平滑法对资料有最低的要求,平 滑 方 法,缺点,优点,11.2.1 移动平均法,移动平均法使用时间序列中最近几个时期数据值的平均数作为下一个时期的预测值。移动平均数的计

5、算公式如下：,（111）,11.2.2 加权移动平均法,移 动 平 均 法,加权 移动 平均 法,计算移动平均数时每个 观测值权数权数相同,对每期数据值选择不同的权数，然后计算 最近n个时期数值的加权平均数作为预测值,通常，最近时期的观测值应取得最大的 权数，而比较远的时期权数应依次递减,11.2.3 指数平滑法,指数平滑法,加权移动平均法,属于,只选择一个权数（最近时期观 测值的权数），其他时期数据值 的权数可以自动推算出来。 当观测值离预测时期越久远时， 权数变得越小,11.2.3 指数平滑法,指数平滑法模型：,式中Ft+1t+1期时间序列的预测值；Ytt期时间序列的实际值；Ftt期时间序

6、列的预测值；平滑常数（01）。,11.2.3 指数平滑法,2期的预测值：,3期预测值：,最后，将F3的表达式代入F4的表达式中，有,11.2.3 指数平滑法,因此，F4是前三个时间序列数值的加权平均数。Y1，Y2和Y3的系数或权数之和等于1。由此可以得到一个结论，即任何预测值Ft+1是以前所有时间序列数值的加权平均数。,11.2.3 指数平滑法,指数 平滑法 特点,指数平滑法提供的预测值是以前所有预测值的加权平均数，但所有过去资料未必都需要保留，以用来计算下一个时期的预测值。,一旦选定平滑常数，只需要二项的信息就可计算预测值。,式（11-2）表明，对给定的，我们只要知道t期时间序列的实际值和预

7、测值，即Yt和Ft，就可计算t+1期的预测值。,11.3 利用趋势推测法进行预测,本节我们将说明如何对拥有长期线性趋势的时间序列进行预测。,不稳定，随时间 呈现持续增加 或减少的形态,长期 线性 趋势 数列,趋势推测法可行,平滑法不合适,11.3 利用趋势推测法进行预测,例题11.1考虑一某超市过去10年的自行车销售量时间序列，资料见表11-1。注意，第1年销售了21600辆，第2年销售了22900辆，第10年（即最近一年）销售了31400辆。尽管图11-1显示在过去10年中销售量有上、下波动，但时间序列总的趋势是增长的或向上的。,11.3 利用趋势推测法进行预测,11.3 利用趋势推测法进行

8、预测,图11-1 自行车销售时间序列的图形,11.3 利用趋势推测法进行预测,图11-2 用线性函数对自行车销售量的趋势描述,11.3 利用趋势推测法进行预测,被估计的销售量可表示为时间的函数，其表,达式如下：,线性趋势方程,上式中 Ttt期时间序列的趋势值；b0线性趋势的截距；b1线性趋势的斜率；t 时间。,例11.1解析,11.3 利用趋势推测法进行预测,其中:,例11.1解析(续),11.3 利用趋势推测法进行预测,式中 Ttt期时间序列的值；n 时期的个数；,时间序列的平均值，即,t的平均值，即,=t/n。,例11.1解析(续),11.3 利用趋势推测法进行预测,根据计算b0和b1的关

9、系式及表11-1的自行车销售量资料，我们有如下计算结果：,例11.1解析(续),11.3 利用趋势推测法进行预测,因此，自行车销售量时间序列的线性趋势成分的 表达式为：,Tt=20.4+1.1t （11-6）,例11.1解析(续),11.4利用趋势和季节成分进行预测,前面我们已经介绍了如何对有趋势成分的时间序列 进行预测。本节我们将把这种讨论扩展到对同时拥有趋 势和季节成分的时间序列进行预测的情形。,11.4利用趋势和季节成分进行预测,商业和经济中的许多情形是一期与一期的比较。例如，我们想研究和了解失业人数是否比上个月上升1%，钢产量是否比上个月上升5%等问题。在使用这些资料时，必须十分小心。

10、因为每当描述季节影响时，这样的比较会使人产生误解。,11.4利用趋势和季节成分进行预测,例如，9月份电能消费量比8月份下降3%，可能仅仅是由于空调使用减少这一季节影响引起的，而不是因为长期用电量的减少。事实上，在调整季节影响后，我们甚至可以发现用电量是增加的。,9月份电能 消费量比 8月份下降3% 的原因,属于长期 用电量的减少？,空调使用 减少引起的？,11.4.1 乘法模型,基本模型：,上式中：Yt-时间序列的数值T -趋势成分S -季节成分I -不规则成分,11.4.1 乘法模型,下述资料是某公司在过去4年中台式电脑的销售量（单位：千台）数据。,例11.2,11.4.1 乘法模型,表11

