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1、Ch3、中值定理与导数的应用1、中中值值定理定理一、一、罗尔罗尔定理定理若满足在上连续；在内可导；，则在内至)(xfba,ba,)()(bfafba,少存在一点。0)(,f使 证证：因，故在上有最大值、最小值，,)(baCxf)(xfba,Mm 若，对任意，均有，结论成立。CxfmM)(, 则),(ba0)(f 若，因，故不能同时等于，mM )()(bfaf)()(bfaf和mM 和 不妨设，即内部一点处取最大值。Maf)(),()(baxf在当0)(, 0)()(lim, 0)()(,00fxfxf xfxfx x即时同理可证，又在内可导，故，即。0)(f)(xfba,)()( ff0)(f
2、例例 1 1、验证罗尔定理对上的正确性。 65,6sin)(在xxf证证：条件验证，内可导上连续在为初等函数 65,6,65,6,sin)(xxf，即满足罗尔定理条件。2ln65 6 ff且结论验证，显然有，故得证。xxxxfcotcossin1)(0)(65,62 f使（既要验证条件，又要验证结论既要验证条件，又要验证结论）例例 2、设的实数，证明方程0132,21 010naaaaaaan nLL为满足在内至少有一个实根。02 210n nxaxaxaaL 1 , 0证证：设13221 0132)( nnxnaxaxaxaxfL则在上连续，在内连续，且，)(xf 1 , 0 1 , 00)
3、0(f0132) 1 (21 0naaaafnL2由罗尔定理，至少有一个使 1 , 00)(2 210n naaaafL 即在内至少有一个实根。02 210n nxaxaxaaL 1 , 0二、拉格朗日中二、拉格朗日中值值定理定理若满足在上连续；在内可导，则至少存在一点，使)(xfba,ba,ba,。)()(afbf)()(fab证证：令)()()()()()(axabafbfafxfxF则在上连续，在内可导，且)(xFba,ba,)()(bFaF由罗尔定理，至少有一个使ba,0)(F即。)()()(fabafbf 因，故可记为。ba,10),(其中aba 本定理的一般形式为，xfyxfxfx
4、xf)()()()(或使 。10,xx其中例例 3、设在上连续，在内可导，证明在内至少存在一点，)(xfba,ba,ba,使。)()()()(ffabaafbbf证证：令，则在上连续，在内可导，)()(xxfxF)(xFba,ba,由 Lagrange 定理，有使，ba,)()()(FabaFbF即)()()()(ffabaafbbf例例 4、设，证明1, 1nba)()(11banababanbnnnn证证：令，则在上连续，在内可导，nxxf)()(xfab,ab,故有使ab,1)()()(nnfabafbf又，故111,nnnabab11)()(nnnababfafnb即)()(11ban
5、ababanbnnnn定理定理：在区间上，的充要条件是I0)( xfCxf)( 证证：充分性显然，下证必要性。 由知，满足 Lagrange 定理条件，0)( xf)(xf 对任意，有，Ixx21,0)()()()(2121fxxxfxf使 得，从而。)()(21xfxfCxf)(例例 5、证明：1 , 1,2arccosarcsinxxx3证证：令2arccosarcsin)(xxxf则Cxf xxxf )(, 0 1111)( 22得又2,20arccos0arcsin)0(Cf即故1 , 1,2arccosarcsinxxx同理可证2cotarctanxarcx三、柯西中三、柯西中值值定
6、理定理 若满足在上连续；在内可导；，则至少存在)(),(xFxfba,ba,0)( xF 一，ba,。)()( )()()()( Ff aFbFafbf 使证证：令，)()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx则在上连续，在内可导，且，)(xba,ba,)()(ba由罗尔定理，至少有一个使，ba,0)(即。)()( )()()()( Ff aFbFafbf 例例 6、设在上连续，在内可导，证明在内至少存在一点，)(xfba,ba,)0(aba,使。)()()(222fabafbf证证：令，则、在上连续，在内可导，且2)(xxF)(xf)(xFba,ba,02)(xxF
