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1、理科数学 衡水市 2017 年高三第二次模拟考试 理科数学考试时间：_分钟题型单选题填空题简答题总分得分单选题 （本大题共 12 小题，每小题_分，共_分。） 1.若复数的实部为 1，且，则复数的虚部是( )A. B. C. D. 2.设函数，集合，则右图 中中阴影部分表示的集合为( )A. B. C. D. 3.命题“函数是偶函数”的否定是( )A. B. C. D. 4.已知，则（ ）A. B. C. D. 5.实数满足条件，则的最小值为（）A. 16B. 4C. 1D. 6.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于( )A. B. C. D. 7.已知等比数列的公比
2、，且成等差数列，则的前 8 项和为 （）A. 127B. 255C. 511D. 10238.已知函数的定义在 R 上的奇函数，当时，满足，则在区间内（）A. 没有零点B. 恰有一个零点C. 至少一个零点D. 至多一个零点9.定义：，已知数列满足：，若对任意正整数，都有成立，则的值为（）A. B. 2C. D. 10.如图，正方体的棱长为，以顶点 A 为球心，2 为半径作一个球， 则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（）A. B. C. D. 11.当时，某函数满足：；对任意有，则可以是下列函数中的（）A. B. C. D. 12.在平面直角坐标系中，点，对于某个正实数，存在函
3、数，使得为常数），这里点的坐标分别为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 填空题 （本大题共 4 小题，每小题_分，共_分。） 13.设，函数的导函数为，且是奇函数，则14.点 P 是函数的图象的最高点，M、N 与点 P 相邻的该图象与轴的两个交点，且，若，则的值为15.设锐角的内角对边分别为，若，则的取值范围是16.三棱锥 P-ABC 的四个顶点都在体积为的球的表面上，底面 ABC 所在的小圆的面积 为，则该三棱锥的高的最大值为简答题（综合题） （本大题共 6 小题，每小题_分，共_分。） 已知分别是的三个内角的对边，.17.求 A 的大小.18.当时，求的取值范围.已知数列的前 n
4、 项和为，且，数列满足，且.19.求数列，的通项公式；20.设，求数列的前 2n 项的和设各项均为正数的数列的前 n 项和为，已知，数列是公差为 的等差数列.21.求数列的通项公式（用表示）22.设为实数，对满足且的任意正整数，不等式都成立，求的最大值.已知斜三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面所成角为，点在底面上射影 D 落在 BC 上.23.求证：平面；24.若点 D 恰为 BC 的中点，且，求的大小；25.若，且当时，求二面角的大小.如图所示，某市拟在长为 8km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段 OSM，该曲线段为函数的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分
5、为折线段 MNP，为保证赛道运动员的安全，限定.26.求的值和两点间的距离；27.应如何设计，才能使折线段赛道 MNP 最长？已知函数，点.28.若，求函数在点处的切线方程；29.当时，若不等式对任意的正实数恒成立，求的取值 范围；30.若，函数在和处取得极值，且直线 OA 与直线 OB 垂直 （是坐标原点），求的最小值.答案单选题 1. B 2. D 3. A 4. C 5. D 6. B 7. B 8. B 9. C 10. A 11. D 12. A 填空题 13. -114. 15. 16. 8简答题 17. 18. 19. 20. .21. 22. 23. 见解析24. 25. 26
6、. 27. 当角28. 29. 30. 解析单选题 1. 由题意设，可得解得，故选 B.2. 由得，故从而,阴影部分表示在内且不在内的元素构成的集 合，故答案 D.3. 如果函数（）是偶函数，则，所以命题的否定是，故答案 A4. 解得故故答案 C.5. 设 z=x-y，即 y=x-z，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知当直线 y=x-z 过点 A（0，1）时，直线 y=x-z 的截距最大，此时 z 最小，此时z=0-1=-1，故的最小值为，答案 D.6. 由三视图知几何体为直三棱柱削去一个三棱锥，如图，棱柱的高为 5；底面为直角三角形且两直角边长分别为 3,4，几何体的体积, 故答案