11、-2 台式电脑销售量的季度资料,11.4.1 乘法模型,11.4.2 季节指数的计算,第一步，计算中心化移动平均数,例11.2解析,表11-3 台式电脑销售量时间序列的中心化的移动平均数的计算结果,11.4.2 季节指数的计算,表11-3（续）台式电脑销售量时间序列的中心化的移动平均数的计算结果,11.4.2 季节指数的计算,表11-3（续）台式电脑销售量时间序列的中心化的移动平均数的计算结果,11.4.2 季节指数的计算,11.4.2 季节指数的计算,第二步 计算季节不规则值,表11-4 台式电脑销售量时间数列的季节不规则值,11.4.2 季节指数的计算,第三步 计算季节指数,例11.2解析

12、（续）,表11-5 台式电脑销售量时间数列的季节指数计算结果,11.4.3 消除时间序列的季节影响,表11-6 台式电脑销售量时间数列消除季节影响后的数据,11.4.3 消除时间序列的季节影响,图11-5消除季节影响的台式电脑销售量时间序列,11.4.4 利用消除季节影响的时间序列确定趋势,Tt=b0+b1t式中 Ttt期台式电脑销售量的趋势值； b0趋势线的截距； b1趋势线的斜率；,第四步,进行趋势预测基本模型:,11.4.4 利用消除季节影响的时间序列确定趋势,计算b0和b1的公式如下,（118）,（119）,11.4.4 利用消除季节影响的时间序列确定趋势,计算结果：,例11.2解析（

13、续）,11.4.4 利用消除季节影响的时间序列确定趋势,Tt=5.101+0.148t,因此，时间序列的线性趋势成分的表达式为：,由趋势方程可分别产生第17、18、19和20季度的台式电脑销售量预测值为7617，7765，7913和8016台。,例11.2解析（续）,11.4.5 季节调整,季节调整,表11-7 台式电脑销售量时间数列的季度预测值,11.4.6 基于月度资料的模型,在前面台式电脑销售量的例子中，我们利用季度资料来说明季节指数的计算，但是许多商业情况的预测使用月度资料多于季度资料。,联系现实,11.4.6 基于月度资料的模型,在这种情况下，首先用12个月的移动平均数代替4个季度的

14、移动平均数，然后是计算每个月的季节指数，而不是每个季度的季节指数。除了这些改变以外，计算和预测方法都是一样的。,联系现实,12个月的移动 平均数代替4个 季度的移动平均数,计算每个月 的季节指数， 而不是每个季 度的季节指数,解决 方案 的 差别,11.4.7 循环成分,有时，式（11-8）的乘法模型可扩展到包括循环成分在内，即,11.4.7 循环成分,同季节成分一样，循环成分也可表示为趋势的百分比。循环成分相对比较复杂：,本节将不对循环成分做进一步的讨论。,循环 成分 的复 杂性,循环成分是由于时间序列的多年循环而出现的，与季节成分类似，但是它的时间周期更长一些。,获得比较恰当的资料来估计循

15、环成分常常是困难的,循环的长度是变化的,1,指数最早起源于物价指数的编制，英国人Rice Vaughan 1965年首创物价指数，用于度量物价的变化。随后指数的应用范围不断扩大，其度量的内容和编制的方法日益丰富，形成了一个较大的体系。,指数的概念：,概括而言，描述报告期或报告点价格、数量或价值与基期或基准点相比的相对变化程度的指标称为指数。指数是一种对比性的统计指标，是总体各变量在不同时空的数量对比形成的相对数。,11.5 指数,指数实际上就是相对比率。对于时间序列y1，y2，yi，yn如选其中yb为基准，那么第i时期的指数,指数的概念,11.5.1 指数的作用,指数可以用做衡量同一变量在不同

16、时期变化的方向和程度，也可提供比较有关变量变化的情况的根据。,衡量同一变量在不同 时期变化的方向和程度,提供比较有关变量变化 情况的根据,指 数,11.5.1 指数的作用,指数可以用来调整在不同时期变量变化的实际情况。例如某人经过一段时间，其收入由1000元增到1500元，但消费指数在同期由100增到130，那么他的真实收入实际是：,以下只考虑物价指数和物量指数。,11.5.2 指数的分类,从研究对象的品种数目来看，可以分为单一品种的指数和多品种的综合指数。从比率的基准来看，指数可分为定基指数和环比指数,11.5.2 指数的分类,表11-8 我国农副产品收购牌价分类指数（以1980年价格为100）,