《2017年度中考数学精学巧练备考秘籍 第5章 图形的性质 第31课时 圆的基本性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017年度中考数学精学巧练备考秘籍 第5章 图形的性质 第31课时 圆的基本性质（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 第第 5 5 章章 图形的性质图形的性质 【精学精学】 考点一、圆的概念及相关定义考点一、圆的概念及相关定义 1、圆的定义 在一个个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆， 固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径。 2、圆的几何表示 以点 O 为圆心的圆记作“O” ，读作“圆 O” 3、弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。 （如图中的 AB） 4、直径 经过圆心的弦叫做直径。 （如途中的 CD） 直径等于半径的 2 倍。 5、半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 6、弧、优弧、劣弧 圆上任意两点间
2、的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“”表示，以 A，B 为端点的弧记作“” ，读作“圆弧 AB”或“弧 AB” 。 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示） ；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示） 考点二、垂径定理及其推论考点二、垂径定理及其推论 2 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦
3、 直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 考点三、圆的对称性考点三、圆的对称性 1、圆的轴对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 考点四、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1、圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角。 2、弦心距 从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么 它们所对应的其余各组量都分
4、别相等。 考点五、圆周角定理及其推论考点五、圆周角定理及其推论 1、圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 3 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。 推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、圆内接四边形 在同圆内，四边形四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形 （1）.圆内接四边形的对角互补 （2）.圆内接四边形的外角等于它的内对角 【巧练巧练】
5、 题型一题型一 垂径定理及推论垂径定理及推论 例 1（2016湖北黄石）如图所示，O 的半径为 13，弦 AB 的长度是 24，ONAB，垂足为 N，则 ON=（ ） A5 B7 C9 D11 【分析】根据O 的半径为 13，弦 AB 的长度是 24，ONAB，可以求得 AN 的长，从而可以求得 ON 的长 【解答】解：由题意可得， OA=13，ONA=90，AB=24， AN=12， ON=， 故选 A 【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题 题型二题型二 圆心圆心( (周周) )角、弧、弦之间的关系角、弧、弦之间的关系 例 2（2016山东济宁）如图
6、，在O 中， =，AOB=40，则ADC 的度数是（ ） 4 A40 B30 C20 D15 【答案】C 【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出AOC=AOB=50，再由圆周角定 理即可得出结论 【解答】解：在O 中， =， AOC=AOB， AOB=40， AOC=40， ADC= AOC=20， 故选 C 【方法技巧规律】 圆心角、弧、弦之间的关系定理，提供了从圆心角到弧到弦的转化方式，为我们证明 角相等、线段相等和弧相等提供了新思路，解题时要根据具体条件灵活选择应用若其中一组量相等，则 考虑其他的量相等，将问题转化. 题型三题型三 圆周角定理及推论圆周角定理及推论 例 3（2016 广西南
7、宁）如图，点 A，B，C，P 在O 上，CDOA，CEOB，垂足分别为D，E，DCE=40， 则P 的度数为（ ） A140 B70 C60 D40 【答案】B 【分析】先根据四边形内角和定理求出DOE 的度数，再由圆周角定理即可得出结论 【解答】解：CDOA，CEOB，垂足分别为 D，E，DCE=40， DOE=18040=140， 5 P=DOE=70 故选 B 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧 所对的圆心角的一半是解答此题的关键 题型四题型四 圆内接四边形圆内接四边形 例 4. (2016兰州)如图，四边形 ABCD 内接于 O
8、, 四边形 ABCO 是 平行四边形，则 ADC= （ ） A45 B 50 C 60 D 75 【答案】C 【解析】：连接 OB,则OABOBA, OCBOBC 四边形 ABCO 是平行四边形，则OABOBC ABCOABOBCAOC ABCAOC120 OABOCB60 连接 OD，则OADODC，OCDODC 由四边形的内角和等于 360 可知， ADC360 OABABCOCBOADOCD ADC60 【限时突破限时突破】 1. （2016浙江省绍兴市）如图，BD 是O 的直径，点 A、C 在O 上， =，AOB=60，则BDC 的度数是（ ） 6 A60 B45 C35 D30 2.
