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1、 圆章节知识点复习- 1 -一、圆的概念一、圆的概念集合形式的概念：集合形式的概念：1.1. 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2.2.圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3.3.圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：轨迹形式的概念：1.1.圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2.2.垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线） ；3.3.角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4.4.到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条
2、直线；5.5.到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系二、点与圆的位置关系1.1.点在圆内 点在圆内；drC2.2.点在圆上 点在圆上；drB3.3.点在圆外 点在圆外；drA三、直线与圆的位置关系三、直线与圆的位置关系1.1.直线与圆相离 无交点；dr2.2.直线与圆相切 有一个交点；dr3.3.直线与圆相交 有两个交点；drdrd=rrdrddCBAO圆章节知识点复习- 2 -四、圆与圆的位置关系四、圆与圆的位置关系外离（图 1） 无交点 ；dRr外切（图 2） 有一个交点 ；dRr相交（图 3） 有两个交点 ；RrdRr内
3、切（图 4） 有一个交点 ；dRr内含（图 5） 无交点 ；dRr周 1rRd周 3rRd五、垂径定理五、垂径定理垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论推论 1 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：是直径 弧弧 弧弧ABABCDCEDEBCBDACAD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论推论 2
4、 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在中，OABCD弧弧ACBD六、圆心角定理六、圆心角定理周 2rRd周 4rRd周 5rRdOE DCBAOCDAB圆章节知识点复习- 3 -圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即：；AOBDOE ABDE； 弧弧OCOFBABD七、圆周角定理七、圆周角定理1.1.圆周角定理：圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：和是弧所对的圆心角和圆周角AOBACBAB2AOBACB 2.2.圆周角定
5、理的推论：圆周角定理的推论：推论推论 1 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在中，、都是所对的圆周角OCDCD 推论推论 2 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在中，是直径 或OAB90C 是直径90CAB推论推论 3 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在中，ABCOCOAOB是直角三角形或ABC90C注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。FEDCBAOCBAODCBAOCBAOCBAO圆章节知识点复习- 4 -八
6、、圆内接四边形八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在中，O四边形是内接四边形ABCD 180CBAD180BD DAEC 九、切线的性质与判定定理九、切线的性质与判定定理（1 1）切线的判定定理：）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：且过半径外端MNOAMNOA是的切线MNO（2 2）性质定理：）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论推论 1 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论推论 2 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推
7、论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理十、切线长定理切线长定理：切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：、是的两条切线PAPBPAPB平分POBPA十一、圆幂定理十一、圆幂定理（1）相交弦定理相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在中，弦、相交于点，OABCDPEDCBANMAOPBAOPODCBA圆章节知识点复习- 5 -PA PBPC PD（2 2）推论：）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在中，直
8、径，OABCD2CEAE BE（3）切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在中，是切线，是割线OPAPB 2PAPC PB（4）割线定理割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图） 。即：在中，、是割线OPBPEPC PBPD PE十二、两圆公共弦定理十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：垂直平分。12OOAB即：、相交于、两点1O2OAB垂直平分12OOAB十三、圆的公切线十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：两圆公
9、切线长的计算公式：（1）公切线长：公切线长：中，；12Rt OO C2222 1122ABCOOOCO（2）外公切线长：外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和 。2CO2CO十四、十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形 OEDCBADECBPAOBAO1O2CO2O1BADCBAO圆章节知识点复习- 6 -在中是正三角形，有关计算在中进行：OABCRt BOD；:1:3:2OD BD OB （2）正四边形同理，四边形的有关计算在中进行，Rt OAE：:1:1:2OE AE OA （3）正六边形同理，六边形的有关计算在中进行，. .Rt OAB:1:3:2AB OB OA 十五、扇形、
10、圆柱和圆锥的相关计算公式十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1.1.扇形：扇形：（1）弧长公式：；180n Rl（2）扇形面积公式： 21 3602n RSlR：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积nRlS2.2.圆柱：圆柱： （1）圆柱侧面展开图=2SSS侧表底222rhr（2）圆柱的体积：2Vr h（2）圆锥侧面展开图（1）=SSS侧表底2Rrr（2）圆锥的体积：21 3Vr hECBADOB AOSlBAO周 周 周周 周 周 周 周 C1D1DCBAB1RrC BAO圆章节知识点复习- 7 -一、考点分析与例题分析一、考点分析与例题分析1 1、 线段的比线段的比1）比
11、例的合比性质，比例的等比性质2）线段求比需注意：单位要统一2 2、 黄金分割黄金分割1）定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC），如果，ACBC ABAC即 AC2=ABBC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。其中0.618。ABAC2）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形。3 3、 相似多边形相似多边形性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 （可与定义互推）1、如果四边形 ABCD四边形 ABCD相似，且A=68，则A= 。2、下列说法中正确的是（ ）A、所有的矩形都相似 B、所有的正方形都
12、相似 C、所有的菱形都相似 D、所有的等腰梯形都相似 3、已知，ABCDE五边形 FGHIJ，且AB=2cm，CD=3cm，DE=2.2cm，GH=6cm，HI =5cm，FJ=4cm，A=120，H=90。求:(1)相似比等于多少 (2)求FG,IJ,BC,AE, F, C4 4、 相似三角形相似三角形1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。如ABC与DEF相似，记作ABC DEF。相似比为 k。几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。两个等腰直角三角形一定相似。两个等边三角形一定相似。ABCDEFGHIJ圆章节知识点复习- 8 -
13、两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。3）判定：定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。参照三角形全等的判定方法：两角对应相等的两个三角形相似。三边对应成比例的两个三角形相似。两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。1、下列各组三角形一定相似的是（ ）A两个直角三角形 B两个钝角三角形 C两个等腰三角形 D两个等边三角形 2、如图，ABCAED, 其中 DEBC，写出对应边的比例式。3、如图，已知ABCADE，AE=50 cm，EC=3
14、0 cm，BC=70 cm，BAC=45，ACB=40，求：1）AED和ADE的度数；2）DE的长。5 5、 相似多边形的周长比和面积比相似多边形的周长比和面积比关系：若ABCABC，相似比为k，那么ABC与ABC的周长比为k，面积比为k 2。6 6、 位似位似1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。圆章节知识点复习- 9 -需注意：位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。两个位似图形的位似中心只有一个。两个位似图形可能位于位似中心的两
15、侧，也可能位于位似中心的一侧。位似比就是相似比。2）性质：位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）。每对位似对应点与位似中心共线，不经过位似中心的对应线段平行。练习设计练习设计1、ABC 与DEF 相似，且相似比是，则DEF 与ABC 与的面积比是（ ）32A、 B、 C、 D、32 23 52 942、如图，ABC 中，点 D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点，求证：ABCDEF。3、已知：如图，P 为ABC 中线 AD 上的一点，且 BD2=PDAD，求证：ADCCDP。4、已知：如图，P 为ABC 中线 AD 上的一点，且 BD2=PDAD，求证：AD
