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1、第一章第一章 导数及其应用综合检测导数及其应用综合检测时间 120 分钟，满分 150 分。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2010全国文，7)若曲线 yx2axb 在点(0，b)处的切线方程是 xy10，则( )Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1答案 A 解析 y2xa，y|x0(2xa)|x0a1， 将(0，b)代入切线方程得 b1.2一物体的运动方程为 s2tsintt，则它的速度方程为( )Av2sint2tcost1 Bv2sint2tcostCv2sint Dv2sint2cos
2、t1答案 A解析 因为变速运动在 t0的瞬时速度就是路程函数 ys(t)在 t0的导数，S2sint2tcost1，故选 A.3曲线 yx23x 在点 A(2,10)处的切线的斜率是( )A4 B5 C6 D7答案 D 解析 由导数的几何意义知，曲线yx23x 在点 A(2,10)处的切线的斜率就是函数yx23x 在 x2 时的导数，y|x27，故选 D.4函数 yx|x(x3)|1( )A极大值为 f(2)5，极小值为 f(0)1B极大值为 f(2)5，极小值为 f(3)1C极大值为 f(2)5，极小值为 f(0)f(3)1D极大值为 f(2)5，极小值为 f(3)1，f(1)3答案 B解析
3、 yx|x(x3)|1Error!yError!x 变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2,3)3(3，)f(x000)f(x)无极值极大值5极小值1f(x)极大f(2)5，f(x)极小f(3)1 故应选 B.5(2009安徽理，9)已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)2f(2x)x28x8，则曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程是( )Ay2x1 Byx Cy3x2 Dy2x3答案 A 解析 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式f(x)2f(2x)x28x8，f(2x)2f(x)x24x4，f(x)x2，f(x)2x，曲线
4、 yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为 2，切线方程为 y12(x1)，y2x1.6函数 f(x)x3ax23x9，已知 f(x)在 x3时取得极值，则 a 等于( )A2 B3 C4 D5答案 D 解析 f(x)3x22ax3，f(x)在 x3 时取得极值，x3 是方程 3x22ax30 的根，a5，故选 D.7设 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数当 x0，且 g(3)0，则不等式 f(x)g(x)0，即 F(x)0，知F(x)在(，0)内单调递增，又 F(x)为奇函数，所以F(x)在(0，)内也单调递增，且由奇函数知 f(0)0，F(0)0.又由 g(3)0，知
5、 g(3)0 F(3)0，进而F(3)0于是 F(x)f(x)g(x)的大致图象如图所示F(x)f(x)g(x)4 B4f(b)g(b) Bf(x)g(a)f(a)g(x)Cf(x)g(b)f(b)g(x) Df(x)g(x)f(a)g(x)答案 C解析 令 F(x)f(x) g(x)则 F(x)f(x) g(x)f(b) g(b)f(x)g(b)f(b)g(x)故应选 C.二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共16 分将正确答案填在题中横线上)13._.1 2dx (115x)3答案 解析 取 F(x)，7 721 10(5x11)2从而 F(x) 则F(1)1 (115x)3
6、1 2dx (115x)3F(2).1 10 621 10 121 101 3607 7214若函数 f(x)的单调增区间为(0，)，ax21 x则实数 a 的取值范围是_答案 a0解析 f(x)a，(ax1 x)1 x2由题意得，a0，对 x(0，)恒成立，1 x2a，x(0，)恒成立，a0.1 x215(2009陕西理，16)设曲线 yxn1(nN*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn，令anlgxn，则 a1a2a99的值为_答案 2解析 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质ky|x1n1，切线 l：y1(n1)(x1)，令 y0，x，anlg，n n1n