7、由柯西定理，有使，ba,)()( )()()()( Ff aFbFafbf 即)()()(222fabafbf2、洛必达法洛必达法则则1、 、型型00定理定理 1：若；0)(lim)(limxFxf0)()(),( xFxFxf可导且，则存在或为)()(limxFxf )()(lim)()(limxFxf xFxf 证证：下设极限过程为，时同理可证。ax x4因，0)(lim)(lim xFxf axax故)(xfax为、的连续点或可去间断点，从而可得。)(xF0)()(aFaf 设为邻域内一点，且，则、在上连续，在内可导，xaax )(xf)(xFxa,xa,且，则柯西定理0)( xF)()
8、( )()(,)()( )()()()( Ff xFxfxaFf aFxFafxf 即又时，且ax a 存在或为)()(limxFxfax故。)()(lim)()(lim)()(limxFxf Ff xFxfaxaax 注：注：在实际运用时，只要极限为型，即可试用法则。00在求极限时，最好将洛必达法则与等阶无穷小代换法则结合使用。例例 1、xxxeexxxsin2lim 0解：解：原式2coslimsinlimcos12lim 000xee xee xeexxxxxxxxx例例 2、xarcxxcot11ln lim解：解：原式11lim111limcot1lim2222 xxxx xarcx
9、xxx例例 3、222sinlnlimxxx解：解：原式81 2csclim41 2cotlim41 )2(22cossin1lim2222x xx xxxxxx2、 、型型定理定理 2：若；)(lim,)(limxFxf0)()(),( xFxFxf可导且5，则存在或为)()(limxFxf )()(lim)()(limxFxf xFxf 例例 4、)0(lnlim nxxnx解：解：原式01lim1limlnlim1 nxnxnxnxnxx xx例例 5、证明存在，但不可用洛必达法则计算。xxxxxsinsinlim证：证：xx xxxxxxcos1cos1limsinsinlim 试用因
10、为不存在也不为，故不可用洛必达法则计算。xxxcos1cos1lim但此极限存在，事实上原式 0sin11sin, 011 sin11sin11 limxxxxxxxxx3、其它未定型、其它未定型极限中共有七种未定型00,1,0,0,00型0 00例例 6、 0lnlim 0xx x0lim11lim1lnlim 0200 xxxxxxxx例例 7、11lim111lim1arctan2lim0arctan2lim2222 xxxxxx xx xxxx 00型例例 8、21 111lim1ln11 lim00 ln) 1(ln1lim11 ln1lim221111 xxxxxxx xxxx x
11、xxxxx6)(00)(,1,0xgxf记为型 型总是易证利用对数恒等式0)(ln)(,)()(ln)()(xfxgexfxfxgxg例例 9、 1lim0lim0lnlim0lnsinlimlnsin00sin000eeeexxxxxxxxxxxx例例 10、 00 1arctanln2ln lim 0arctan2lnlim1arctan2limxxxxxxxx eex 2 1arctan1lim111 arctan1lim2222 eeexx xxxxxx例例 11、 1sinlim1csctanlimlncotln00ln1022020 limcotlim eeeexxxxxxxxxx
12、 xxx3、泰勒公式泰勒公式1、 、Taylor 中值定理中值定理 定理：定理：若在的某邻域内有阶导数，则在该邻域内)(xf0x1n)()(!)()()!1()()(!)()(! 2)()()()(000)( 1 0)1(00)( 2 00 000xRxxkxfxxnfxxnxfxxxfxxxfxfxfnnkkk nnnn L称为余项，介于之间。)(xRnxx 与0 拉格朗日公式)()()(,000xxfxfxfn时显然余项。n nxxoxR)()(0可记为2、 、麦克劳林公式麦克劳林公式若，则00x)(!)0( ! 2)0()0()0()()( 2xRxnfxfxffxfnnn L此式称为阶麦克劳林公式。n例例 1、求的麦克劳林公式)(xf xexf)(xxfsin)()1ln()(xxfRxxf)1 ()(解解：，xkexf)()(1)0()(kf!1 !)0()(kkfk 7故)(! 21)(!20nnnnkk xxonxxxxRkxeL， 2sin)()(kxxfk2sin)0()(kfk故)()!12() 1(! 5! 3)()!12() 1(sin1253012 nm m nnkm mxomxxxxxRmxxL同理)()!2() 1(! 4! 21)()!2() 1(cos24202 nm m nnkm mxomxxxxRmxx
