四川省内江市高中2018届高三第一次模拟考试题数学理工类含解析

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1、四川省内江市高中四川省内江市高中 20182018 届高三第一次模拟考试题届高三第一次模拟考试题数数 学（理工类）学（理工类）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的一个是符合题目要求的1. 已知集合，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】故选2. 设 为虚数单位，若是纯虚数，则A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C【解析】是纯虚数，计算得出故选3. 下列各组向量中，可以作为基底的是A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】B【解

2、析】 选项中，零向量与任意向量都共线，故错误；选项中，不存在实数 ，使得，故两向量不共线，故正确；选项中，两向量共线，故错误；选项中，两向量共线，故错误；故选4. 下列说法中正确的是A. 先把高三年级的 2000 名学生编号：1 到 2000，再从编号为 1 到 50 的 50 名学生中随机抽取 1 名学生，其编号为 ，然后抽取编号为的学生，这样的抽样方法是分层抽样法B. 线性回归直线不一定过样本中心点C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 的值越接近于 1D. 设随机变量 服从正态分布，则【答案】D【解析】 中抽样方法为系统抽样，故 错误；中线性回归方程必过样本中心点，故 错误；:

3、若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 的绝对值越接近于 1,故错误；故选5. 执行如图所示的程序框图，若输入的 为 2，则输出的 值是A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A【解析】输入，时，时，当时，当时，输出故选6. 若函数在上单调递减，则 的值可能是A. B. C. D. 【答案】C【解析】 当时，不符合；当时，不符合；当时，符合；故选7. 已知 是锐角，若，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】， 是锐角，则故选8. 设是等比数列，则下列结论中正确的是A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】D【解析】，则故选9. 函数的图象大致是A. B. C. D.

4、 【答案】B【解析】的定义域为 ，则是偶函数又故选10. 已知实数满足，则当时，的最大值是A. 5 B. 2 C. D. 【答案】C【解析】如图，可行域：令，则原式当时，几何意义指到原点距离有，解得代入原式故选11. 当时，不等式恒成立，则 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】不妨令则当时，在时单调递增，当时不恒大于 ，不成立当时在时恒成立当时在单调递减，在单调递增，令，在单调递减，在单调递增，故当时且时综上 的取值范围是，故选点睛：本题考查了导数的应用，在恒成立的条件下求得参量的取值范围，通过构造新函数，对新函数求导，然后对参量进行分类讨论，求得在定义域的条件下恒成立时参量

5、的取值范围12. 设，函数，曲线的最低点为，的面积为，则A. 是常数列 B. 不是单调数列 C. 是递增数列 D. 是递减数列【答案】D【解析】根据题意得，又曲线的最低点为，则当时， 则所以是递减数列，故选点睛：本题根据题意总结出最低点的规律，计算三角形面积时采用了点到线的距离为高，在计算出底边长度，从而计算出面积，这样虽计算量较大，但是最后好多可以约去，得出函数的单调性，本题也可以通过分割三角形计算面积二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分13. 的展开式中，的系数是_.（用数字作答）【答案】【解析】由题意可知，展开式

6、的通项为则的展开式中，含的项为，所以的系数是14. 甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了.如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是_.【答案】乙【解析】(1)假设甲说的是假话，乙、丙说的是真话，则甲所说与乙相矛盾（2）若乙说的是假话，甲、丙说的是真话，则甲没申请，丙没申请故申请人为乙15. 设函数，则满足的 的取值范围是_.【答案】【解析】 （1）当时，解得，即(2)当时，满足题意(3)当时，恒成立综上 的取值范围是点睛：本题考查了分段函数求解不

7、等式问题，尤其注意当时的解析式，结合分段函数进行分类讨论，求出解析式即可求得不等式解集16. 已知菱形的边长为 2， 是线段上一点，则的最小值是_.【答案】【解析】以所在直线为 轴所在直线为 轴建立平面直角坐标系，如图:由题意可知，设，则故，当时取得最小值点睛：本题采用了建立平面直角坐标系的方法求向量的最小值，运用建系的方法可以直接给出各点坐标表示，设出 点坐标，只含一个未知数，将问题转化，只要计算关于 的一个一元二次函数的最值问题即可三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步

8、骤17. 设数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前 项和.【答案】 （1）；（2）【解析】试题分析：根据题意求出当时，求出 的表达式，然后验证当时是否成立(2)先给出通项，运用分组求和法求前 项和解析:（1）数列满足当时，当时，即 当时，满足上式，数列的通项公式 （2）由（1）知， 18. 的内角的对边分别为，已知.（1）求 ；（2）若，点 在边上，求的长.【答案】 （1）；（2）【解析】试题分析：（1）运用正弦定理进行边角互化，即可求出 的值（2）运用余弦定理求得 ，计算得，再解三角形即可求出结果解析:（1），由正弦定理知，于是，即， （2）由（1）和余弦定理知， 在中，19.