7、B.7. 等比数列an的公比 q=2，且 2a4，a6，48 成等差数列，2a125=2a123+48，解得a1=1，an的前 8 项和S8，故答案 B.8. 当时，两边同乘以得即，则，令，则是增函数，当时，0,，是奇函数，当时，因为所以在只有一个零点.故答案 B.9. ,2n2-（n+1）2=（n-1）2-2，当 n3 时， （n-1）2-20，当 n3 时 an+1an；当 n3 时，（n-1）2-20，所以当 n3 时 an+1an当 n=3 时 an取到最小值为 f（3）=,故答案 C.10. 如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点 A 所在的三个面 上，即面
8、 AA1B1B、面 ABCD 和面 AA1D1D 上；另一类在不过顶点 A 的三个面上，即面 BB1C1C、 面 CC1D1D 和面 A1B1C1D1上在面 AA1B1B 上，交线为弧 EF 且在过球心 A 的大圆上，因为AE=2，AA1=则A1AE=同理,所以,故弧 EF 的长为：2,而这样的弧共有三条在面 BB1C1C 上，交线为弧 FG 且在距球心为 1 的平面与球面相交所得的小圆上,此时，小圆的圆心为 B，半径为 1，FBG=,所以弧 FG 的长为：1,于是所得的曲线长为：,故选：A11. 排除法，符合的函数图形是凹图像，对于 A 不满足；B 不满 足，C 不满足，故答案 D.12.
9、由题设知，点 P（1，a），Q（k，ak2），A（5，0），(为常数），两式相 除得且.故答案 选 A.填空题 13. 求导数可得 f（x）=（ex）-a（e-x）=ex+，是奇函数， f（0）=1+a=0，解得 a=-1，故答案-1.14. 由题意可得PMN 为等腰直角三角形，斜边上的高等于 2，故斜边长等于 4，再根据 N（3，0），可得 M（-1，0），P（1，2），解得，再由五点法作图可得，故答案.15. 锐角ABC 中，由于 A=2B，02B90，2B+B，30B45，由正弦定理可得,故答案.16. 如图，设球的半径为 R，由球的体积公式得：,又设小圆半径为r，则=16，r=4显然，
10、当三棱锥的高过球心 O 时，取得最大值；由,所以高.故答案 8.简答题 17. ABC 中，由正弦定理得：， 即，故 【解题思路】先利用正弦定理将边换成角，去分母，再利用两角和的正弦公式化简得到 ，再在中，考虑角的范围求角.18. 由正弦定理得,=,19. Sn=2an-2，n=1 时，a1=2a1-2，解得 a1=2，n2 时，an=Sn-Sn-1=（2an-2）-（2an-1-2） =2an-2an-1，an=2an-1，an是首项为 2，公比为 2 的等比数列，an2n数列满足 b1=1，且,是首项为 1，公差为 2 的等差数列，.20. ，=.21. 由题意知：化简得：,当时，适合的情
11、形，故.22. 恒成立.又且，故,即的最大值为.23. 证明：点 B1在底面上的射影 D 落在 BC 上，B1D平面 ABC，AC平面 ABC， B1DAC，又ACB=90，BCAC，B1DBC=D，AC平面 BB1C1C24. B1D面 ABC，B1DAC，又ACBC，AC面 BB1C1CAB1BC1， 由三垂线定理可知，B1CBC1，即平行四边形 BB1C1C 为菱形，又B1DBC，且 D 为 BC 的 中点，B1C=B1B，即BB1C 为正三角形，B1BC=60，B1D面 ABC，且点 D 落在 BC 上， B1BC 即为侧棱与底面所成的角，6025. 以 C 点为原点，CA 为 x 轴，CB 为 y 轴，过 C 点且垂直于平面 ABC 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，则平面 ABC 的法向量，设平面的法向量为由得，二面角大小是锐二面角，二面角的大小是.26. 因为图像的最高点为所以,由图知的周期为所以，所以，所以27. 在MNP 中，故，由正弦定理得，设使折线段赛道 MNP 为 L,则=所以当角时 L 的最大值是.28. 由题意知所以又，所求的切线方程为29. 当时，即，令，则由得由上表知的最小值，所以.30. 假设,即，故又由为的两根可得，从而，即当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为.
