控制系统计算机辅助分析

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1、控制系统计算机辅助分析,控制系统计算机辅助分析以数学模型为基础，以控制系统理论分析为依据，借助MATLAB仿真软件实现对控制系统的稳定性和动态性能的分析。本章的主要介绍利用MATLAB命令及函数实现控制系统稳定性能和动态性能分析的基本方法。,控制系统时域分析,对于线性控制系统，工程上常用的分析方法有时域分析法、根轨迹分析法和频域分析法。 所谓时域分析是指控制系统在一定的输入信号作用下，根据系统输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。 时域分析是一种在时间域中对系统进行分析的方法，由于系统输出量的时域表达式是时间t的函数，所以系统输出量的时域表达式又称为系统的时间响应。,典型输入信

2、号,控制系统的性能指标，可以通过在输入信号作用下系统的瞬态和稳态过程来评价。系统瞬态和稳态过程不仅取决于系统本身的特性，还与外加输入信号的形式有关。在很多情况下，实际控制系统的外加输入信号具有随机的性质而无法预先知道，而且其瞬时函数关系往往又不能以解析形式来表达。因此，在分析和设计控制系统时，预先规定一些具有特殊形式的测试信号作为系统的输入信号，在控制工程中，常采用的典型输入信号有五种。,生成特定的激励信号的函数gensig( ),格式：u,t = gensig(type,tau) 功能：按指定的类型type和周期tau生成特定类型 的激励信号u。其中变量type可取字符为： sin(正弦)、

3、square(方波)、pulse(脉冲)。 例： u,t=gensig(sin,3); plot(t,u),LTI模型的单位冲激响应函数impulse( ),格式：impulse(sys) 功能：绘制系统sys（sys由函数tf、zpk或ss产生） 的单位冲激响应，结果不返回数据，只返回图形。 例：系统传递函数为： ，求脉冲响应。 sys=tf(4,1 1 4); impulse(sys);,LTI模型的阶跃响应函数step( ),格式：step(sys) 功能：绘制系统sys(sys由函数tf、zpk或ss产生)的阶跃响应，结果不返回数据，只返回图形。对多输入多输出模型，将自动求每一输入的阶

4、跃响应。 例：单位负反馈控制系统的开环传递函数为 试求系统的单位阶跃响应。,LTI模型任意输入的响应函数lsim( ),格式：lsim(sys,u,T) 功能：计算和绘制LTI模型sys在任意输入u、持续时 间T的作用下的输出y，不返回数据，只返回图形。T 为时间数组，它的步长必须与采样周期Ts相同。当u 为矩阵时，它的列作为输入，且与T(i)行的时间向量 相对应。 例: t = 0:0.01:5; u = sin(t); lsim(sys,u,t) 完成系统sys对输入u(t)=sin(t)在5秒内的响应仿真。,状态空间模型系统的零输入响应函数initial( ),格式：initial(sy

5、s,x0) 功能：绘制状态空间模型sys在初始条件x0下的零输入响应，不返回数据，只绘出响应曲线。该响应由如下方程表征：,连续时间：,例：已知某系统的状态空间模型为 试求系统的零输入响应。,控制系统稳定性分析,什么是系统的稳定性？ 控制系统在实际运行中，不可避免地受到外界或内部一些扰动因素的影响，例如工作电源电压波动、电磁干扰、系统参数和环境条件的变化等，从而会使系统各物理量偏离原来的工作状态。如果系统是稳定的，那么随着时间的推移，系统的各物理量就会恢复到原来的工作状态；如果系统不稳定，即使扰动很微弱，也会使系统中的各个物理量随着时间的推移而发散。,控制系统稳定性分析,为什么研究系统的稳定性？

6、 在设计和分析线性反馈控制系统时，首先要考虑是控制系统的稳定性，这是一个线性控制系统能够正常工作的首要条件。如果系统不稳定，会使系统中的各个物理量随着时间的推移而发散，即使在扰动消失后，系统也不能再恢复到原来的工作状态，不稳定的控制系统是无法正常工作的。,线性控制系统稳定性的充要条件,闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均严格位于s左半平面。 在控制理论发展初期，由于没有直接可用的计算机软件能求取高阶多项式的根，所以无法由求根的方法直接判定系统的稳定性，故出现了各种各样的间接方法，例如著名的劳斯赫尔维茨（Routh-Hurwitz）稳定性判据和一般非线性系统的李亚普

7、诺夫（Lyapunov）判据等。但有了MATLAB以后，直接获得特征根是轻而易举的事，没有必要再使用间接的方法了。,用传递函数描述的线性定常系统稳定性判别,若闭环系统传递函数为： 其特征方程为 ，其特征多项式系数向量为P，MATLAB提供了求取特征方程根的函数roots()，其调用格式为V=roots(P)，返回值V是特征根构成的列向量，当V向量中每个元素均具有负实部时，闭环系统才能稳定。,用传递函数描述的线性定常系统稳定性判别,例1.已知单位负反馈系统的开环传递函数为 试确定闭环系统的稳定性。,用状态方程描述的线性定常系统稳定性判别,对于用n维状态方程描述的系统： 系统矩阵A为nn阶方阵，系

