《2017年度中考数学精学巧练备考秘籍 第5章 图形的性质 第23课时 等腰三角形》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017年度中考数学精学巧练备考秘籍 第5章 图形的性质 第23课时 等腰三角形（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第第 5 5 章章 图形的性质图形的性质【精学精学】考点一、等腰三角形考点一、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论 2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于 60。（2）等腰三角形的其他性质：等腰直角三角形的两个底角相等且等于 45等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角） ，但顶角可为钝角（或直角） 。等腰三角形的三边关系：设腰长为 a，底边长为 b，则a2b等腰三角形的三角关系：设顶角为
2、顶角为A，底角为B、C，则A=1802B，B=C=2180A2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边） 。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论 2：有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。等腰三角形的性质与判定等腰三角形性质等腰三角形判定中1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角； 1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形；2线2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们
3、的交点与底边两端点距离相等。2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角） ，那么这个三角形是等腰三角形角平分线1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边；2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边） ，那么这个三角形是等腰三角形；2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。高线1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角） ，那么这个三角形是等腰三角形；2、有两条高相等
4、的三角形是等腰三角形。角等边对等角等角对等边边底的一半腰长周长的一半两边相等的三角形是等腰三角形考点二、等边三角形的性质与判定考点二、等边三角形的性质与判定1.等边三角形的各角都相等，并且每个角都等于 60；等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴2.等边三角形的判定(1)三边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形.【巧练巧练】题型一、等腰三角形性质题型一、等腰三角形性质例 1.（2016 山东滨州）如图，ABC 中，D 为 AB 上一点，E 为 BC 上一点，且 AC=CD=BD=BE，A=50，则CDE 的度数为
5、（ ）A50 B51 C51.5D52.53【答案】D.【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质推出A=CDA=50，B=DCB，BDE=BED，根据三角形的外角性质求出B=25，由三角形的内角和定理求出BDE=BED= （18025）=77.5， ，根据平角的定义即可求出CDE=180CDAEDB=1805077.5=52.5，故答案选 D题型二、等腰三角形与线段垂直平分线题型二、等腰三角形与线段垂直平分线例 2 （2016雅安）如图所示，底边 BC 为 2，顶角 A 为 120的等腰ABC 中，DE 垂直平分 AB 于 D，则ACE 的周长为（ ）A2+2 B2+ C4 D3【答案】A.【分
6、析】过 A 作 AFBC 于 F，根据等腰三角形的性质得到B=C=30，得到 AB=AC=2，根据线段垂直平分线的性质得到 BE=AE，即可得到结论【解答】解：过 A 作 AFBC 于 F，AB=AC，A=120，B=C=30，AB=AC=2，DE 垂直平分 AB，BE=AE，AE+CE=BC=2，ACE 的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2，故选：A4【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，含 30 度角的直角三角形性质等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力题型三、等腰三角形的多解问题题型三、等腰三角形的多解问题例 3 （2015 湖北衡阳）已知
7、等腰三角形的两边长分别是 5 和 6，则这个等腰三角形的周长为（ ） A11 B16 C17 D16 或 17【答案】D【分析】因为等腰三角形的两边分别为 5 和 6，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论【解析】由等腰三角形的两边长分别是 5 和 6，可以分情况讨论其边长为 5,5,6 或者 5,6,6，均满足三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的条件，所以此等腹三角形的周长为 5+5+6=16 或 5+6+6=17.故选项 D 正确【点评】本题考查了等腰 三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分
