高考导数类型题目详解

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1、 高考导数类型题目详解 1.【2015 高考福建，理 10】若定义在上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】 由已知条件， 构造函数， 则， 故函数在上单调递增， 且， 故，所以， ，所以结论中一定错误的是 C，选项 D 无法判断；构造函数，则，所以函数在上单调递增，且，所以，即， ，选项 A,B 无法判断，故选 C 【考点定位】函数与导数 【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，

2、常可使问题变得明了，属于难题 2.【2015 高考陕西，理 12】对二次函数（为非零常数） ，四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） A是的零点 B1 是的极值点 C3 是的极值 D. 点在曲线上 【答案】A 【解析】若选项 A 错误时，选项 B、C、D 正确， ，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得： ，因为点在曲线上，所以，即，解得： ，所以， ，所以，因为，所以不是的零点，所以选项 A 错误，选项 B、C、D 正确，故选 A 【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值 【名师点晴】 本题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数的极值，

3、属于难题解题时一定要抓住重要字眼“有且仅有一个”和“错误” ，否则很容易出现错误解推断结论的试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊值进行检验，也可作必要的合情推理 3.【2015 高考新课标 2，理 12】设函数是奇函数的导函数， ，当时， ，则使得成立的的取值范围是 A B C D 【答案】A 【考点定位】导数的应用、函数的图象与性质 【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题 4. 【2015

4、高考新课标 1， 理 12】 设函数=,其中 a1， 若存在唯一的整数，使得 0，则的取值范围是（ ） (A)，1） (B)， ） (C)， ） (D)，1） 【答案】D 【解析】设=， ，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方.因为，所以当时， 0， 当时， 0， 所以当时， =， 当时， =1， ， 直线恒过 （1,0）斜率且，故，且，解得1，故选 D. 【考点定位 【名师点睛】对存在性问题有三种思路，思路 1：参变分离，转化为参数小于某个函数（或参数大于某个函数） ，则参数该于该函数的最大值（大于该函数的最小值） ；思路 2：数形结合，利用导数先研究函数的图像与性质，再画出该函数的草图，

5、结合图像确定参数范围，若原函数图像不易做，常化为一个函数存在一点在另一个函数上方，用图像解；思路 3：分类讨论，本题用的就是思路 2. 5.【2015 高考陕西，理 16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示） ，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 【答案】 【解析】建立空间直角坐标系，如图所示： 原始的最大流量是，设抛物线的方程为（） ，因为该抛物线过点，所以，解得，所以，即，所以当前最大流量是，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是，所以答案应填： 【考点定位】1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义 【名师点晴】本题主要考查的

6、是定积分、抛物线的方程和定积分的几何意义，属于难题解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前” ，否则很容易出现错误 解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义，即由直线， ，和曲线所围成的曲边梯形的面积是 6.【2015 高考天津，理 11】曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为 . 【答案】 【考点定位】定积分几何意义与定积分运算. 【名师点睛】本题主要考查定积分几何意义与运算能力.定积分的几何意义体现数形结合的典型示范， 既考查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力. 【2015 高考湖南，理 11】 . 【答案】. 【解析】 试题分析：. 【考点定位】定积分的计算. 【名

7、师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解. 7.【2015 高考新课标 2，理 21】 （本题满分 12 分） 设函数 ()证明：在单调递减，在单调递增； （）若对于任意都有求的取值范围 【答案】()详见解析； （） 【解析】() 若，则当时， ， ；当时， ， 若，则当时， ， ；当时， ， 所以，在单调递减，在单调递增 （）()知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值所以对于任意，的充要条件是：即，设函数，则当时， ；当时， 故在单调递减， 在单调递增， ，

8、 故当时， 当时， ， ， 即式成立 当时，由的单调性， ，即；当时， ，即综上，的取值范围 【考点定位】导数的综合应用 【名师点睛】()先求导函数，根据的范围讨论导函数在和的符号即可； （） 由是两个独立的变量，故可求研究的值域，由()可得最小值为，最大值可能是或，故只需，从而得关于的不等式，因不易解出，故利用导数研究其单调性和符号，从而得解 8.【2015 高考江苏，19】 （本小题满分 16 分） . （1）试讨论的单调性； （2）若（实数 c 是 a 与无关的常数） ，当函数有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是，求 c 的值. 【答案】 （1）当时， 在上单调递增； 当时， 在，上