8、统的特征多项式为 MATLAB提供了求取矩阵特征多项式及特征值的函数D=eig（A）或V,D=eig(A)，式中，D为对角矩阵，对角线上的元素即为矩阵A的特征值，V为特征向量的列向量组成的矩阵。,用状态方程描述的线性定常系统稳定性判别,第二种方法： P=poly(A)，其中P为n+1维行向量，各分量为矩阵特征多项式按降幂排列时的各项系数，及P=a0，a1，.an；再调用MATLAB求取特征方程根的函数roots()，即可求得系统的特征根。,用状态方程描述的线性定常系统稳定性判别,例2 已知某系统的状态方程为 试判定系统的稳定性。,用零极点增益模型判别系统的稳定性,如果控制系统以传递函数或状态空

9、间形式给出，可以先转换为零极点增益模型，再利用函数pzmap(z,p)在复平面上绘制系统的零极点分布图。 例3 已知系统的状态方 程如右，试利用零极 点分布图判断系统的 稳定性。,用零极点增益模型判别系统的稳定性,例4 已知系统闭环传函为 试分析系统的稳定性。,控制系统根轨迹分析,控制系统的根轨迹分析基础知识回顾 根轨迹分析的MATLAB函数 利用根轨迹图进行闭环系统性能分析 根轨迹的图形设计工具,知识回顾,根轨迹定义 开环系统某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征方程的根在s平面上的轨迹。一般该参数选为开环系统的增益K。 根轨迹方程 根轨迹方程是所有闭环极点的集合，其闭环传递函数为,知识回顾

10、,另其闭环传函的分母为零，即得闭环系统特征方程为： 当系统有m个开环零点和n个开环极点时，上式等价为： 式中，zj为已知的开环零点；pj为已知的开环极点； Kg可从零变到无穷；上式称为根轨迹方程。,知识回顾,根轨迹方程实质上是一个复数方程，直接使用不便，一般可用下面两个方程描述： 相角条件： 幅值条件： 根据这两个条件可以完全确定s平面上的根轨迹及对应的Kg值,知识回顾,增益 称为系统的根轨迹增益。根轨迹增益与系统开环放大系数的关系为：,知识回顾,根轨迹绘制的基本法则： 法则1：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点； 法则2：根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限极点数n中的最大者相同，它们是

11、连续的并且对称于实轴； 法则3：当开环有限极点数n大于有限零点数m时，有n-m条根轨迹分支趋向无穷远处； 法则4：若实轴上某点右边的开环零点和开环,知识回顾,极点数目之和为奇数，则该点是根轨迹上的点。 法则5：关于分离（会合）点； 法则6：关于出射角和入射角； 法则7：关于根轨迹与虚轴的交点；,根轨迹分析的MATLAB函数,绘制零极点分布图函数pzmap()，用法： （1）pzmap(sys):在s复平面上绘制系统sys的零极点图； （2）p,z=pzmap(a,b,c,d) 或p,z=pzmap (num, den)：求取系统的零极点列向量p和z，但不绘制系统零极点分布图；若不指明输出，则绘

12、制分布图； 例5：已知系统开环传函 试用pzmap的不同调用格式绘制系统零极点 分布图。,根轨迹分析的MATLAB函数,MATLAB提供了rlocus()绘制系统的根轨迹图，用法为： （1）rlocus(sys):直接绘制系统sys的根轨迹图，开环增益的值从零到无穷大变化； （2）rlocus(sys,k):根据给定的增益向量，绘制系统sys的根轨迹图； （3）rlocus(A,B,C,D)或rlocus(num,den):根据SISO开环系统的状态空间描述模型或传函模型,根轨迹分析的MATLAB函数,绘制出系统的根轨迹图，开环增益的值从零到无穷大变化，也可以添加参数k，按指定的增益向量绘制；

13、 （3）r=rlocus(sys,k):不直接绘制根轨迹图，而根据根轨迹增益变化向量k，返回闭环系统特征方程1+k*num(s)/den(s)的根r，它有length(k)行，length(den)-1列，每行对应某个k值时的所有闭环极点。,根轨迹分析的MATLAB函数,例6. 已知系统开环传函为 绘制系统根轨迹图。 例7. 设反馈控制系统中 要求：（1）绘制系统根轨迹图，判断系统稳定性；（2）如果改变反馈通路传递函数，使H(s)=1+2s，绘制系统根轨迹，试判断H(s)改变后系统的稳定性，研究由于H(s)改变所产生的效应。,根轨迹分析的MATLAB函数,rlocfind()函数用来找出给定的一组根（闭环极点）对应的根轨迹增益。其用法： k,p=rlocfind(sys) k,p=rlocfind(num,den) 此命令将产生一个光标用来选择希望的闭环极 点。返回值k对应选择点处的根轨迹；p为此点处 的系统闭环极点。,根轨迹分析的MATLAB函数,例8. 已知系统开环传函为 指定根轨迹增益Kg范围为0100，绘制系统根轨迹 图，并求根轨迹与虚轴交点处的根轨迹增益和闭环 极点。,作业,1. 已知系统开环传函为 绘制系统根轨迹图，并将根轨迹图标题改为“系 统根轨迹图”，x，y坐标轴名称改为“实轴”，“虚轴”。,