7、 n1原式lg lg lg1 22 399 100lg lg2.1 22 399 1001 10016如图阴影部分是由曲线 y ，y2x 与直线1 xx2，y0 围成，则其面积为_答案 ln22 3解析 由Error!，得交点 A(1,1)由Error!得交点 B.(2，1 2)故所求面积 Sdxdx1 0x2 11 x xError!lnxError! ln2.2 33 22 3三、解答题(本大题共 6 个小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分 12 分)(2010江西理，19)设函数 f(x)lnxln(2x)ax(a0)(1)当 a1 时，求 f(x)的
8、单调区间；(2)若 f(x)在(0,1上 的最大值为 ，求 a 的值1 2解析 函数 f(x)的定义域为(0,2)，f (x) a，1 x1 2x(1)当 a1 时，f (x)，所以 f(x)的单调递x22 x(2x)增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)；22(2)当 x(0,1时，f (x)a0，22x x(2x)即 f(x)在(0,1上单调递增，故 f(x)在(0,1上的最大值为 f(1)a，因此 a .1 218(本题满分 12 分)求曲线y2xx2，y2x24x 所围成图形的面积解析 由Error!得 x10，x22.由图可知，所求图形的面积为 S (2xx2)2 0dx| (2x
9、24x)dx| (2xx2)dx (2x24x)dx.2 02 02 0因为2xx2，(x21 3x3)2x24x，(2 3x32x2)所以 SError!Error!4.(x21 3x3)(2 3x32x2)19(本题满分 12 分)设函数 f(x)x33axb(a0)(1)若曲线 yf(x)在点(2，f(2)处与直线 y8 相切，求 a，b 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间与极值点分析 考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想解析 (1)f(x)3x23a.因为曲线 yf(x)在点(2，f(2)处与直线 y8 相切，所以Error!即Error!解得 a4，b24
10、.(2)f(x)3(x2a)(a0)当 a0，函数 f(x)在(，)上单调递增，此时函数 f(x)没有极值点当 a0 时，由 f(x)0 得 x.a当 x(，)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增；a当 x(，)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增a此时 x是 f(x)的极大值点，x是 f(x)的极小aa值点20(本题满分 12 分)已知函数 f(x) x2lnx.1 2(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)求证：当 x1 时， x2lnx0，f(x)x ，故 f(x)0，1 xf(x)的单调增区间为(0，)(2)设 g(x) x3 x2lnx，2 31 2g(x)2x2x ，1 x当
11、x1 时，g(x)0，(x1)(2x2x1) xg(x)在(1，)上为增函数，g(x)g(1) 0，1 6当 x1 时， x2lnx0；当 12 时 f(x)0.所以当 x1 时，f(x)取极大值 f(1) a，5 2当 x2 时，f(x)取极小值 f(2)2a.故当 f(2)0 或 f(1) .5 222(本题满分 14 分)已知函数 f(x)x3ax21(aR)(1)若函数 yf(x)在区间上递增，在区间(0，2 3)上递减，求 a 的值；2 3，)(2)当 x0,1时，设函数 yf(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角为 ，若给定常数 a，求 的(3 2，)取值范围；(3)在(1)的条件下
12、，是否存在实数 m，使得函数 g(x)x45x3(2m)x21(mR)的图象与函数 yf(x)的图象恰有三个交点若存在，请求出实数 m 的值；若不存在，试说明理由解析 (1)依题意 f0，(2 3)由 f(x)3x22ax，得322a 0，即(2 3)2 3a1.(2)当 x0,1时，tanf(x)3x22ax32.(xa 3)a2 3由 a，得 .(3 2，)a 3(1 2，)当 ，即 a时，f(x)max，a 3(1 2，1(3 2，3a2 3f(x)minf(0)0.此时 0tan.a2 3当 (1，)，即 a(3，)时，f(x)a 3maxf(1)2a3，f(x)minf(0)0，此时，0tan2a3.又0，)，当 3 时，0，arctan(2a3)(3)函数 yf(x)与 g(x)x45x3(2m)x21(mR)的图象恰有 3 个交点，等价于方程x3x21x45x3(2m)x21 恰有 3 个不等实根，x44x3(1m)x20，显然 x0 是其中一个根(二重根)，方程 x24x(1m)0 有两个非零不等实根，则Error!m3 且 m1故当m3 且m1 时，函数yf(x)与yg(x)的图象恰有 3 个交点