9、某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了 50 件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品. 表 1 是甲套设备的样本的频数分布表，图 1 是乙套设备的样本的频率分布直方图.表 1：甲套设备的样本的频数分布表质量指标值95,100)100,105)105,110)110,115)115,120)120,125频数14192051图 1：乙套设备的样本的频率分布直方图（1）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关

10、；甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计（2）根据表 1 和图 1，对两套设备的优劣进行比较；（3）将频率视为概率. 若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取 3 件产品，记抽到的不合格品的个数为 ，求 的期望.附：P(K2k0)0.150.100.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635.【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】试题分析：（1）根据表 1 和图 1 即可完成填表，再由将数据代入计算得即把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关（2）根据题意计算甲、乙两套设备生产的合格品的概率，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相

11、比较为分散，从而做出判断（3）根据题意知满足，代入即可求得结果解析:（1）根据表 1 和图 1 得到列联表甲套设备乙套设备合计合格品484391不合格品279合计5050100将列联表中的数据代入公式计算得，有 90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关（2）根据表 1 和图 1 可知，甲套设备生产的合格品的概率约为，乙套设备生产的合格品的概率约为，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在105,115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散.因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备.（3）由题知， .20.

12、 已知函数，曲线在点处的切线方程为：.（1）求 ， 的值；（2）设，求函数在上的最大值.【答案】 （1）；（2）见解析【解析】试题分析： 根据题意得当时，代入得由切线方程知，联立解得 ， 的值（2）表示，求导然后分类讨论当时和当时两种情况解析：（1）由切线方程知，当时， ，由切线方程知， （2）由（1）知， 当时，当时，故单调递减在上的最大值为 当时，存在，使当时，故单调递减当时，故单调递增在上的最大值为或 又，当时，在上的最大值为当时，在上的最大值为 当时，当时，故单调递增在上的最大值为 综上所述，当时，在上的最大值为当时，在上的最大值为 点睛：本题考查了导数的几何意义，通过求导计算出在某点

13、处的 切线方程，从而可以计算出参量的值，第 2 问在计算最值时需要进行分类讨论，需要注意在第一次讨论过程中不知两断数量的大小，这里再一次进行讨论21. 已知函数，其中是自然对数的底数.（1）证明：当时，；（2）设 为整数，函数有两个零点，求 的最小值.【答案】 （1）见解析；（2）1【解析】试题分析：（1）要证明不等式成立，构造设，求导，利用单调性即可证明，从而证明整个不等式组（2）结合（1）问结论得当时无零点，当时，利用导数求得其单调性当时，单调递减，当时，单调递增，然后求得，从而得到两个零点解析：（1）证明：设，则，令，得当时，单调递减当时，单调递增，当且仅当时取等号， 对任意， 当时，当

14、时，当时， （2）函数的定义域为当时，由（）知，故无零点当时，且为上的增函数有唯一的零点，当时，单调递减当时，单调递增的最小值为 由为的零点知，于是的最小值，由知，即 又，在上有一个零点，在上有一个零点有两个零点，综上所述， 的最小值为 1.点睛：本题考查了证明函数不等式成立及函数零点问题，在证明不等式成立问题时构造新函数，利用导数求导，结合单调性即可证明，在解答零点问题时虽求不出具体的零点的值，但是根据条件和计算能够判断函数值与零的大小关系，然后利用零点的存在定理解答本题22. 在直角坐标系中，直线 的参数方程为（ 为参数） ，曲线 的参数方程为（ 为参数）. 以坐标原点 为极点， 轴的正半

15、轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线 和曲线 的极坐标方程；（2）已知直线 上一点的极坐标为，其中. 射线与曲线 交于不同于极点的点 ，求的值.【答案】 （1），；（2）1【解析】试题分析：(1)根据题意将直线参数方程先转化为普通方程，然后再改写为极坐标方程，圆的方程亦是这样完成(2)将其转化为极坐标运算，从而求得长度解析：（1）直线 的普通方程为，极坐标方程为曲线 的普通方程为，极坐标方程为 （2）点在直线 上，且点的极坐标为，射线的极坐标方程为，联立，解得点睛：本题考查了极坐标与参数方程之间的转换，以及利用极坐标计算长度，根据公式即可将普通方程转化为极坐标方程，在计算长度时也可以将其全部转化为普通方程求解，但是运用极坐标方程将降低计算量，提高正确率23. 已知函数的最小值为 .（1）求 的值；（2）设实数满足，证明：.【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】试题分析：写出分段函数，求得在上单调递增，在上单调递减，即可求出 的值；计算，利用基本不等式即可得出结论。解析：（1）在上单调递增，在上单调递减，的最小值为 （2）由（1）知，