9、单调递增，在上单调递减； 当时， 在，上单调递增，在上单调递减 （2） 当时，时， ，时， ， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减 （2）由（1）知，函数的两个极值为， ，则函数有三个 零点等价于，从而或 又，所以当时，或当时， 设，因为函数有三个零点时，的取值范围恰好是 ，则在上，且在上均恒成立， 从而，且，因此 此时， ， 因函数有三个零点，则有两个异于的不等实根， 所以，且， 解得 综上 【考点定位】利用导数求函数单调性、极值、函数零点 【名师点晴】求函数的单调区间的确定函数 yf(x)的定义域；求导数yf(x)， 令 f(x)0， 解此方程， 求出在定义区间内的一切实根；把函数f(x

10、)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间；确定 f(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性 已知函数的零点个数利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像，数形结合求解 9.【2015 高考福建，理 20】已知函数， ()证明：当； ()证明：当时，存在,使得对 ()确定 k 的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有 【答案】()详见解析；()详见解析；() 【解析】解法一：(1)令则有 当 ,所以在上单调递减； 故当时，即当时， (2)令则有 当 ,所以在上单调递增, (3)

11、当时，由（1）知，对于故， ， 令，则有 故当时，,在上单调递增，故,即,所以满足题意的 t 不存在. 当时，由（2）知存在,使得对任意的任意的恒有 此时, 令，则有 故当时，,在上单调递增，故,即,记与中较小的为， 则当，故满足题意的 t 不存在. 当，由（1）知， ， 令，则有 当时，,所以在上单调递减，故, 故当时，恒有,此时，任意实数 t 满足题意. 综上，. 解法二： （1） （2）同解法一. （3）当时，由（1）知，对于， 故， 令， 从而得到当时，恒有,所以满足题意的 t 不存在. 当时，取 由（2）知存在,使得. 此时, 令，此时 , 记与中较小的为，则当， 【考点定位】导数的

12、综合应用 【名师点睛】在解函数的综合应用问题时,我们常常借助导数,将题中千变万化的隐藏信息进行转化， 探究这类问题的根本， 从本质入手,进而求解，利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值， 从而证得不等式， 注意与不等价， 只是的特例， 但是也可以利用它来证明， 在 2014年全国卷理科高考 21 题中，就是使用该种方法证明不等式；导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续 10.【2015 江苏高

13、考，17】 （本小题满分 14 分） 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建 一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边 界曲线为 C，计划修建的公路为 l，如图所示，M，N 为 C 的两个端点，测得点 M 到 的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到的距离分别为 20 千米和2.5 千米，以 所在的直线分别为 x，y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，假设曲线C 符合函数 （其中 a，b 为常数）模型. （1）求 a，b 的值； （2）设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点，P 的横坐标为 t. 请写出公路 l 长度的函数

14、解析式，并写出其定义域； 当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度. 【答案】 （1） （2）定义域为，千米 【解析】 （1）由题意知，点，的坐标分别为， 将其分别代入，得， 解得 （2）由（1）知， （） ，则点的坐标为， 设在点处的切线交，轴分别于，点， ， 则的方程为，由此得， 故， 设，则令，解得 当时， ，是减函数； 当时， ，是增函数 从而，当时，函数有极小值，也是最小值，所以， 此时 答：当时，公路的长度最短，最短长度为千米 【考点定位】利用导数求函数最值，导数几何意义 【名师点晴】解决实际应用问题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型将自然语言转化

15、为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；求解数学模型，得出数学结论导数的几何意义是切点处切线的斜率， 11.【2015 高考山东，理 21】设函数，其中. （）讨论函数极值点的个数，并说明理由； （）若成立，求的取值范围. 【答案】 （I） ：当 时，函数在上有唯一极值点； 当时，函数在上无极值点； 当时，函数在上有两个极值点； （II）的取值范围是. （2）当 时， 当时， ， 所以， ，函数在上单调递增无极值； 当 时， 设方程的两根为 因为 所以， 由可得： 所以，当时， ，函数单调递增； 当时， ，函数单调递减； 当时， ，函数单调递增； 因此函数有两个极值点 （3）当 时， 由可得： 当时， ，函数单调递增； 当时， ，函数单调递减； 因此函数有一个极值点 综上： 当 时，函数在上有唯一极值点； 当时，函数在上无极值点； 当时，函数在上有两个极值点； （II）由（I）知， （1）当时，函数