9、 （2016陕西）如图，O 的半径为 4，ABC 是O 的内接三角形，连接 OB、OC若BAC 与BOC 互 补，则弦 BC 的长为（ ） A3 B4 C5 D6 3（2016浙江省舟山）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的 度数是（ ） A120 B135 C150 D165 4（2016 山东聊城）如图，四边形 ABCD 内接于O，F 是上一点，且=，连接 CF 并延长交 AD 的 延长线于点 E，连接 AC若ABC=105，BAC=25，则E 的度数为（ ） A45 B50 C55 D60 5.（2015山东泰安）如图，O 是ABC 的外接圆，B=60，O
10、 的半径为 4，则 AC 的长等于（ ） 7 A 4B 6C 2D 8 6.（2016广西百色）如图，O 的直径 AB 过弦 CD 的中点 E，若C=25，则D= 7. （2016吉林）如图，四边形 ABCD 内接于O，DAB=130，连接 OC，点 P 是半径 OC 上任意一点， 连接 DP，BP，则BPD 可能为 度（写出一个即可） 8. （2016青海西宁）O 的半径为 1，弦 AB=，弦 AC=，则BAC 度数为 9. （2016四川凉山州）如图，已知四边形 ABCD 内接于O，A 是的中点，AEAC 于 A，与O 及 CB 的延长线交于点 F、E，且 （1）求证：ADCEBA； （2
11、）如果 AB=8，CD=5，求 tanCAD 的值 8 【答案解析答案解析】 1.【分析】直接根据圆周角定理求解 2.【分析】首先过点 O 作 ODBC 于 D，由垂径定理可得 BC=2BD，又由圆周角定理，可求得BOC 的度数， 然后根据等腰三角形的性质，求得OBC 的度数，利用余弦函数，即可求得答案 【解答】解：过点 O 作 ODBC 于 D， 则 BC=2BD， ABC 内接于O，BAC 与BOC 互补， BOC=2A，BOC+A=180， BOC=120， OB=OC， OBC=OCB=30， O 的半径为 4， BD=OBcosOBC=4=2， BC=4 故选：B 9 3.【分析】直
12、接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出BOD=30，再利用弧度与圆心角的关系 得出答案 故选：C 4.【分析】先根据圆内接四边形的性质求出ADC 的度数，再由圆周角定理得出DCE 的度数，根据三角 形外角的性质即可得出结论 【解答】解：四边形 ABCD 内接于O，ABC=105， ADC=180ABC=180105=75 =，BAC=25， DCE=BAC=25， E=ADCDCE=7525=50 故选 B 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键 5. 答案：A 分析：首先连接 OA，OC，过点 O作 ODAC 于点 D，由圆周角定理可求得AO
13、C 的度数，进而可在构造的 直角三角形中，根据勾股定理求得弦 AC 的一半，由此得解 10 故选 A 6.【分析】先根据圆周角定理求出A 的度数，再由垂径定理求出AED 的度数，进而可得出结论 【解答】解：C=25， A=C=25 O 的直径 AB 过弦 CD 的中点 E， ABCD， AED=90， D=9025=65 故答案为：65 7.【分析】连接 OB、OD，根据圆内接四边形的性质求出DCB 的度数，根据圆周角定理求出DOB 的度数， 得到DCBBPDDOB 【解答】解：连接 OB、OD， 四边形 ABCD 内接于O，DAB=130， DCB=180130=50， 由圆周角定理得，DO
14、B=2DCB=100， DCBBPDDOB，即 50BPD100， BPD 可能为 80， 故答案为：80 11 8.【分析】连接 OA，过 O 作 OEAB 于 E，OFAC 于 F，根据垂径定理求出 AE、FA 值，根据解直角三角形 的知识求出OAB 和OAC，然后分两种情况求出BAC 即可 【解答】解：有两种情况： OAE=30，OAF=45，BAC=30+45=75； 如图 2 所示： 连接 OA，过 O 作 OEAB 于 E，OFAC 于 F， OEA=OFA=90， 由垂径定理得：AE=BE=，AF=CF=， cosOAE=，cosOAF=， OAE=30，OAF=45， BAC=4530=15； 故答案为：75或 15 9.【分析】 （1）欲证ADCEBA，只要证明两个角对应相等就可以可以转化为证明且就可以； （2）A 是的中点，的中点，则 AC=AB=8，根据CADABE 得到CAD=AEC，求得 AE，根据正切三 角函数的定义就可以求出结论 12