8、类讨论题型四、等边三角形性质运用题型四、等边三角形性质运用例 4.(2016 宁夏)在等边ABC 中，点 D，E 分别在边 BC、AC 上，若 CD=2，过点 D 作 DEAB，过点 E 作EFDE，交 BC 的延长线于点 F，求 EF 的长【答案】证明过程见解析【解析】试题分析：先证明DEC 是等边三角形，再在 RTDEC 中求出 EF 即可解决问题试题解析：ABC 是等边三角形， B=ACB=60， DEAB， EDC=B=60，EDC 是等边三角形， DE=DC=2，在 RTDEC 中，DEC=90，DE=2， DF=2DE=4，EF=25【限时突破限时突破】1 （2016邵阳）如图所示
9、，点 D 是ABC 的边 AC 上一点（不含端点） ，AD=BD，则下列结论正确的是（ ）AACBC BAC=BC CAABC DA=ABC2.（2015吉林）如图，ABCD，AD=CD，1=70，则2 的度数是（ ）A20 B35 C40 D703.(2016 广西省贺州)一个等腰三角形的两边长分别为 4，8，则它的周长为（ ）A12 B16 C20 D16 或 204 （2016河北）如图，AOB=120，OP 平分AOB，且 OP=2若点 M，N 分别在 OA，OB 上，且PMN 为等边三角形，则满足上述条件的PMN 有（ ）6A1 个 B2 个 C3 个 D3 个以上5.(2016 四
10、川省乐山)如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，DE 垂直平分 AB，已知ADE=40，则DBC= 6.（2015 新疆乌鲁木齐）等腰三角形的一个外角是 60，则它的顶角的度数是 7.（2016 北京市）在等边ABC 中：（1）如图 1，P，Q 是 BC 边上的两点，AP=AQ，BAP=20，求AQB 的度数；（2）点 P，Q 是 BC 边上的两个动点（不与点 B，C 重合） ，点 P 在点 Q 的左侧，且 AP=AQ，点 Q 关于直线AC 的对称点为 M，连接 AM，PM依题意将图 2 补全；小茹通过观察、实验提出猜想：在点 P，Q 运动的过程中，始终有 PA=PM，小茹把这个猜想与同
11、学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法 1：要证明 PA=PM，只需证APM 是等边三角形；想法 2：在 BA 上取一点 N，使得 BN=BP，要证明 PA=PM，只需证ANPPCM；想法 3：将线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60，得到线段 BK，要证 PA=PM，只需证 PA=CK，PM=CK请你参考上面的想法，帮助小茹证明 PA=PM（一种方法即可） 7【答案解析答案解析】1.【答案】A【分析】根据等腰三角形的两个底角相等，由 AD=BD 得到A=ABD，所以ABCA，则对各 C、D 选项进行判断；根据大边对大角可对 A、B 进行判断【解答】解：AD=BD，A=ABD
12、，ABCA，所以 C 选项和 D 选项错误；ACBC，所以 A 选项正确；B 选项错误故选 A【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合2.【答案】C【分析】根据平行线的性质以及等腰三角形的性质即可.【解析】ABCD，ACD=1=70.AD=CD，DAC=ACD=70，2=180-DAC-ACD=180-70-70=40，故选 C。【点评】此题主要考查了平行线的性质以及等腰三角形的性质，正确识图是解题关键 3.【答案】C【解析】试题分析：由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情 况进行分析
13、当 4 为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；当 8 为腰时，8-488+4，符合题意故此三角形的周长=8+8+4=20.考点：(1)、等腰三角形的性质；(2)、三角形三边关系4.【分析】如图在 OA、OB 上截取 OE=OF=OP，作MPN=60，只要证明PEMPON 即可推出PMN 是等边三角形，由此即可对称结论【解答】解：如图在 OA、OB 上截取 OE=OF=OP，作MPN=608OP 平分AOB，EOP=POF=60，OP=OE=OF，OPE，OPF 是等边三角形，EP=OP，EPO=OEP=PON=MPN=60，EPM=OPN，在PEM和PON 中，PEMPONPM=PN，MPN=
14、60，POM 是等边三角形，只要MPN=60，PMN 就是等边三角形，故这样的三角形有无数个故选 D【点评】本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型5.【答案】15【解析】试题分析：DE 垂直平分 AB，AD=BD，AED=90，A=ABD，ADE=40，A=9040=50，ABD=A=50，AB=AC，ABC=C=（180A）=65，1 2DBC=ABCABD=6550=15，故答案为：15 考点：1线段垂直平分线的性质；2等腰三角形的性质6.【答案】120【分析】本题主要考虑与这个外角相邻的内角是顶角或是底角，利用内角和定理即可得解.9【解析】等腰三角形一个外角为 60，那相邻的内角为 120，三角形内角和为 180，如果这个内角为底角，内角和将超过 180，所以 120只可能是顶角故答案为：120【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和应用，此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理7【答案】 （1）40；（2）作图见解析；证明见解析【解析】试题分析：（1）根据等腰三角形的性质得到APQ=AQP，由邻补角的定义得到APB=AQC，根据三角形外角的性质即可得到结论；（2）根据要求作出图形，如图 2；根据等腰三角形的性质得到APQ=AQP，由邻补角的定义得到
